基于线性随机Radon变换以及傅里叶变换的图像加密

收稿日期：2020-05-28
作者简介：姚西成（1999-），男，四川南充人，在读本科生，主要研究方向为图像处理以及图像加密技术；冷昕云（1999-），女，四川省成都市郫都区人，
在读本科生，主要研究方向为离散信号处理以及图像去噪技术。

基于线性随机Radon 变换以及傅里叶变换的图像加密
姚西成，
冷昕云（西南石油大学理学院四川成都
610000）
摘要：图像信息安全已经成为了当今多媒体时代一个重大课题，
图像加密技术的发展变得至关重要。

传统的图像加密方式存在着易破解，鲁棒性差等问题。

文章提出了两种涉及到域变换的图像加密方式，即线性随机Radon 变换以及Fourier 变换。

本文设计的算法在MATLAB 平台进行了仿真，结果表明这两种方法具有一定的复杂性，提高了图像信息的安全性，具有良好的发展前景。

关键词：图像加密；随机Radon 变换；Fourier 变换中图分类号：TP391.41
文献标识码：A
Image Encryption Based on Linear Random Radon Transform and Fourier Transform
YAO Xi-Cheng,LENG Xin-Yun
(College of Science,Southwest Petroleum University,Chengdu 610000,China)
Abstract ：Image information security has become a major issue in the multimedia era,and the development of image encryption technology has become very important.The traditional image encryption method is easy to crack and has poor robustness.In this paper,two image encryption methods involving domain transform are proposed,namely Radon transform and Fourier transform.These two methods have a certain complexity,improve the security of image information,and have a good development prospect.
Key words:image encryption;random Radon transform;Fourier transform
随着计算机技术以及网络信息传输技术的日益发
展，图像信息在日常生活中占据重要地位，图像具有形象、直观以及信息储量大的特点，
是一种重要的信息载体。

但是目前数字图像在网络传输的过程中，信息容易遇到外来攻击，面临着被窃取，复制以及篡改等安全问题，这导致图像内容真实性受到严重威胁，给用户信息安全带来巨大隐患[1]。

因此,对图像信息加密技术的研
究已成为信息领域倍受关注的焦点。

常用的数字图像加密方法是把图像像素点进行置
乱，使图像成为乱码状态进而无法辨别出图像信息。

这种方法虽说可以在一定程度上对图像信息进行加密，
但随着数字图像处理技术的发展，
上述方法已经变得非常容易被破解。

因此，本文提出了两种图像加密的
方法，首先是基于线性Radon 变换的图像加密法，即随机产生一组角度值，把图像向所产生的每一个角度投影，获得一个加密的图像。

解密图像则需要利用角
度值和Radon 逆变换。

第二种方法是基于傅里叶变换的行列像素点置乱加密。

利用傅立叶变换将图像从空间域转换到频率域，再将零频点移动到频谱中间获得频谱图，最后对频谱图进行行列像素点置乱加密获
得加密图像。

解密图像则是一个逆过程，
需要先将像素点重新归位，再利用傅里叶逆变换来获得原图像。

这两种方法具有一定的复杂结构，
能够提高信息的安全性。

1基于线性Radon 变换的图像加密技术
1.1线性Radon 变换
线性Radon 变换是指将某个函数按照给定的路线
进行积分运算，且积分路径是直线。

线性Radon 变换可以选取不同方向的直线作为原始图像灰度分布函数的积分路径，来获得原始灰度图像在不同方向上的投影
积分。

沿y '方向的Radon 变换为[2,3]：
电脑与信息技术2020年12月
R Ø(x ')=
+∞-∞
∫
f(x 'cos θ-y 'sin θ,x 'sin θ+y 'cos θ)dy '
x 'y '[]=cos θsin θ
-sin θcos θ
[
]x y
[]
其中，f 是被积分函数，x ，y 和x '，y '分别为原始空间坐标和Radon 空间坐标。

θ是x '与x 的夹角。

1.2随机Radon 变换法
设n ×n 像素的灰度图像为f(x,y)，随机产生t 个参数θk ，按照式（3）对f(x,y)进行线性Radon 变换，得到m 个一维列向量C θk (x ')，其中k=1,2,…,t ，0≤θk ≤π。

按式（3）将t 个一维列向量C θk (x ')构成矩阵g(x ',y ')：
g(x ',y ')={C θ1(x '),C θ2(x '),……,C θt (x ')}（3）按以上方法即可将平面直角坐标系下n ×n 像素的图像f(x,y)通过随机线性Radon 变换转换为Radon 坐标系下的图像g(x ',y ')。

在解密图像时，利用随机Radon 变换时使用的θk
参数即此种方法的密钥，通过Radon 逆变换就可以将g(x ',y ')重新变换为f(x,y)，得到解密图片。

