第一章图形的全等导学案

1.1全等图形
【学习目标】
1、认识什么样的图形是全等图形
2、理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法，并且自己能设计出全等图形【教学重点】认识全等图形并能判断与设计出全等图形.
【教学难点】判断并设计全等图形
【预习引入】
1、欣赏课本第6页上的全等图形，说一说自己的生活中有这些全等图案吗？
2、观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
3、你认为全等图形有哪些特点？
练：找出下面各组图中的全等图形．
【交流操作】
1、完成课本第7页
2、说一说你是如何改变得到全等图形的？有哪几种方法呢？
【例题讲解】
例⒈用不同的方法将一个4×4方格分割成两个全等图形，
练：书习题1.1第2、3题
【检测反馈】
1．下列各组中是全等形的是（）
A、两个周长相等的等腰三角形
B、两个面积相等的长方形
C、两个面积相等的直角三角形
D、两个周长相等的圆
2．两个全等图形中可以不同的是（）A、位置 B、长度 C、角度 D、面积3．下列各组中可能不是全等形的是（）
A、两条长度相等的线段
B、两个大小相等的角
C、两条长度相等的圆弧
D、两条互相垂直的直线
4．将如图的一个等边三角形分割成：
（1）三个全等的三角形；（2）四个全等的三角形；（3）六个全等的三角形。

5．你能把所给的长方形分成两个全等三角形吗？能分成4个全等三角形吗？
你发现了什么结论？
1.2 全等三角形
【学习目标】
1．说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号表示两个三角形全等；
2．知道全等三角形的有关概念，会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角； 3．会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质．
4．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法； 5.能进行简单的说理和计算。

【学习重点】 全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质. 【学习难点】 确认全等三角形的对应元素 【预习引入】
1、全等三角形的定义：两个能 的三角形叫全等的三角形 互相重合的顶点叫 ， 叫对应边， 叫对应角. “全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”
例如△ABC 与△DEF 全等,记作“ ”,读作“△ABC 全等于△DEF ” 注意:在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上． 2、全等三角形的性质： . 【交流操作】
用硬纸片剪一个三角形，在纸上画一个与三角形纸片全等的△ABC ，并把三角形纸片与△ABC 叠合在一起。

（1）把三角形纸片沿AB 所在直线平移一定的距离，画出所得的△C B A ''' （2）把三角形纸片沿AC 所在直线翻折，画出所得到的C B A '∆ （3）把三角形纸片绕顶点A 旋转1800
画出所得到的C B A ''∆
C
B
A
F
E
D
E
D
B
A
C
【例题讲解】
例1.如图11.2-2，ΔABC ≌ΔCDA ， 写出它们的对应角和对应边．
练习：写出下列几种全等三角形的对应边和对
应角。

【当堂反馈】
⒈已知如图1.2-1，△ABC ≌△ADE ，AB 与AD 是对应边，AC 与AE 是对应边，若∠B =31°， ∠C =95°， ∠EAB =20°， 则∠BAD 等于 ( )
A ． 77°
B ． 74°
C ． 47°
D ． 44°
⒉已知：如图1.2-2， △ABE ≌△ACD ，∠1=50°，∠C =45°，BC =20，DE =14，
AD =13，AC 比AD 长2，求△ABE 的各角的大小与各边的长度．
⒊如图1.2-3，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，.你能从△ABF ≌△DCE 图中 得到哪些结论?
D
E
B
A
C 图1.2-1 A
B
1
D
A
B
F
E
C
图1.2-2
图1.2-3
D
C
B
A
A B
C D
E
A B
C
E
F
A B
C
D F E
P
M N
F E
O
1.3探索三角形全等的条件（1）
【学习目标】
1，掌握三角形全等的“边角边”的条件。

并能利用这个条件判别两个三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。

2，经历观察、实验、归纳、 猜想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，并培养其探索创新的精神，营造和谐、平等的学习氛围。

