北京市东城区2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案

北京市东城区 2014－ 2015 学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）
（考120 分分100 分）
一、（每小 4 分，共32 分，在每小出的四个中，出切合目要求的一）
1. 以下出的句①4＝M；②M M21；③M＝N＝3；④M＋N＝0中，正确的选项是
A.①
B. ②
C. ③
D. ④
2.已知向量 AB ＝（2，0），那么｜ AB ｜等于
A.1
B.2
C.3
D.4
3.命“ 随意 x∈ R，｜ x｜≥ 0”的否认是
A. 随意x R ，都有 | x |0
B. 不存在x0R，使得 |x0 | 0
C. 存在x0R ，使得 | x0 |0
D. 存在x0R ，使得 | x0| 0
4.下的程序框表示的算法的功能是
A.算小于 100 的奇数的乘
B.算从 1 开始的奇数的乘
D.算 1× 3×5×⋯× n≥ 100 的最小的 n 的。

5. 在度8 的段 AB 上任取一点C，那么段AC 的度不超 2 的概率是
A.11
C.
41 2
B.
5
D.
34
6.
若向量a b
足
| a | | b | 1
，且
a
与
b
的角
60
a b 等于、°， a a
A.13
C.
13 2
B.
2
D.
22
7.某位共有老年、中年、青年工430 人，此中有青年工 160人，中年工人数是老年工
人数的2 倍，认识工身体状况，采纳分抽方法行，在抽取的本中有青年工32
人，则该样本中的老年员工人数为
A. 72
B. 36
C. 18
D. 27
8. 以双曲线x
2
y2 1 的极点为极点，离心率为
1
的椭圆方程是1692
A.x2y 2
1 B.
3x2y2 161232
1
16
C.x2y 21或 x 23y21
D.x 2y 21或 x 2y 21
161216642794816
二、填空题：此题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分。

9.曲线 y x3 1在点（1，2）处的切线斜率等于___________。

10.在平面直角坐标系
xoy
中，向量 a (1,2), b ( x,1) ，若⊥，则
x
等于
_______。

a b
11.若双曲线x
2
y 2 1 右焦点是抛物线y 216x 的焦点，则双曲线的方程为_______。

6t 2
12.甲和乙两个城市昨年上半年每个月的均匀气温（单位：℃）用茎叶图记录以以下图，依据茎叶图
可知，两城市中均匀温度较高的城市是___________，气温颠簸较大的城市是__________。

13.在平面直角坐标系中，从五个点：A（ 0， 0）、 B（ 2， 0）、 C（ 1， 1）、 D （ 0， 2）、 E（ 2，2）中任取三个，则这三点能组成三角形的概率是__________。

14.以下判断：（ 1） x>3 是 x>1 的充足不用要条件；
（ 2）函数 f (x) 在x x0处的导数存在，若 f (x0 )0 ，则 x0为函数 f ( x) 的一个极值点；
3p
x1y
1 的右焦点，命题q
x
1
， p q
（）命题：直线 y过椭圆 x22：若 x 1 则2
2
为真命题；
（ 4）椭圆x
2
y 21(a b 0) 离心率为
3
，则双曲线
x
2
y21的离心率为 5 。

a 2b22 a 2b22
全部正确判断的序号是____________。

三、解答题：本大题共 5 小题，此中第15、16、17 题各
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分8 分）
8 分，第18 题、第19 题各10 分，共44 分，
用三种不一样颜色给图中的 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种，求：
（Ⅰ） 3 个矩形颜色都同样的概率；
（Ⅱ） 3 个矩形颜色都不一样的概率。

16.（本小题满分8 分）
将一颗骰子分别扔掷两次，察看出现的点数。

（Ⅰ）求出现点数之和为7 的概率；
（Ⅱ）若记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，若向量p ( m,n)，q(2,6) 求向量 p 与 q 共线的概率。

17.（本小题满分8 分）
已知两定点 A(2,0), B(1,0) ，动点P知足 PA2PB 。

（Ⅰ）求动定P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点 P 的轨迹为曲线 C，求抛物线y22x 的准线与曲线C的交点坐标。

18.（本小题满分 10 分）
从某校随机抽取100 名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理数据
获取频数散布表和频次散布直方图。

组号分组频数频次
1[0,2)60.06
2[2,4)80.08
3[4,6)x0.17
4[6,8)220.22
5[8,10)y z
6[10,12)120.12
7[12,14)60.06
8[14,16)20.02
9[16,18)20.02
共计100
（Ⅰ）求出频次散布表及频次散布直方图中的x，y， z， a， b 的值；
（Ⅱ）从该校随机选用一名学生，试预计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；
（Ⅲ）若从一周课外阅读时间超出12 小时（含12 小时）以上的同学中随机选用 2 名同学，求所抽取同学来自同一组的概率。

19. （本小题满分10 分）
函数 f ( x)（Ⅰ）当 k 1 x3kx,k
3
4 时，求函数
R 。

f ( x) 的极值；
（Ⅱ）若曲线y f ( x) 与直线y k只有一个交点，务实数k 的取值范围。

【试题答案】
一、（每小 4 分，共 32 分。

在每小出的四个中，出切合目要求的一）
1.B
2.B
3.D
4.D
5.D
6.A
7.C
8.C
二、填空：本共 6 小，每小 4 分，共 24 分。

x2y 2
1 12.乙；乙13.4
9. 3 10. 2 11.
1014. （1）（ 4）
65
三、解答：本大共 5 小，此中第15， 16 各 8 分，第 17，18 各 8 分，第 1910 分，共44分，解答写出文字明，明程或演算步。

