人教版数学必修第一册综合复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件

8

，
2

4

2
B．0， ， ，
3
4

6

3

2
，π
D．0， ， ， ，
2
3

2．用五点法作函数y＝sin(x－ )在一个周期内的图象时，
6
7
2

,0
,1
,
0
6
主要确定的五个点是________，________，________，
3
6


,
0
,
−1
________，________.
2
，π)上
[－2,1)
有实数根，则m的取值范围是_______________．
方法点拨：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考向3
三角函数模型的应用
[例8] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的
最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点
M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，则点P到
长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个
5
对称中心为点(
12
，0)，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
方法总结
五点法作图，即用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的
简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，

2
，π，

2
，2π来求出相应的x. 通过列表，计算得出
φ对函数图象变化的影响．
问题，体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型．
核心
素养
直观想象、数学建模
基础梳理
基础点一
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
2
T＝______


1
f＝ ＝______
3
考点突破
考点一
五点法作图(高考热度：)

2
[例1] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ ＜φ＜
的最小正周期是π，且当x＝

时，f(x)取得最大值2.
6

(1)求f(x)的解析式； f(x)＝2sin 2 + 6
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．

)
2
[例2] (202X届江西新余四中高三月考)某同学用“五点法”画函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜

)在某一个周期内的图象时，
2
列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
x
f(x)＝Asin(ωx＋φ)
0

2

3
5
π
0
3
2
5
6
2π
－5
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
(2)将函数y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位
整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
考向2
[例7]
函数零点(方程根)问题
已知关于x的方程2sin2x－
3 sin

2x＋m－1＝0在(
2
，π)上
(－2，－1)
有两个不同的实数根，则m的取值范围是_______________．
对点变式
变式
已知关于x的方程2sin2x－
3 sin

2x＋m－1＝0在(
|φ|<

)的部分图象如图所示，若f(0)＝
2
3 ，且 ⋅ ＝
B，C分别为最高点与最低点．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若将f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到
6

函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0， ]上的
2
最大值和最小值．
2
8
－8，
方法点拨
研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个
五点坐标，描点后得出图象.
考点二
[例3]
函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换(高考热度：)
(202X·漳州八校联考)若函数f(x)＝cos 2

−
6
，为了得到函
数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象( A )

A．向右平移 个单位长度
6

B．向右平移 个单位长度
3

C．向左平移 个单位长度
2

ωx＋φ
φ
基础小测

4
1．函数y＝2sin(2x＋ )的振幅、频率和初相分别为( A )
，

4
C．2， ，

8
A．2，




B．2，
1

D．2，
1
2
，

4
，－

8
2．(202X湖南长沙模拟)函数y＝cos(x＋1)图象上相邻的
2 + 4
最高点和最低点之间的距离是________．
基础点二
该点在上升区间上还是在降落区间上)或把图象的最高点或最低
点的坐标代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点
作为突破口.
考点四
三角函数图象、性质的综合应用(高考热度：)
考向1
图象与性质的综合问题
[例6] (202X届四川南充一中高三调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，
6
3
基础点三
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
知识点睛
(1)两种变换的区分
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；
②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是
||
(ω>0)个单位长度．

(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看
“自变量x”产生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
基础小测

(202X届湖南师大附中高三月考) 要得到函数y＝sin(4x＋ )的图象，
3
只需将函数y＝sin 4x的图象( A )

A．向左平移 个单位长度
12

B．向右平移 个单位长度
12

C．向左平移 个单位长度
3

D．向右平移 个单位长度
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
新课程标准
考向预测
1．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；
1．“五点法”作图及图
能借助计算器或计算机画出y＝
象变换
2．会用三角函数解决一些简单实际
3．三角函数的综合问题
命题
2．求函数y＝Asin(ωx＋
Asin(ωx＋φ)的图象，视察参数A、ω、
角度
φ)的解析式
8
解题通法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象变换主要有两种：
先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函
数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，
并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么
需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．
考点三
[例4]
4
地面的距离是________米．
方法点拨
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函
数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数
学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
通过本节课，
你学会了什么？
解析过程见配套学案
由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(高考热度：)

(多选题)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象上
6
2
3
的所有点的横坐标缩短到本来的 ，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

2
|φ|< )的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法
6

D．向左平移 个单位长度
3Байду номын сангаас
考点微练
1．(202X届贵州安顺上学期第一次联考)已知函数f(x)＝ 2 cos 2x，
要得到g(x)＝ 2 cos 2 +

4
的图象，只需将f(x)的图象( D )

A．向左平移 个单位长度
4

B．向右平移 个单位长度
8

C．向右平移 个单位长度
4

D．向左平移 个单位长度
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，
如表所示：
ωx＋φ
x
y＝Asin(ωx＋φ)
0

−

0

2

2
−
A
π


−

0
3
2

2
−
－A
2π


−

0
五点法作图的步骤
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过
2

f(x)＝ 2 sin 2 +
的解析式为____________________．
3
解题通法
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式
时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定．
y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法：
(1)代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意
正确的是( ACD )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2

6
C．f(x)的图象关于直线x＝ 对称
B．f(x)的图象关于点
D．f(x)在区间

,
6 3

,0
6
中心对称
上单调递减
[例5]
(202X届山东寿光一中高三月考)函数f(x)＝Asin(ωx＋

φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示，则函数f(x)
变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，

2
，π，
3
2
，2π来求
出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得

出图象，其中相邻两点的横向距离均为
4
．
基础小测
1．用五点作图法作y＝2sin 4x的图象时，第一描出的五
个点的横坐标是( C )

2
A．0， ，π，

8

4
3
2
C．0， ， ，
，2π
3