【学习重点】 掌握三角形全等的“边角边”条件。

【学习难点】 正确运用“边角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。

【预习引入】
问1：如何画一个与下图全等的三角形？即至少需要多少组边或角相等？ （可讨论完成）
问2：从三角形的6个元素中任意选出其中的3个元素，有几种不同的选法？ 从角边分类 ：
两边一角 两边和它的夹角 两边和其中一边的对角 两角一边
两角和夹边
两角和其中一角的对边
边边边 角角角
问3：按其中任一种选法选出的3对元素对应相等，两个三角形一定全等吗？
【交流操作】
C
B
A
1、每人用一张长方形剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？
2、完成课本第13页第2题后交流你发现了： 的两个三角形全等，简称边角边或SAS 。

通常写成下面的格式： 在△ABC 与△DEF 中，
∵AC DF C F BC EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 【例题讲解】
例：如图，AB=AD ，∠BAC=∠DAC ，请问：△ABC 和 △ADC 是否全等？为什么？
例题变式：
如果把△ABC 与△ADC 拉开如图形状，若要使得它们全等，还需要什么条件？
【当堂反馈】
1、 分别找出（1）（2）题中的全等三角形，并说明理由。

（1）AC=ED ∠BAC= 40°∠FED= 40° AB=EF （2）AD=CB ∠DAC =∠BCA=90 °
40°∣
〝
D
E
F A
D C
B
40°
〃
∣
C
A B
C '
D
C
B
A
D
C
B
A
O
D
C
B
A
2、如右图，已知AO=DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件 _______=________，就可根据“SAS ”说明△AOB ≌△DOC ；
3、如图，AB ＝AC ，AD =AE ，试说明△ABE ≌△ACD
ww 4、 如图，AE ＝CF ，AD ∥BC ，AD ＝CB ，求证：△AFD ≌△CEB .
5、如图1 ，AC 、BD 相交于点O ，OA =OD ,用“SAS ”证△ABO ≌△DCO 还需（ ） A 、A B =DC 、 B 、∠A ＝∠D C 、OB =OC D 、∠AOB ＝∠DOC
6、如图2，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，则需增加的条件是（ ） A 、∠ABE ＝∠DBE B 、∠A ＝∠D C 、∠E ＝∠C D 、∠2 ＝∠1 7.如图3，△ABC ≌△ADE ，若∠BAC =120°，∠DAE = . 8、已知，如图，AD =CB , ∠1＝∠2. △ADC 与△CBA 全等吗?为什么？
9、如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2试说明△ABE ≌△DBC 。

E D
C
B
A
E
E
C
D
A B
1
2
C
B
A
E
D
如图2
如图3
j 2
1
D
C
B
A
10、如图AB、CD相交于点O，，OA=OB，OC=OD，AC和BD有什么数量关系和位置关系？
1.3探索三角形全等的条件（2）
【学习目标】
1.掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。

3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

【学习重难点】
探索三角形全等的“角边角”的条件或“角角边“角边角”的条件或“角角边”来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题． 【探索新知】 一、做一做”
（1）画线段AB =2cm ，
60,45=∠=∠ABQ BAP ,AP 与BQ 相交于点C ；
（2）剪下所画的△ABC ，与同学所画的三角形能重合吗？
由此可得结论 。

通常写成下面的格式： 在△ABC 与△DEF 中，
∵B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABC ≌△DEF （ASA ） 【例题讲解】 例1.
已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别
在AB 、AC 上，且DE //AC ，DF //AB ． 求证：BE ＝DF ，DE ＝CF ．
【当堂反馈】
1.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并说明理由.
2．△ABC 和△FED 中，AD ＝FC ，∠A ＝∠F ．当添加条件 时，就可得到△ABC ≌△FED ， 依据是
(只需填写一个你认为正确的条件)
3．已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ，试说明△ABC ≌△DCB ；
4、已知：如图，∠1=∠2, ∠3=∠4。

