高中数学选修2.1.2离散型随机变量的分布列 (4)人教版ppt课件

min M , n, 且n N , M N , n, M , N N .
称分布列
X
0
1

3
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM

CNn
C
n N
C C m nm M NM CNn
为 超几何分布列 .
如果随机变量X的分布列为超几何分布列 ,
则称随机变量 X 服从超几何分布
止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列;
⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数
的分布列．

解:⑴ 的所有取值为：1、2、3、4、5
" 1" 表示第一次就射中，它的概率为：
P( 1) 0.9
" 2" 表示第一次没射中，第二次射中，∴
P( 2) 0.1 0.9
0.138 06 0.005 88 0.000 06 0.144 00.
超几何分布：
一般地, 在含有M件次品的N件产品中, 任取n件,
其中恰有X件次品数,则事件X k发生的概率
为 PX
k
C C k nk M N M
C
n N
,k
0,1, 2, , m , 其中 m
都比“4”小
“ 5” 表示其中一个球号码等于“5”，另两个
都比“5”小
“ 6” 表示其中一个球号码等于“6”，另两个
都比“6”小
∴ 随机变量 的分布列为：
∴
P(

3)

C11C22 C63

1 20
∴
P(

4)

C11C32 C63

3 20
∴
P(

5)

C11C42 C63
3
例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖 游戏,在一个口袋中装有10个红球和 20 个白 球, 这 些 球 除 颜 色 外 完 全 相同.一 次 从 中 摸 出5 个 球, 至 少 摸 到3个 红 球 就 中 奖.求 中 奖 的 概 率.
解 设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分 布,其中N 30,M 10,n 5.于是中奖的概率

0)
1 ; 3
P(2 4) P( 2)
P(2 9) P( 3)
∴

的分布列为：
2
P(2 1) P
P( 2) 1
12
( 1) 1 1 12 6
P
1
4
(
1)
1 4

1 12

1 3
2
0
1
4
9
1
1
1
1
P
3
3
4
12
练习8.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9, ⑴如果命中了就停
2.1.2离散型随机变量 的分布列
复习
1、定义 随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称此变量为随机变 量，常用ξ、η 表示。
2、随机变量的分类 ①离散型随机变量： ②连续型随机变量：
ξ的取值可一、一列出 ξ可以取某个区间内的一切值
用 在X抛表掷示一骰枚子质向地上均一匀面的的骰点子数的.虽随然机在试抛验掷中之, 我前们, 不
表2 2
X
x1
x2

xi

xn
P
p1
p2

pi

pn
表2 2称为离散型随机变量X的概率分布列,简称 为X的 分布列.有时为了表达简单,也用等式
PX xi pi , i 1,2,, n 表示X的分布列.
离散型随机变量
的分布列完全描
述了由这个随机 变量所刻画的随 机现象
例1 在掷一枚图钉的随机试验中,令
X 1, 针尖向上;
0, 针尖向下. 如果针尖向上的概率为p,试写出随机
变 量X的 分 布 列. 解 根据分布列的性质,针尖向下的概
率是1 p.于是,随机变量X的分布列是
X
0
1
P
1 p
p
两点分布：
若随机变量X的分布列具有如下的形式，则称X
服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功的概率。
P
离 散 型 随 机 变 量 分 布 列的 变 化情况可以用图象表示.如在 0.2
掷骰子试验中, 掷出的点数X 0.1 的 分 布 列 在 直 角 坐 标 系中 的
图象如图2.1 2所示.
O 1 23 45 6
X
图2.1 2
在图 2.1 2 中, 横坐标是随机变量的取值, 纵坐标为概
率 .从中可以看出, X 的取值范围是1,2,3,4,5, 6, 它取每
PX 3 PX 3 PX 4 PX 5

C C 3 53 10 3010 C530

C C 4 54 10 3010 C530

C C 5 55 10 3010 C530
0.191.
变式训练3：
如果要将这个游戏的中奖率控制有55%左右，那么 应该如何设计中奖规则？
10
∴
P(

6)

C11C52 C63

1 2

3
4
5
6
1
3
3
1
P
20
20
10
2
说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
课堂练习：
1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量 的分布列的是（ ）
B
A

0
1
B

0
1
2
P
0.6
0.3
P
0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n
X
根 据 概 率 的 性 质,离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 具 有 如 下 性 质:
1pi 0,i 1,2, ,n ;
n
2pi 1. i1
利 用 分 布 列 和 概 率 的 性 质,可 以 计 算 能 由 随 机 变 量 表 示 的 事 件 的 概 率.
变式训练2：某一射手射击所得环数分布列为
X
4
5
6
P
0．02
0．04
0．06
7 0．09
8 0．28
9 0．29
10 0．22
求此射手“射击一次命中环数大于等于7”的概率
解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“X=7”，“X=8”，“X=9”，“X=10”的和，根 据互斥事件的概率加法公式，有： P（X≥7）=P（X=7）+P（X=8）+P（X=9）+P（X=10）=0.88
个值的概率都是1 . 6
分布列的表示：
函数可以用解析式、 表格、图象表示。 离散型随机变量的 分布列也可以用解 析式、表格、图象 表示。
解析式法是：P（X=xi）=pi,i=1,2,3…,n 表格法是：
X
x1
x2

