2021届江苏省省重点中学高三上学期第一次学情检测数学试卷

2021届江苏省省重点中学高三上学期第一次学情检测
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上．
2. 第Ⅰ卷的答案须用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3. 答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm 的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定．．的区域内相应位置,否则，该答题无效.
4. 书写力求字体工整、笔迹清楚.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1、已知集合{}|||1,A y y x x R ==-∈，{}|2B x x =≥，则下列结论正确的是（ ）
A ．3A -∈
B ．3B ∉
C ．A B B =
D ．A B B =
2、据记载，欧拉公式cos sin ()ix
e x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最
完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数4
i
z e π=的共轭复数为z ，则z =（ ）
A ．2222
i -
- B ．22
22
i -
+ C ．
22
22
i + D ．
22
22
i - 3、我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万
事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图
象的特征，如函数()1sin ()1
x
x e x f x e -=
+在区间,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D ．
4、 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
5、已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布2
(453,99)N ，估计这些考生成绩落在（552，651]的人数约为（ ）
(附：2
~(,)Z N μσ，则()0.6827,(22)0.9545)P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+= A ．3 6014 B ．72 027 C ． 108 041 D ． 168 222 6、若21,a b a b >0,>0,+=则231
a a b
++的最小值为（ ） A. 8
B. 6
C. 12
D. 9
7、已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．2-
D ．1-
8、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()x
f x e =，则
()()()201820212022f f f ++等于（ ）
A.
1
e
B. 1e
-
C. e -
D. e
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9、设{})(*
N n a n ∈是等差数列，d 是其公差，n S 是其前n 项和.若,,87665S S S S S >=<则下列结论正确
的是（ ）
0.<d A 0.7=a B 59.S S C > 的最大值均为与n S S S D 76.
10、函数()sin y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A ．该函数的解析式为2
π2sin 3
3y x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭ B ．该函数的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32
倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 11、下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 B ．命题“对任意x ∈R ，2
10x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，使得2
10x x ++≥” C ．设x ，y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“4x y +≥”的必要不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件
12.定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()2
1f x x =-，则（ ）
A. []0,1是()f x 的一个“完美区间”
B. 1515,⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间” C. ()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35+ D. ()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为325+
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、在等差数列}{n a 中，12031581=++a a a ，则1193a a -的值为_________．
14、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约
为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m ︒=.若24m n +=，则
sin63m n
+=︒
．
15、在直角梯形ABCD 中，2,1,//,===⊥AB CD AD AB DC AD AB ,
,E F 分别为AB AC ，的中点，设以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 上的
动点为P (如图所示)，则•AP PF 的取值范围是 ______________.
16、已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .
①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；
②若2
2,0,
()21,0,
x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、【本题满分10分】
在①2222b ac a c +=+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=这三个条件中任选一个，补充在下
面的问题中，并解决该问题．
已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ________，π
3
A =，2b =，求ABC △的面积． 18、【本题满分10分】
已知在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=． （Ⅰ）设2n a
n b =，求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和． 19、【本题满分12分】
设向量(3sin ,sin )x x =a ，(cos ,sin )x x =b ，π
[0,]2
x ∈．
（1）若||||=a b ，求x 的值；
（2）设函数()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值．
20、【本题满分12分】
自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：
2
(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1
万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定,k b 的值；
(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 21、【本题满分12分】
已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.
（1）证明：函数()21x
f x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点； （2）若函数()1
242
3x
x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.
22、【本题满分14分】 已知函数2()(R)x f x e ax a =-∈.
（1）若曲线()f x 与直线:(2)(R)l y e x b b =-+∈在1x =处相切. ①求a b +的值；
②求证：当0x ≥时，()(2)f x e x b ≥-+；
（2）当0a =且(0,)x ∈+∞时，关于的x 不等式2()2ln 1x f x mx x ≤++有解，求实数m 的取值范围.