求证：OB=OC
变式练习：已知：如图，∠1=∠2, ∠B=∠C 你还能证明OB=OC 吗？
D
C
B
A
O 4
32
1C B
A
31B
由此你能得到 通常写成以下格式： 在△ABC 与△DEF 中，
【例题讲解】
例：已知：如图，△ABC ≌△ A 'B 'C ' ，AD 和A 'D '分别是△ABC 和△ A 'B 'C '中BC 和B ' C '边上的高．求证：AD ＝A 'D '
【当堂反馈】
1、如图∠ACB ＝∠DFE ，BC ＝EF ，根据“ASA”,应补充一个直接条件___________，根据“AAS”，那么补充的条件为____________，才能使△ABC ≌△DEF ．
2、已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，AD =EC ，△ABD ≌△EBC 吗？为什么？
A
B
C
D
D
C B
A A
B C
D
E
1
2
3、如图，BE ＝CD ，∠1＝∠2，则AB ＝AC 吗？为什么？
4、如图,点C 、F 在AD 上,且AF ＝DC ,∠B ＝∠E ,∠A ＝∠D ，你能证明AB ＝DE 吗?
5、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EC ∥FD ，EA ＝FB . 求证：AB ＝CD ．
6、已知：在四边形ABCD 中，AB ∥DC,AD ∥BC. 求证：AB=DC,AD=BC
1.3探索三角形全等的条件（3）
【学习目标】
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会操作、归纳获得数学结论的过程；
D
C
B
A
2. 记住全等三角形的识别方法（S.S.S），并会运用该方法判断三角形是否全等.
3.了解三角形的稳定性.
【学习重点】“边边边”条件的探索及应用
【学习重点】运用三角形全等的“边边边”的条件判断两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．
【操作探究】
活动一：用直尺和圆规作三角形，每一位学生按下列步骤作图
1.画线段AB=4cm.
2.分别以点A点B为圆心,3cm,2cm的长为半径画弧,两弧相交于点C.
3.连接AC、BC
作图区域
通过以上操作你发现了
___________________两个三角形全等．简写为“边边边”或简记为（SSS.）
通常写成以下格式：
在△ABC与△DEF中，
上面的结论也告诉我们，如果一个三角形的三边确定，那么这个三角形的形状和
大小就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。

活动二：学生利用周末制作木制三角形和四边形，探究图形的稳定性
思考：三角形为什么具备稳定性？有什么办法让四边形也具备稳定性？ 说一说你周围应用三角形稳定性的实际例子，以感受数学的价值，增强应用数学 的意识，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物。

【例题讲解】
1. 已知AB =AC ，，再添加一个什么样的条件
△ABD
与△ACD 全等并说明理由。

2已知：如图, 在△ABC 中，AB ＝AC ， 求证：∠B ＝∠C .
【当堂反馈】
1、已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）
A
B
C
D
A ．72°
B ．60°
C ．58°
D ．50°
2、如图，在ABC △与DEF △中，已有条件AB DE =，
还需添加两个条件才能使 ABC DEF △≌△，不能添加的一组条件是（ ） A ．B E ∠=∠，BC EF = B ．BC EF =，AC DF = C ．A D ∠=∠，B E ∠=∠ D ．A D ∠=∠，BC EF = 3. 如图，给出下列四组条件：
①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；
③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
4. 如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ． 5如图，在ΔABC 与ΔAED 中，AB =AE ，AC =AD ，请补充一个已知条件：____________(写一个即可)， 使ΔABC ≌ΔAED . 试说明理由.
A
B C D
E F
a
c
c
a
b
α
50°
58° 72°
A
C B
D
F
E
图3
A
B
C
C 1
A 1
B 1
D
C
B
A
6、已知：如图，AB ＝CD ，AD ＝CB ， 求证：∠B ＝∠D .
7、你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？
D C
O
A
B
8.如图，已知AB ＝AC ，BD ＝CD ，试用“边边边”的方法说明：∠B ＝∠C w
9.如图方格纸中DEF △的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）
上，
这样的三角形角格点三角形。

