2021-2022年高考数学二轮复习专题1.4数列、不等式教学案

2021
年高考数学二轮复习专题1.4数列、不等式教学案
一．考场传真
1. 【xx课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
2．【xx课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B.
3．【xx课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，
1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来
的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么
该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
4．【xx课标II，理5】设，满足约束条件
2330
2330
30
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩
，则的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，故选A.
5．【xx课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．B．C．3 D．8
【答案】A
6．【xx课标3，理13】若，满足约束条件
y0
20
x
x y
y
-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值.
7．【xx 课标3，理14】设等比数列满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
()(
)12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①
，②，由 可得： ，代入①可得， 由等比数列的通项公式可得： .
8．【xx 课标II ，理15】等差数列的前项和为，，
，则 .
【答案】
9．【xx 课标1，理13】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，则的最小值为 . 【答案】
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333
A B C ---，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线直线过点时，取得最小值，所以取得最小值为
二．高考研究
【考纲解读】
1.考纲要求
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
（2）理解等差数列和等比数列的概念．
（3）掌握等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式．
（4）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，在实际情形中运用数列知识解决实际问题.．（5）了解等差数列与一次函数的关系以及等比数列与指数函数的关系.
（6）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
（7）认识数列的函数特性，能结合方程、不等式和解析几何等知识解决一些数列综合题．
不等式
（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
（2）一元二次不等式
①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
（4）基本不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
【命题规律】
对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容，主要考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.对等差数列与等比数列性质的考查是热点，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据与的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点．数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.选择、填空、解答题都有出现.数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，以解答题的形式出现.
不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式
的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围.常和函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题结合, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.
3．学法导航
1. 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
2. 解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、
函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．
3. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进
行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．
4. 给出S n与a n的递推关系，求a n，常用思路：一是利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.
5．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
6．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
7．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．
8．对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
一．基础知识整合
基础知识：
一．基础知识整合
1.等差数列知识要点：
（1）通项公式要点：
1
(1)
()
n
n m
n m
a a n d
a a n m d
a a
d
n m
⎧
⎪=+-
⎪
=+-
⎨
⎪-
⎪=
-
⎩
.
（2）前项和公式要点：S n＝n a1＋a n
2
＝na1＋
n n－1
2
d.
（3）通项公式的函数特征：是关于的一次函数形式(A、B为常数)，其中；
前项和公式的函数特征：是关于的常数项为0的二次函数形式S n＝An2＋Bn (A、B为常数)，其中.
（4）判断方法：①定义法：；（证明方法）；②等差中项法：；（证明方法）；③通项公式法：；④前项和公式法：S n＝An2＋Bn (A、B为常数).
（5）常用性质：
①如果数列是等差数列m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+（），特别地，当为奇数时，
121=2n n a a a a a -+=+=中…….②等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列.③等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为A n ，B n ，则.④等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列仍是等差数列.
（6）等差数列的单调性：设等差数列的公差为，当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；若，则数列为常数数列.
（7）等差数列的最值：若是等差数列，求前项和的最值时，①若，，且满足，则前项和最大;②若，，且满足，则前项和最小.
2.等比数列知识要点：（1）通项公式要点：1
1n n n m n m n m n
m a a q a a q a q a ---⎧⎪=⋅⎪⎪=⋅⎨⎪⎪=⎪⎩
.
（2）前项和公式要点：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨≠⎪--⎩
或. （3）通项公式的函数特征：是关于的函数（，都是不为0的常数，）；
前项和公式的函数特征：前项和是关于的函数（为常数且，）.
（4）判断方法：①定义法：（）；（证明方法）；②等比中项法：
21111(1,0)n n n n n n a a a n n a a a *-+-+⋅=>∈⋅⋅≠N 且；（证明方法）；③通项公式法：；
④前项和公式法：(0,0,1)n n S A B A A B =⋅-≠≠或.
（5）常用性质：①如果数列是等比数列m n p q m n p q a a a a +=+⇒⋅=⋅（），特别地，当为奇数时，2121=n n a a a a a -⋅=⋅=中…….②等比数列的前项和为，满足23243,,,,
n n n n n n n S S S S S S S ---成等比数
列（其中均不为0）.
