两条直线的交点坐标(教学设计)

3.3.1 两条直线的交点坐标（教学设计）
教学目标
1.知识与技能
会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点.
2.过程和方法
1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行.
2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系.
3.情感、态度和价值观
感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心.
教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学过程
（一）创设情境，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

设问 1：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
（二）师生互动，探究新知
思考：已知两直线 l 1： A 1x+B1y +C 1=0,l 2： A 2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

几何元素及关系代数表示
点 A A （ a， b）
直线 l l： A x+B y+C=0
点 A 在直线上
l : Aa Bb C0
直线 l 1与 l2的交点 A
A1x B1 y C10
A2 x B2 y C20
设问 2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
（ 1）若二元一次方程组有唯一解，l 1与 l 2相交。

（ 2）若二元一次方程组无解，则l1与 l2平行。

（ 3）若二元一次方程组有无数解，则l1与 l 2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
（三）概念辨析，巩固提高
例 1（课本 P103 例 1）：求下列两直线交点坐标
l1： 3x+4y-2=0
l2： 2x+y +2=0
3x 4 y 20
解：解方程组
2x y 20
得 x=-2， y=2
所以， l 1与 l 2的交点坐标为M （ -2， 2），
变式训练 1（课本 P104 练习 NO ：1）
例 2（课本 P103 例 2）判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标。

（1） l 1： x-y=0 ， l 2： 3x+3y-10=0
（2） l 1： 3x-y=0 ， l 2： 6x-2y=0
（3） l 1： 3x+4y-5=0 ， l 2： 6x+8y-10=0
（4） l 1： 3x-4y+4=0 ， l 2：6x-2y-1=0
变式训练 2（课本 P104练习NO：2）
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

设问 3: 当变化时，方程3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。

（1）可以一用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

（3）结论，方程表示经过这两条直线 l 1与 l 2的交点且除直线l2： 2x+y+2=0 的所有直线的集合。

例 3：（课本 P109 习题 3.3 A 组： NO ： 4）
变式训练 3： (tb2508803) 求证：不论k 为何值时，直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-1)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标。

（答： (2,3)）
例 4：求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点，且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。

x+2y-1=0x=3
解法一：解方程组得
2x-y-7=0y=-1
∴这两条直线的交点坐标为（3， -1）。

又∵直线x+2y-5=0 的斜率是 -1/3，
∴所求直线的斜率是3。

用点斜式可得所求直线方程为：y+1=3(x-3).
即： 3x-y-10=0.
解法二：由于所求直线有直线系2x-y-7+ λ (x+2y-1)=0
（ 2+λ） +(2 λ -1)y- λ -7=0
中，将该式整理，可得：
∴ -2
=3解之，得：λ=1/7。

21
因此，所求直线方程为3x-y-10=0.
变式训练 4： (tb2508701) 求经过 2x-y+4=0 和 x-y+5=0 的交点，且与直线3x+4y-7=0 垂直的直线方程。

（答：交点 (1,6)，方程： 4x-3y+14=0 ）
附：判定两条直线的位置关系：
在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l 1：A1x+B1y+C1=0，l：A x+B y+C =0.
2222
（ 1） l1∥ l 2A1=B
1≠
C
1
A2B2C2 A1B2=A2 B1，
A1C2≠A2C1.
（ 2） l1与 l2相交A1
≠
B1 A2B2
AB≠AB.
1221
（ 3） l1与 l2重合A1=B1=C
1
A2B2C2
A1B2=A2B1，
A1C2=A2C1.
（4） l1⊥ l 2 A1A2+B1B2=0.
（四）、课堂小结，巩固反思：
1.求两条直线的交点坐标
2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行）
3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能：
1）有惟一解2）无解3）无数多解
4.直线族方程的应用
（五）课时必记：
1、判定两条直线的位置关系：
在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l 1：A1x+B1y+C1=0，l：A x+B y+C =0.
2222（ 1） l1∥ l 2A
1=
B
1≠
C
1 A2B2C2
AB=AB，
1221.
AC≠A C
1221（ 2） l1与 l2相交A
1≠
B
1 A2B2
A1B2≠ A2B1.
A
1 =B
1=
C
1
（ 3） l1与 l2重合
A2B2 C2
1221
AB=AB，
A1C2=A2C1.
（ 4） l1⊥ l 2A1A2+B1B2=0.
2、 (1) 与直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 平行的直线系方程是：Ax＋ By＋ m＝ 0(m∈R 且 m≠ C)；
(2)与直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 垂直的直线系方程是： Bx－ Ay＋m＝ 0(m∈ R)；
(3) 过直线l 1：A1x＋ B1 y＋C1＝ 0 与l2：A2x＋ B2y＋C2＝ 0 的交点的直线系方程为A1x＋ B1y＋ C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2) ＝0(λ∈ R)，但不包括l 2.
（六）布置作业
A组：
1、（课本 P109 习题 3.3 A 组： NO： 1）
2、（课本 P109 习题 3.3 A 组： NO： 2）
3、（课本 P109 习题 3.3 A 组： NO： 3）
4、（课本 P109 习题 3.3 A 组： NO： 5）
5、（课本 P114 复习参考题 A 组： NO： 9）
B组：
1、（课本 P109 习题 3.3 B 组： NO： 1）
2、（课本 P114 复习参考题 A 组： NO： 12）。