下面以图a 所示的图像为例，选取按照上述m=600对其进行随机Radon 变换，结果如图c 所示：
由实验结果可知，此方法的加密效果良好，
但重构解密后的图像存在着部分失真。

经后续实验表明，随着θ的增多即t 的增大，解密后的图像与原图的近似程度
越高，解密的还原度越大。

2基于傅里叶变换的行列像素点置乱加密
2.1傅里叶变换以及行列像素置乱原理
2.1.1傅里叶变换以及其逆变换
傅里叶在1822年提出了傅里叶变换.其定义为：
一个任意周期函数都可以分解为无穷多个不同频率的正弦或余弦函数。

求解傅里叶级数的过程就是傅里叶
变换.其物理意义是将图像从空间域变换到频率域，将图像的灰度分布变换为频率分布。

设f(x)为时间域上等距离采样得到的N 点离散序
列，x 为离散实变量，u 为离散频率变量，则离散傅里叶变换定义如下[4]。

一维傅里叶变换：
F(x)=1N √N-1
x =0
∑f(x)exp -j2πxu
N []
,u=0,1,…,N-1（4）一维傅里叶逆变换：F(x)=1
N
√N-1
u =0
∑f(x)exp
j2πxu
N
[
]
,x=0,1,…,N-1（5）而在图像处理时，需要用到的是二维傅里叶变换。

设f(x)是空间域上等距离采样得到的M ×N 点离散
序列，x ，y 为离散实变量，u 和v 为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换定义如下。

二维傅里叶变换:F(u,v)=1
MN
M-1x =0∑N-1y =0
∑f(x,y)exp -j2πxu M
+yv
N
()[]（6）其中，u=0,1,2,…，M-1；v=0,1,2,…,N-1。

二维傅里叶逆变换：F(u,v)=1
MN
M-1u =0∑N-1v =0
∑F(u,v)exp j2πxu M
+yv
N
()[]（7）
其中，x=0,1,2,…，M-1；y=0,1,2,…,N-1。

2.1.2行列置乱[5]
行列像素点置乱法是按照一定的行列变换关系将原图中的像素信息进行了重新排布———置乱。

解密时通过一一对应的关系可以恢复为原来的图像。

这种方法所需的计算难度小、用时少、效率较高，可应用于包含数据较多、本身庞大的图像信息。

2.2基于傅里叶变换的行列像素置乱加密
如图2所示，首先利用傅里叶变换即第（6）式将图像f(x,y)从空间域转换到频率域得到F(u,v)，再通过平移将频率移到图像正中间获得频谱图F(u,v)'。

图a 原始灰度图像图b 随机Radon 变换后加密图像图c Radon 逆变换结果
图1对图a 进行随机Radon 变换以及逆变换结
果
·12·
第28卷第6期姚西成等：基于线性随机Radon 变换以及傅里叶变换的图像加密
设行列置乱中行的置乱关系为Mchange ，列的置乱关系为Nchange ，利用这两者将频谱图像进行置乱
便得到到加密图像。

解密过程是加密过程的逆过程，此种方法的密钥便是行列置换的置换关系Mchange 和
Nchange ，如图3、图4所示。

图3行列置乱后的频谱图即加密图像
图4解密后的图像
从实验结果来看，此方法在图像重构的效果方面
表现得很好，图像几乎没有失真。

说明此方法在具有良好加密效果的同时，亦具备有很好的不失真性和准确
性，在某些特殊场景具有很大的应用价值。

3结束语
本文提出了线性Radon 变换以及Fourier 变换提出了两种图像加密的方法，前一种方法以随机产生的为关键点，
利用线性Radon 变换将图像投影到变换域，解密时再利用先前的随机值和Radon 逆变换进行操作。

后一种方法在把图像进行傅里叶变换后投影到频域的基础上以置乱关系Mchange 和Nchange 为关键点
进一步做出了行列置换处理，使得加密效果进一步提高。

结果表明，这两种方法都具有良好的可操作性，
安全性，准确性以及较为可靠的密钥，
具备良好的加密功能。

参考文献：
[1]
韩珂,张泽中.基于雅克比椭圆混沌映射的图像加密算法
研究[J].计算机仿真,2014,10(9):187-192.[2]丁伟雄.MATLAB R2015a 数字图像处理[M].北京：清华大学出版社，2016：240-242.
[3]
彭凯飞,沈学举,黄富瑜,等.基于随机Radon 变换的DRPE 加密系统[J].半导体光电,2020,41(01):123-127.[4]范宏,任鹏庚,苗润阳,等.基于傅里叶变换的混凝土孔洞检验[J].青岛理工大学学报,2019,40(06):51-57.[5]
刘艳华.数字图像置乱加密解密技术的研究与实现[J].软件,
2018,39(03):141-144.
图a 原始灰度图像图b 频谱图
图c 平移后的频谱图
图2对图像进行傅里叶变换以及平移后
的图像
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