（6）等比数列的单调性：设等比数列的公差为，当或时，为递增数列；当或. （7）等差与等比数列的转化：①若为正项等比数列，则为等差数列；②若为等差数列，则为等比数列；③若为等差数列又等比数列是非零常数列.
3.数列常见通项公式的求法：（1）累加法：；（2）累乘法：；（3）（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）解法：一般利用待定系数法构造
等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）
21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令
221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中满足，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求
解.（10）已知求(或)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n
n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 或与消去进行求解.（11） 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中 均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列.
4.数列求和的主要方法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分或.（2）倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．（3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式如下：①分式型
1111111()(1)1(21)(21)22121
n n n n n n n n =-=-++-+-+，;11111111()(2)22(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n ⎡⎤=-=-⎢⎥+++++++⎣⎦
，， ②乘式型()()()()1(1)1112,3n n n n n n n n +=--+-++⎡⎤⎣
⎦()()()()()()()1(1)21121234n n n n n n n n n n n ++=--++-+++⎡⎤⎣
⎦；阶乘型
()()()()111111111,,1!1!!1!
n n n k k m m m n n n n C C C kC nC n n n n -----+-==-=-=+++,；④三角函数型()
111tan tan tan tan 1tan n n n n n n a a a a a a +++-⋅=--, ()111cot cot 1,sin sin sin n n n n n n a a a a a a +++-=⋅-()()21sin 1sin cos ,22sin 2
k n k n kn k ++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()21cos 1cos sin 22sin 2
k n k n kn k ++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-
=（6）并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
5.不等式的常用变形如下
(1)根式形式：a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)整式形式：ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，以上不等式当且仅当a ＝b 时，等号成立；(3)分式形式：b a ＋a b
≥2(ab ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)倒数形式：a ＋1a ≥2(a ＞0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a
≤－2(a ＜0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立． 6.基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x ＞0，y ＞0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14
s 2(简记为：和定，积有最大值)． 7. 不等式恒成立问题：若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B .
8．确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知z b 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
二．高频考点突破
考点1 等差数列、等比数列的通项及基本量的求解
【例1】【xx 河北衡水中学二调】设正项等比数列的前项和为，且，若， ，则（ ）
A. 63或120
B. 256
C. 120
D. 63 【答案】C
【规律方法】等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．
【举一反三】【西藏拉萨市xx 届第一次模拟】已知等差数列的前项和为，若， ，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A
【解析】设等差数列的首项为，公差为， ， ，解方程组得： ，选A . 考点2 等差数列、等比数列的性质
【例2】已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则（ ）
A ．25
B ．16
C ．8
D ．4 【答案】B
【解析】由，得，所以，.
【规律方法】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．等差数列（或等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+（）（m n p q m n p q a a a a +=+⇒⋅=⋅（）），以及.
【举一反三】在公差不为0的等差数列中，，且为和的等比中项，则 . 【答案】13
【解析】222
42911111(3)()(8)3,03a a a a d a d a d d a d d d a =⇒+=++⇒=≠⇒=，而，所以
151,3,14313.a d a ===+⨯=
考点3 判断和证明等差数列、等比数列
【例3】【xx 河南漯河中学三模】数列的前项和为，且对任意正整数都有. （1）求证： 为等比数列； （2）若，且，求数列的前项和.
试题分析：（1）公式在常规数列题型中的应用，解得递推关系；（2）通过整理，得到，则求和为裂项相消求和，解得11111
441223
11
n n T n n n ⎛
⎫=-
+-++
-=
⎪++⎝
⎭. 【规律方法】(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *
)⇒{a n }是等差数列；
a n ＋1
a n
＝q (q 是非零常数)⇒{a n }是等比数列；(2)等差(比)中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *
)⇒{a n }是等差数列；a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *
，a n ≠0)⇒{a n }是等比数列；(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇒{a n }是等差数列；a n ＝a 1·q
n －1
(其中a 1，q 为非零
常数，n ∈N *
)⇒{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2
＋Bn (A ，B 为常数)⇒{a n }是等差数列；S n ＝Aq n
－A (A 为非零常数，q ≠0,1)⇒{a n }是等比数列.