请你在图中画一个格点△ABC ，且使 △ABC ≌DEF △，这样的格点三角形你能画几个？
′
′
′
′′D C O A B
1.3探索三角形全等的条件（4）【学习目标】
1、角平分线的尺规作图
2、“sss公理”的灵活应用
【学习重点】角平分线作图原理及“sss公理”的灵活应用
【学习难点】“sss公理”的灵活应用
【探索新知】
活动1.不利用任何工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法？
活动2.如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
数学来源于生活，古代的能工巧匠就找到了解决的办法
1.如下图，是一个角平分仪，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB 、AC沿着角
的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是角平分线，你能说出其中的道理吗？
2. 工人师傅常常用角尺平分一个任意角，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺，使角的两边相同刻度分别与点A、B重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠COD的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.
【操作探究】
例1：那么根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？
画法图形
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E
2.分别以D、E为圆心，大于1
2DE的长度画弧，两弧
在∠AOB的内部交于点C.
3.画射线OC，OC就是∠AOB的角平分线
思考：用直尺和圆规画角的平分线的道理和依据是什么？
练习：在下图中用直尺和圆规画平角∠AOB的角平分线
例2：
【例题讲解】
例1、如图，点A、C、D、F在同一条直线上，AB=FE，BC=ED，AD=FC。

∠B与∠E相等吗？为什么？
A
F C
D
D C
B A
例2、如图已知CD ⊥AB 于点D ， BE ⊥AC 于点E ；BE ，CD 交于点O ， 且AO 平分∠BAC ．说明：OB =OC ．
【当堂反馈】
1.如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.
2.在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，且∠CAB=∠EAD ．试说明：CE=BD ．
3．已知:BD ⊥AM 于点D ，CE ⊥AN 于点E ，BD ，CE 交点F ，CF =BF ， 说明：点F 在∠A 的平分线上.
1.3探索三角形全等的条件（5）
【课标要求】
A
D
B
C
Ｅ
A
B C
D
E
O
【学习目标】
⒈理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；
⒉了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；
⒊要求学生学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．
【学习重难点】理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等【课标要求】
【操作探究】
活动1：试用尺规作出满足下列条件的三角形．
∠B=30°，AB=5cm，AC=3cm；（追问：所作的三角形全等吗？）
活动2：做一做；按下列画法，用圆规和刻度尺画直角三角形
画法图形1．画角∠PCQ=90°.
2．在射线CP上取CB=2cm.
3．以B为圆心，3cm为半径画弧交射线
CQ与点A.
4．连接AB.
你画的这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，从中你发现了什么？斜边、直角边的判定方法
的两个直角三角形全等，
D
C
B
A
简称斜边、直角边或HL . 通常写成下面的格式： 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，
∵⎩⎨⎧AC ＝DF BC ＝EF
∴Rt △ABC ≌R △DEF （HL ）
①两直角三角形两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，根据 . ②两直角三角形斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，根据 . ③两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等，根据 . ④两直角三角形全等的特殊条件是______和_______对应相等. 活动3：谈谈“两条边对应相等的两个直角三角形全等”这句话的理解. 【例题讲解】
1.如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ,垂足为D ，试用（H .L ）全等 的方法说明AD 平分∠BAC
2.已知如图， AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，垂足分别为C 、D ，AC =BD ，
求证：OC=OD OB=OC
【当堂反馈】
1.下列三角形不一定全等的是（ ）
F
E
D C
B
A A .有两个角和一条边对应相等的三角形
B .有两条边和一个角对应相等的三角形
C .斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形
D .三条边对应相等的两个三角形 2. 如图，AB ⊥BD ，CD ∥AB ，AB =CD ，点
E 、
F 在BD 上，且AE =CF .试说明AE ∥CF .
3．已知，如图：D 是BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别为垂足，且AE =AF . ⑴ △AED 与△AFD 全等吗？为什么？⑵ AD 平分∠BAC 吗？为什么？
4. 已知：如图，AB =CD ， E 、F 在AC 上，∠AFB =∠CED =90°，AE =CF ． （1）△ABF 与△CDE 全等吗？为什么？
（2）你发现AB 与CD 除相等外还有什么关系？如有就说明理由．
A
B
C
D
E
F A
B
C
D
E
F。