拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

.
评注：这道题的参考答案的解法是令 g x ax f x ,再去证明函数 g x 的最小值
g x 0 .这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数 a ,要对参数 a 进行 min
分类讨论;其次为了判断 g x 的单调性,还要求 g' x 0 和 g' x 0 的解,这个求解涉及到反
（2）证明
g

a
，
g

a
2
b

，
g
b

三者大小的关系
例6：（2004年四川卷第22题）[3]
已知函数 f x ln(1 x) x, g x x ln x .
（Ⅰ）求函数 f x 的最大值；
（Ⅱ）设
0

a

b

2a
，证明：
g

a


g
b


2g

（1）用于证明 f b f a 与 b a 的大小关系
例5：(2006年四川卷理第22题) [3]
已知函数
f
x

x2

2 x

a ln
x(x

0),
f
x
的导函数是
f
'
x
，对任意两个不相等的正
x1,
x
2
，
证明：（Ⅱ）当 a 4 时， f ' x1 f ' x 2 x1x 2 .
二． 利用拉格朗日中值定理证最值
（1）证 f b f a 或 f b f a
ba
ba
-------------即证 f ' 与 的大小关系
例2：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数 f (x) 1 x2 ax (a 1) ln x, a 1
上， f ' x 的最大值 f ' x f ' 2k 2 1 在
max
3
2k ,2k 1 上， f ' x 的最大值
f
'
x max

f
' 2k
1 3
.从而函数
f
' x 在 2k ,2k
2 上的最大值是
x （Ⅰ）求 f (x) 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 a 1, g(x) f ' (x), 问是否存在实数 k ，使得函数 g(x) 上任意不同两点连线的斜率都
不小于 k ？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，说明理由.
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）当
a

1
时，
g(x)

1
2 x2

1 x
，假设存在实数
x1 x2

令 g 2 (a 1) a 1，则 a 12 4a 1 a 1a 5 .由于1 a 5 ，所以
0 .从而 g 0 在 R 恒成立.也即 2 a a 1 .又 x1, x2 ， x1, x2 0, ，故
1恒成立.所以由拉
格朗日定理得： g x1 g x 2 g' (x1x 2) g' x1x 2 x1x 2 .
评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀， 大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现 了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.
让 x 0 得 G x f ' e e f ' 0 2 ，所以 a 的取值范围是 (, 2] . min 评注：用的是初等数学的方法.即令 g x f x ax ，再分 a 2 和 a 2 两种情况讨论.
其中， a 2 又要去解方程 g' x 0 .但这有两个缺点：首先，为什么 a 的取值范围要以 2 为
a
2
b

两次运用拉格朗日中值定理.
例7：(2006年四川卷理第22题)
已知函数
f
x

x2

2 x

a ln
x(x

0),
f
x
的导函数是
f
'
x
，对任意两个不相等的正数
x1,
x
2
，
证明：（Ⅰ）当 a
0 时，
分界展开.其次，方程 g' x 0 求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，
省去麻烦.
例4：（2008年全国卷Ⅱ22题）
设函数 f x sin x .
2 cos x
（Ⅰ）求 f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x 0 ，都有 f x ax ，求 a 的取值范围.
（Ⅰ）证明： f x 的导数 f ' x 2 ；
（Ⅱ）证明：若对所有 x 0 ，都有 f x ax ，则 a 的取值范围是 (, 2] .
（Ⅰ）略.
（Ⅱ）证明：（i）当 x 0 时，对任意的 a ，都有 f x ax
(ii)当 x 0 时，问题即转化为 a ex ex
（2）、证明 f x a 或 f x a 成立（其中 x 0 ， f (0) 0 ）
x
x
f x f (0)
f x f (0)
----------即证
a或
a
x0
x0
例3：（2007年高考全国卷I第20题）
设函数 f x ex ex .[2]
2
4 x3

a x2
1 ，即证
a 4 时， a x2 4 恒成立.这等价于证明 x2 4 的最小值大于 4 .由 x2 4 x2 2 2 33 4 ，
x
x
x
xx
当且仅当 x