xi

xn
P
p1
p2

pi

pn
P
图象法：
0.2
0.1
O 1 23 45 6
2
表2 1在描述掷骰子这个随机试验的规律中起着 重要作用.
分布列的概念：
一 般 地,若 离 散 型 随 机 变 量X可 能 取 的 不 同 值 为
x1, x2, , xi, , xn, X取 每 一 个 值xi(i 1,2, ,n)的 概
率PX xi Pi,以 表 格 的 形 式 表 示 如 下:
3
6
则 p的值为
．1
4.设随机变量 的分布列为
则 a的值为
27
13．
3
P(

i)

a

1 3
i
,
i
1, 2, 3

1
0
1
5.设随机变量
则 q （
A、1
的分布列为
）D
B、 1
2 2
P
1
2
C、 1 2 D、 2
1 2q 1 2
2
q2
6相 是.等设，随则机变x量．只能,取若5、6、7、·5 ··、,P61(6)这8则1实2个数值32，的且取取值每P范一(围个值x的)概率112均
例 2 在含有5件次品的100件产品中任取
取3件, 试求 :
1取到的次品数X的分布列;
2至少取到1件次品的概率.
解 1由于从100件产品中任取3件的结果
数为C1300 ,从100件产品中任取3件,其中恰有
k件次品的结果数为Ck5C395k ,那么从100件产
品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为
5
6
1
1
1
1
1
1
P
6
6
6
6
6
6
利用表2 1可以求出能由X表示的事件的概率.例如,
在这个随机试验中事件X 3 X 1 X 2,
由概率的可加性得
PX 3 PX 1 PX 2 1 1 1 .
66 3
类似地,事件X为偶数的概率为 PX为偶数 PX 2 PX 4 PX 6 1 .
解：
的可能取值有：2、3、4、5、6、7、8、 9、10、11、12
由古典概型计算出各取值的概率得到分布列为：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p

1 2 3 4 56
5 43
21
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
求离散型随机变量的分布列步骤：
S1：求出 的所有可能取值 S2：求出 取值各个值的概率
练习7:已知随机变量 的分布列如下：
－2 －1
0
1
2
3
1
11
1
11
P
12
4
3 12 6 12
分别求出随机变量⑴
1

1 2

；⑵
2 2 的分布列．
解： ⑴由
1

1
2
可得
1的取值为－1、

12、0、
1 2 、1、
3 2
且相应取值的概率没有变化
∴
1 的分布列为：
1 －1
1 2
S3：列出分布列
例3：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取
出3个小球，以 表示取出球的最大号码，求 的分布列．

解：
的所有取值为：3、4、5、6．
“ 3” 表示其中一个球号码等于“3”，另两 个都比“3”小
“ 4” 表示其中一个球号码等于“4”，另两个
能 不确 能定 预X知取试什验么结值果, 但,从由而古也典就概不型能的预知知识随,它机取变各量个
不 的同 取值 值的 .但概是率, 我都们等可于以1通 .表过2各 1点 列数 出出 了现 随的 机概 变率 量来 X可 研究随机变量的变化6规律. 能的取值,以及X取这些值的概率.
表2 1
X
1
2
3
4
1.离散型随机变量的分布列的概念 2.离散型随机变量的分布列的表示方法 3.离散型随机变量的分布列的性质 4.两点分布 5.超几何分布
例2、随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
2
3
p
0.16 a/10
a2
a/5
0.3
1）求常数 a； 2)求p（1 x 4）
解：1）由离散型随机变量的分布列的性质有:
P1
2
11 48
…1
2 n 1
2、设随机变量 的分布列为
则 a的值为
2．7
13
D
0
1
2 …n
P
1 3
12 33
1 3


2 3
2

…
1 3


2 3
n

P(

i)

a
1
i
,
i
1,2,3
3
3.设随机变量 的分布列如下：

1
2
3
4
1
P
6
1
1
p
P X k

Ck5C395k C1300
,k

0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
C
0 5
C
3 95
C15
C
2 95
C
C 2 1
5 95
C
35C
0 95
C3 100
C3 100
C3 100
C3 100
2根据随机变量X的分布列,可得只少取到1
件次品的概率
PX 1 PX 1 PX 2 PX 3
0
1
1
2
3 2
P
1 12
1 4
1 3
1
1
12
6
1 12
练习7:已知随机变量 的分布列如下：
－2 －1
0
1
2
3
1
11
1
11
P
12
4
3 12 6 12
分别求出随机变量⑴
1

1 2

；⑵
2 2 的分布列．
解:(2)由 2 2可得 2的取值为0、1、4、9
P (2

0)

P(
0.16 a a2 a 0.3 1
10
5
解得： a 9 （舍）或
a3
10
5
2） p(1 x 4) p(x 2) p(x 3)
1 3 0.3 0.12 0.3 0.42 55
例3、连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为ξ， 则ξ取哪些值？各个值对应的概率分别是什么？
同理 P( 3) 0.12， 0.9 P( 4) 0.13 0.9
" 5"表示前四次都没射中，∴ ∴ 随机变量 的分布列为：

1
2
3
P ( 5) 0.14
4
5
P
0.9 0.1 0.90.12 0.90.13 0.9 0.14
谢谢观看！
X
0
1
P
1 p
p
两点分布又称0 1分布.由于只有两个可能结 果的随机试验叫伯努利试验, 所以还称这种 分布为伯努利分布.
分布列
X
0
1
P
1 p
p
称为两点分布列
两点分布列的应用非常广泛 .如抽取彩 券 是 否 中 奖;买 回 的 一 件 产 品 是 否 正品; 新生儿的性别; 投篮是否命中等等,都可 以 用 两 点 分 布 列 来 研 究.