【举一反三】【江苏省兴化市xx 届12月联考】已知数列的满足，前项的和为，且
()
*112
41
n n n n n a a n N a a S ++-=∈-.
（1）求的值；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设，若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.
【解析】（1）令得.
（2）因为，所以①.所以②， 由②-①，得12112112n n n n
n n n n n
a a a a
a a a a a +++++++=
---.因为，所以.
所以121112n n
n n n n
a a a a a a +++++
-=--，即，
即，所以数列是公差为1的等差数列.
（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.因为，所以，所以，所以数列是常数列. 由，所以.所以
()()12
222
21221n
n b n
n n c a n n -
=⋅=⋅-=
⋅⋅-.因为()()()1122221221223022
n n n n n c c n n n ++⎡⎤-=
⋅+-⋅-=⋅⋅+>⎣⎦，所以数列为单调递增数列 当时， ，即的最小值为 ，由22232222n k c k λλλλ-+⇒+，所以，而当时， 在递减， 递增，所以，当且仅当或时取得，故. 考点4 等差数列与等比数列的综合应用
【例4】【xx 陕西西安五中联考】已知等差数列的公差，且成等比数列，若， 为数列的前项和，则 的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C.
D.
分析：求解数列中的最大项或最小项的一般方法，先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 本题解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值． 【答案】B
【规律方法】等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍然是“基本量”方法，其通过方程或者方程组求出数列的基本量，然后再解决后续问题．
【举一反三】【山东省枣庄市xx 届一调】已知数列分别是等差数列与等比数列，满足，公差，且. （1）求数列和的通项公式；
（2）设数列对任意正整数 均有成立，设的前项和为， 求证： 是自然对数的底数）
考点5 一般数列的性质
【例5】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若
b 1＞
c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2
，c n ＋1＝b n ＋a n 2
，则( )
A.{S n }为递减数列
B.{S n }为递增数列
C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
分析：根据b 1＋c 1＝2a 1，b 1＞c 1，可以设，再利用海伦秦九韶公式表示出，比较它们之间的大小，即可判断出{S n }为递增数列.
解析：因为，不妨设，；故211111135152266a a a a S =
=；，，，2
1111213262233a a a a S a =
=；显然；同理，，，，211113133535228816
a a a a S a =
=，显然.故选B.
【规律方法】（1）在处理数列单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列恒成立”；（2）数列的单调性与的单调性不完全一致；（3）当数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求
解数列的单调性问题.
【举一反三】已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ） 7A.(,) B.[0,) C.[2,) D.(3,)2
-+∞+∞-+∞-+∞
【答案】D
考点6 一般数列的通项及求和
【例6】对于数列，定义1122...2n n
a a a Hn n
-+++=为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列
的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_________.
分析：本题考查数列的通项公式、数列的前项和，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.先由
1111112222222(1)222n n n n n n n n n Hn a a a n a n n a n +-+-+=⇒+++=⇒=--⇒=+⇒
，再利用数形结合思想和特殊与一般思想将对任意的恒成立转化为：． 【答案】 【解析】由1
1111122
22222(1)222n n n n n n n n n Hn a a a n a n n a n +-+-+=⇒++
+=⇒=--⇒=+⇒
，又对任意的恒成立5(2)20
6(2)20
k k k -+≥⎧⇒⇒∈⎨
-+≤⎩．
考点：1、数列的通项公式；2、数列的前项和．
【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中11种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.