15. （本小分8 分）
解：按涂色序果（x，y， z），因为是随机涂色，所以x，y，z 各有 3 种不一样的涂法，故全部基本领件共有27 种。

4 分
（Ⅰ）三个矩形色都同样的基本领件有 3 个，所以三个矩形都涂同一种色的概率
31
27。

9
6 分
（Ⅱ）三个矩形色都不一样的基本领件有，
(x, y, z), ( x, z, y), ( y, x, z), ( y, z, x),( z, x, y) (z, y, x)共 6 个，所以三个矩形色都不一样的概率 2 。

8 分
9
16.（本小分 8 分）
解：（Ⅰ）“出点数和7” 事件 A 。

将一骰子两次，出的点数有：（ 1，1），（ 1，2）⋯⋯⋯（ 6，6）共包含 36 个基本领件。

3分
A事件包含的基本领件有：（ 1， 6），（ 2， 5），（ 3， 4），（ 4， 3），（ 5， 2），（ 6， 1）
61
5 分
共 6 个基本领件。

所以，P( A)。

366
（Ⅱ）“向量 p 与 q 共” 事件 B。

将一骰子两次，出的点数有：（1， 1），（1， 2）⋯⋯（ 1，6）
（ 2， 1），（ 2， 2）⋯⋯（ 2， 6）
（ 3， 1），（3， 2）⋯⋯（ 3，6）
⋯⋯
（ 6， 1），（6， 2）⋯⋯（ 6，6）
共包含 36 个基本领件。

由向量 p 与 q 共，可获取n＝3m，事件 B 含的基本领件有（1， 3），（ 2， 6），共 2 个。

2 1 所以 P(B)
8 分
36
18
17. （本小 分 8 分）
解：（Ⅰ） 点
P(x, y) ，由 意： | PA |
( x 2) 2
y
2
2|PB |得，
2 ，
( x 1)2
y 2
整理获取点 P 的 迹方程
x
2
y
2
4 x 0 。

4 分
（Ⅱ）抛物
y 2
2x 的准 x
1 ，
2
x 2 y 2
4x 0
得交点 (1
,
7),(1
, 7 )
解方程
x
1
8 分
2
2 2
2
2
18. （本小 分 10 分）
解：（Ⅰ）由 率散布表及 率散布直方 可得
x 17, y 25, z 0.25, a 0.085 ，b
0.125
2 分
（Ⅱ）由 率散布表知：周 外 少于 12 小 的 数 6 8 17 22 25 12 90，
∴周 外 少于
12 小 的 率
90
＝0.9；由此估 从 校随机 取一名学生， 名
100
学生 周 外 少于 12 小 的概率 0.9。

4 分
（Ⅲ） “所抽取同学来自同一 ” 事件 A 。

由 率散布表可知，一周 外 超
12 小 （含 12 小 ）以上的同学共有 10 人，分
10 位同学 A 1， A 2，⋯ A 10。

从 10 个同学中任 取
2 名同学，包含以下基本领件：
(A 1, A 2)( A 1 , A 3) ( A 1, A 10 ) ，
(A 2 ,A 3)(A 2,A 10) ，
⋯⋯⋯⋯
(A 9,A 10)。

8 分
共987
6 5 4 3 2 1 45 种。

若所
2 人分在同一 共有
17 种状况， 即事件 A
包含的基本领件有
17 个。

所以，
17 。

10 分
P( A)
45
19. （本小 分 10 分）
解：（Ⅰ）因 f ( x ) x 2 k ，
当 k
4 ， f ( x)
x 2 4 ，令 f (x) x 2 4 0 ，所以 x 1
2, x 2 2 。

f (x), f (x) 随 x 的 化状况以下表：
x( ,2)－ 2( 2,2)2(2, )
f ( x)＋0－0＋f ( x)↗极大值↘极小值↗所以 f ( x) 的单一递加区间是 (,2), (2,) 单一递减区间是 ( 2,2) 。

当 x 2 时，获得极大值，极大值为 f ( 2)16 。

3
当 x 2 时，获得极小值，极小值为 f (2)16
4 分。

3
（Ⅱ）令 g( x) f ( x) k ，所以 g( x) 只有一个零点。

因为 g
(x f
(
x
)
x2k ，)
当 k0时， g( x)x3，所以g(x)只有一个零点0。

当 k0时， g ( x)x 2k 0 对x R 建立，
所以 g(x) 单一递加，所以g( x) 只有一个零点。

当 k0时，令 g (x)f(x) x 2k0 ，解得 x1k 或 x2k 。

所以 g ( x), g ( x) 随x的变化状况以下表：
x(,k )k( k , k )k( k , )
g ( x)＋0－0＋
g( x)↗极大值↘极小值↗
g( x) 有且仅有一个零点等价于g ( k )0 ，即g(k )2
k k k0 ，解得 0 k9。

34
综上所述， k 的取值范围是k 9
10 分。

4。