省高三第一学期第一次学情检测
数学试卷参考答案
一、单选题：CDACB CDA
二、多选题：ABD ACD ABD AC 三、填空题：48
112⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
3； [1,4] 四、解答题：
17
、解：若选择①222b a c =+，
则由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===
， 因为()0,πB ∈，所以π4
B =
． 若选择②cos sin a B b A =， 则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =，
因为()0,πB ∈，所以π
4
B =．
若选择③sin cos B B +=
π4B ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭πsin 14B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 因为()0,πB ∈，所以ππ5π,444B ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以ππ
42
B +=，所以π4B =．
由正弦定理sin sin a b
A B
=，
得sin sin b A
a B
=
==
因为π3A =
，π4B =，所以ππ5ππ3412
C =--=， 所以5πππsin sin
sin 1246C ⎛⎫
==+ ⎪⎝
⎭ππππsin cos cos sin 4646=+= 所以1sin 2ABC S ab =
△12==． 18、解：（Ⅰ）设公差为d 的等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=． 整理得1122610
a a d =⎧
⎨
+=⎩，解得1
2
1
a d =⎧⎨=⎩，
所以1(1)1n a a n n =+-=+．
由于2n a n b =，所以12n n b +=，12n n b -=， 整理得
1
2n
n b b -=（常数）
， 所以数列{}n b 是以2124b ==为首项，2为公比的等比数列． （Ⅱ）由于数列{}n b 是以2124b ==为首项，2为公比的等比数列， 所以11422n n n b -+=⨯=． 所以121n n n a b n ++=++，
故：24(21)(21)(3)
242122
n n n n n n n S +-+++=+=+--．
19、（1）π6
x =
；（2）32．
（1
）由2222||)(sin )4sin x x x =+=a ，2
2
||(cos )(sin )1x x =+=b ，及||||=a b ，得24sin 1x =， 又π
[0,]2x ∈，从而1
sin 2x =
，所以π6
x =．
（2
）2
11
()cos sin 2cos 222
f x x x x x x =⋅=⋅+=-+a b π1sin(2)62x =-+，
当π[0,]2x ∈时，ππ5
2π666
x -≤-≤，
∴当ππ262x -
=时，即π3
x =时，π
sin(2)6x -取最大值1， 所以()f x 的最大值为
3
2
． 20、解：(1）由已知2
2
(10.75)(5)(10.75)(7)12
22
k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k == ………………………6分
(2)当p q =时，2
(1)(5)22t x x ---=，
所以2
(1)(5)t x x --=- ，故2
1
1125(5)10
x t x x x
=+
=+-+- …………9分 而25()f x x x
=+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 有最小值414 此时，1
12510t x x =++-取得最大值5， ……11分 故当4x =时，关税税率的最大值为500% ……12分
21、证明：（1）设()212x t x =-≤≤，则1
2t ≤≤4，令12t t +=，则2210t t -+=， 解得11,42t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣
⎦
，即当00x =时，001221x x --=+-，即()()00f x f x -=-成立，
即函数()21x
f x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点
解：（2）()124
23x
x f x m m --+-=-⋅+-，则()()0f x f x -+=在R 上有解.
即12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解， 于是(
)()()244
22
2230x x
x
x m m --+-⋅++-=（*）在R 上有解.
令22x x t -+=，则2442x x t -+=-，所以方程（*）变为222280t mt m -+-=，
设120x x <<，则()()()12
1212
112212
12
22212221212222222
x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=，
由120x x <<，2x
y =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +<，1220x x +>，
即此时()11
2222
220x
x x x --+-+>，所以函数22x x y -=+在(),0-∞上单调递减；
设120x x <<，则()()()12
12121
1
2
2
1212
222
122212122
22
222
x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=
，
由120x x <<，2x
y =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +>，1220x x +>，
即此时()11
2222
220x
x x x --+-+<，所以函数22x x y -=+在()0,∞+上单调递增；
故[)2,t ∈+∞，从而已知即222280t mt m -+-=在[
)2,t ∈+∞上有解. 设()22
228g t t mt m =-+-（2t ≥），分为两种情况： ①当方程有在[)2,t ∈+∞唯一解时：
则()2
244280g m m =-+-<或()2244280222g m m m ⎧=-+-=⎪⎨--≤⎪⎩
， 解()20g <
得，11m <<；解()2244280222g m m m ⎧=-+-=⎪
⎨--≤⎪⎩
得，1m =+，
则11m ≤<；
②当方程在[
)2,t ∈+∞有两个解时：()(
)
222
244280114428012222
g m m m m m m m m m m ⎧
⎪⎧=-+-≥≥≤⎪⎪⎪⎪∆=--≥⇔-≤≤⇔≤≤⎨⎨⎪⎪>-⎪⎪⎩->⎪⎩或
综上得1m ≤
22、解：（1）①因为()2x
e x
f x a =-，所以
()2x f x e ax '=-.
因为曲线()f x 与直线:l (2)y e x b =-+在1x =处相切， 所以()122f e a e '=-=-，所以1a =. 所以()2
x
f x e x =-，所以()11f e =-.
又切点(1,1)e -在直线l 上，所以12e e b -=-+， 所以1b =，所以2a b +=
② 由①知1,1a b ==，可设()()()2
210x
h x e x e x x =----≥，
则()()()()22,2x x
g x h x e x e g x e ''==---=-，
当ln 2x <时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()
()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，
所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，
即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x ≥时，()2
21x
e x e x -≥-+，
故当0x ≥时，()()2f x e x b ≥-+
(3）先证1x e x ≥+. 构造函数()1x p x e x =--，则()1x p x e '=-.
故当(0,)x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在(0,)+∞上递增，当(,0)x ∈-∞时，()0p x '<，()p x 在(,0)-∞上递减，
所以()(0)0p x p ≥=，即1x e x ≥+
又当0a =，且(0,)x ∈+∞时，2
()2ln 1x f x mx x ≤++等价于22ln 1
x x e x m x
--≥
故原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1
x x e x m x
--≥有解.
因为2
2lnx 22ln 12ln 1ln 12ln 11x x x e x e x x x x x x x
+----++--=≥=（当2ln 0x x +=时取等号）
， 所以m 1≥.。