【举一反三】在数列及中，2
2
2
2
1111,,1,1n n n n n n n n n n a a b a b b a b a b a b ++=++=++==．设，则数列的前项和为_____________．
【答案】
考
点7 存在探索与证明性问题
【例7】已知数列满足，，且对任意，都有()2
21211324
m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求，；
（2）设（）．①求数列的通项公式；
②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）赋值法求项：由令，，则，解得．由令，，则，解得．（Ⅱ）①由于
()()()()()121212121211211211211[]n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ++--++++-+++-⎡⎤⎡⎤-=---=+-+⎣⎦⎣⎦，所以利用赋值法构造递推关系：令，得，即得 ，再根据等差数列定义得通项公式②因为1111133231n n b b n n +⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，所以先根据裂项相消法求和：11133131
n n S n n ⎛⎫=
-= ⎪
++⎝⎭，再根据，，成等比数列，得，取倒数分离得 ，再由为大于1的正整数得，代入解得
【规律方法】解决探索性问题的一般解题思路：先假设结论存在，若推理无矛盾，则结论确定存在；若推理有矛盾，则结论不存在．解决探索性问题应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳、猜想问题的能力，这正是“以能力立意”的生动体现．
【举一反三】【江苏省常熟市xx届期中】已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立，记的前项和为. （1）若，求的值；
（2）证明：对任意正实数，成等比数列；
（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列.若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由.
（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列，
∴()()22212223k k k k k S a a a a ---=++++
+ ()()
213,1
{ 31,1
1k k q a a q q q
=+=-≠-
(
)121221
32,1
{ 312,1
1k k
k k k k k q q S S a q q
q q
----==-=--≠-，且， ， ， ，
∵数列为等比数列，∴()()()()()()2
2132324,{ ,S t S t S t S t S t S t +=+++=++即()()()()()()2
2
313,
{ 3333,
t t q t q t t q t +=+++++=+++即考
点8 数列与不等式的综合应用
【例8】已知各项都是正数的数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：； （3）若对任意恒成立，求的取值范围.
分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当，得，当时，，得数列递推关系式，因式分解可得，根据等差数列定义得数列通项公式（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：，因此
，从而利用裂项相消法求和得
，即证得；（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而有最大值，所以
【解析】（1）时，，，是以为首项，为公差的等差数列，
（2），，，
，即；
（3）由得，当且仅当时，有最大值，
【规律方法】证明数列中的不等式常转化为求数列的前n项和，一般把数列前n项和分两部分：一部分是要证明的常数；一部分是关于n的表达式．注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.
【举一反三】【xx河南林州一中调研】已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m恒成立，求m的最大值．
(
)()012111222222212112
n
n n n
n
n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=
-⋅=-⋅--，故，所以，所以
()
()()1121121120
n n n
n n T T n n n ++⎡⎤-=⋅+--⋅+=+⋅>⎣⎦，所以，所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值为
考点9数列与函数的交汇问题 【例9】已知数列中，函数．
（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明； （2）若正项数列满足（n ∈N *
），数列的前项和为T n ，且，求证：．
分析：（1）由递推公式依次可求得，用数学归纳法的要求证明即可；也可把递推公式变形为，则数列是等比数列；（2）要与（1）进行联系，首选函数，因此在上是增函数，可妨（1）进行归纳，，，，…，也可把变
形为1111121n n a a +-≥-，由累乘法得：11
1
11
121n n a a --≥-，从而得，即，最终有 ，这样可用裂项相消法求出（放缩后），证得结论．
证明如下：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴
1
1
1
12
112
1
2
n
n n
n
a
-
-
-
==
+
+
；（2）∵（n∈N*），∴，∴1
1
1
1
12
1
n
n
a
a
+
-
≥
-
，累乘得：
1
1
1
1
1
12
1
n
n
a
a
-
-
≥
-
，∴，即，∴，∵
1
1
1
11
2
211
12
1212(12)(12)1212
n
n
n
n
n n n n n n n
a
b
-
-
-
--
+
=≤==-
++++++
，
∴
01121
111111
121212121212
n n n
T
-
≤-+-++-
++++++
．
【规律方法】数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上满足某种关系，或是给出S n的表达式，S n与a n的关系，还有以曲线上的切点为背景的问题，求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应，将条件进行准确的转化即可．
【举一反三】【江西省莲塘一中等xx届第一次联考】二次函数的图象过原点，对，恒有
()
22
2162
x f x x x
--≤≤++成立，设数列满足 .
（1）求证：对，恒有成立；
（2）求函数的表达式；
（3）设数列前项和为，求的值.
()()
2
2320
a x a x
++++≥恒成立，当时，，不合题意舍去，
当时，即，所以，所以.。