14.频率响应方法

频率响应方法
伯德图
一个系统的频率传递函数或它用Kz（jw）/P(jw)表示的函数可以用Nyquist图(极坐标图)表示，或者用在输入频率的振幅比和相角来表示。

一般来说，我们经常在输入频率的对数坐标下画出振幅比和相角，振幅比以分贝来表示，相角用度来表示。

以这种形式表示的图，就称为伯德图。

准确的伯德图，可以用计算机画出来，用一些画图规则可以很方便快速地画出用直线表示的草图，本文中将讨论这些画图规则。

系统的伯德图可以用来确定包括阶跃输入在内的不同输入对于系统稳态响应的影响。

因为频率响应是稳态响应，则系统必须稳定，在使用系统伯德图之前，就必须判断系统的稳定性。

伯德图通常使用频率函数Kz（jw）/P(jw)来判断系统的稳定性。

当函数在S的右半平面没有极点或零点时，例如系统是最小相位系统，可以根据出现在函数中的下面四个基本的元素快速地画出系统的伯德图。

这四个元素是：
1．频率不变项K；
2．在原点处的零极点；
3．一阶项或实的零点或极点。

4．二阶零极点。

对于乘积Kz（jw）/P(jw)，M=M1M2，相角Phi表示成和，如果用分贝作为单位的话，幅值也可以表示成求和的形式，
在伯德图中，随W变化的用分贝表示的幅值M和用度为单位的相角画在半对数纸上。

画法如下：幅值和相角伯德图可以通过求该函数中各个基本环节的和的方法获得。

这些图比或Nyquist图或极坐标图容易做出。

可以很方便地表示系统的性能。

1．增益K大于零，相角等于零，和W无关。

2．积分环节，极点位于原点处，在W=10时，距W=1十倍频程处的幅值为-20n。

于是，在草图上可以用一条每十倍频程下降20n分贝的一条斜线来表示幅值曲线。

相
角为Phi=—n90度，和频率无关。

3．微分环节，零点在原点处，微分环节的伯德图是积分环节伯德图关于0分贝和0度轴对称的镜像。

下面的超前环节和滞后环节的伯德图也是如此。

4．简单的滞后环节，其近似伯德图如图2-4-1C上的直线所示，渐近线和伯德图在转折频率或转角频率处相交，转折频率为归一化图上，令Wt=1时的频率。

越靠近Wt=1，准确值可以通过2-4-1计算，在Wt=1处，误差为-3分贝，相角为-45
度。

5．二阶滞后环节（二阶震荡环节）
其中Wn是无阻尼的自然频率，KSi是阻尼比。

二阶振荡环节的伯德图在低频为坐
标轴，高频渐近线是一条在W/Wn=1处穿过0分贝线，且以40dB/dec下降的斜线。

在W/Wn=1处，可以根据2-4-2式计算准确值。

阻尼比越小，相角在W/Wn=1处的
凸起就越尖锐，改变越剧烈。

伯德图可以通过对各个基本环节的幅值和相角求和来获得。

在伯德图中，相角裕度Phim为180加上令KZ/P=1等于1的频率处的相角。

于是，如图2-4-2中所示的部分伯德图，相角裕度是相角曲线在转折频率Wc和-180度的
距离，转折频率Wc即幅值曲线与0分贝线的交点处的频率。

类似的，幅值裕度等
于使得相角为-180度时的频率处的幅值的倒数，即该频率处幅值距0分贝线的距离。

如图2-4-2所示。

伯德图中的根轨迹
伯德图得到广泛应用的一个重要原因是用近似幅频图内能够很方便的表征性能指标。

相对稳定性：
开环传递函数的伯德图必须在交接频率及其附近，其幅值曲线的斜率应不超过-20分贝/十倍频程的斜线，且该斜线应保持一定的长度。

如果不是这样，则说明系统地相角裕度不够。

稳态精度
为了提高稳态精度，低频渐近线必须是上升的，或者改变其斜率。

低频渐近线为K/jwn，对于N=0的情况()，在单位阶跃响应作用下的0型系统的稳态误差为1/（1+K），因此，如果将斜率为零的低频渐近线20lgK抬升，则稳态误差可以减小。

所以，在阶跃响应作用下稳态误差为零的系统，至少要使一型系统，其低频渐近线的斜率至少为-20dB/dec。

在工作频段的精度
为了保证在正常频率范围上的精度，在这个频段上的伯德必须低于一个给定的幅度水平。

为了提高精度，这个水平必须提高。

穿越频率和带宽
穿越频率是带宽Wb的一个度量，也是响应度的度量，带宽和穿越频率的关系是。

抑制噪声
为了确保对输入中高于一定频率的噪声成分进行制定的衰减，则伯德图中的M应低于某一水平。

这些准则显示了性能指标是如何反映在伯德图中的，伯德图的中特征是如何反映性能指标的。

这些准则也将性能指标的要求转化到对伯德图的要求。

系统设计的工作就是推导出能够使系统满足这些要求的补偿器。

伯德图设计
利用伯德图来设计一个反馈控制系统要反复的画系统地幅频曲线和相频曲线，直到系统的性能指标得到满足为止。

这些性能指标绝大多数可以用频率准则来方便的描述，这些准则包括描述系统动态性的指标如增益相角裕度等，还包括描述稳态时域响应的误差指标。

画出一个串联补偿或反馈补偿的连续系统的伯德图的草图是一个相对简单的过程。

增益补偿
在一些情况下，仅通过调整开环增益系数K就可以使系统满足所有的性能指标要求。

如2-3-3所示，调整增益系数K不影响相频曲线，增大或减小增益仅会使得幅频曲线上下移动。

相位超前校正
串联相位超前校正会降低低频到中频段的相角曲线。

超前校正通常用来增加增益或提高系统的相位裕度，或者增大系统的带宽。

在超前校正网络中，通常要调整增益Kb。

滞后校正
在一些系统中，滞后校正会降低系统的带宽，通常，滞后校正用来提高系统在某一给定误差下的相对稳定性或消除高频噪声。

滞后超前校正
有时希望同时采用超前和滞后校正，虽然可以先后采用两种补偿网络来使得到期望的影响，但是通常同时进行滞后超前校正也是很方便的。