3
2
时取到最小值，又 a
4 33
4
，故 a

4 时， 2
4 x3

a x2
f
'
x max

1.kN 3
知，当 x 0 时， f ' x 的最大值为 f ' x 1 .所以， f ' 的最大值 f ' 1 .为了使
max 3
max 3
f
'


a
恒成立，应有
f
'
max

a
.所以
a
的取值范围是

1 3
,

k
，使得的图象上任意不同两点连线
的斜率都不小于
k
，即对任意
x2

x1

0 ，都有
g(x2 ) x2
g ( x1 ) x1

k,
即求任意两点割线斜率的大
小，由中值定理知存在
x (x1, x2 ) ，有
g' (x)

g(x2 ) x2
g ( x1 ) x1

k,
转为求切线斜率的大小.即
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用
一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数 f 满足如下条件：
（i） f 在闭区间 [a,b] 上连续；
（ii） f 在开区间 (a,b) 内可导；
则在 a,b 内至少存在一点 ，使得 f ' f b f a .
ba 几何意义：
证明：
由
f
x x2 2 a ln x 得，
x
f
'
(x)

2x

2 x2
a ，令 g x
x
f ' x 则由拉格朗日中
值定理得： g x1 g x 2 g' (x1x 2)
下面只要证明：当 a
4 时，任意
0 ,都有 g' 1 ，则有 g' x
对所有 x 0 恒成立.令 G x ex ex

f x
f
0
，
x
x
x0
由拉格朗日中值定理知 0, x 内至少存在一点 （从而
0 ），使得
f '
f
x
f
0
，即
x0
G x f ' e e ，由于 f '' e e e0 e0 0 ，故 f ' 在 0, x 上是增函数，

b
2
a

ln
4a ab源自 2ab
a ln
2
评注：对于不等式中含有
g

a
,
g
b

,
g

a
2
b


a

b

的形式，我们往往可以把
g

a
2
b


g
a

和
g
b


g

a
2
b

，分别对
g

a
2
b


g

a
和
g
b


g

0 .则 2 a a 1 1 ，即 f ' a a 1 1 ，也即 f (x1) f (x2 ) 1.


x1 x2
评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数 g x f x x .为什么考虑函数
g x f x x 很多考生一下子不易想到.而且 g' x 的放缩也不易想到.
g' (x) 4 1 k 在 (0, ) 上恒成立.（以下同参考答案） x3 x2
评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将 g(x2 ) g(x1) k, 转 x2 x1
化为 g(x2 ) kx2 g(x1) x1, 转而考查函数 h(x) g(x) kx ，学生不是很容易想到， 但若利用 拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．
f ' x 2 cos x 1 ，从而 f '' x 2sin x 2 cos xcos x 1 .令 f '' x 0 得，
2 cos x2
2 cos x2
x 2k 1 ,2k 2 ；令 f '' x 0 得， x 2k ,2k 1 .所以在 2k 1 ,2k 2
余弦 arccos 3a ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观
点解题的优越性.
三．利用拉格朗日中值定理证不等式 在近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立
问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学 的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力． 下面以近几年全国各地的数学高考试题为例， 说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的 优势．
a,
a
2
b

,



a
2
b
,
b

，使得
g
b


g

a
2
b



g

a
2
b


g

a



g' g'
b a ln ln b a
2
2

ln


b
2
a

ln
b a
2
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）证明：若 a 5 ，则对任意 x1, x2 0, ， x1

x2 ，有
f (x1) f (x2 ) x1 x2
1.
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）要证 f (x1) f (x2 ) 1成立，即证 f ' a a 1 1 .
证明（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：当 x 0 时，显然对任何 a ，都有
f x ax ；当 x 0 时，
f
x

f
x
f
0
x
x0
由拉格朗日中值定理，知存在 0, x ，使得 f x f x f 0 f ' .由（Ⅰ）知
x
x0
在满足定理条件的曲线上 y f (x) 至少存在一点 p( , f ( )) ，该曲线在该点处的切线平
行于曲线两端的连线 AB （如图） 二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用
由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即 连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例 1：（2011 年福建省质检理 19 题）已知函数 f (x) x 2a2 a ln x.
a
2
b


(b

a)
ln
2
.
证明（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：依题意，有 g' x ln x 1，
g

a

g
b

2g

a
2
b


g
b

g

a
2
b



g

a
2
b


g

a


由拉格朗日中值定理得，
存在