大学高数课件 6.5第五节 隐函数的求导公式

x y Fx e y y x y , Fy e x dz sec2 ( x y )(1 y ) dx e x y y (1 x y ) sec2 ( x y ). e x
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )
一、一个方程的情形
1. F ( x, y) = 0
隐函数存在定理1 设C (1)类函数F(x,y)在点P (x0,y0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0)=0, ② Fy(x0, y0)0, 则方程F(x,y) =0在点P(x0,y0 )的某一邻域内能唯一确
定一个C(1)类一元函数 y=y(x), 满足条件y0=y(x0), dy Fx 且有: dx Fy
x 2 x 2z z x 4 z x 0, (1) z x 2 z y 2 y 2z z y 4 z y 0, z y 2 z (1) 式两边再对 y 求偏导, 得 2 z y z x 2 z z xy 4 z xy 0,
zx z y xy z xy 3. 2 z (2 z )
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz ), 求 , , . x y z 解法2 设z = z(x,y),方程两边对x求偏导,得： z x f1 (1 z x ) f 2 ( yz xy z x ), z x f1 yz f 2 , 1 f1 xy f 2 设x = x(y,z),方程两边对y求偏导,得： xz f 2 f 1 0 f1 ( x y 1) f 2 ( xz yz x y ), x y , f1 yz f 2
确定一个C(1)类二元函数z=f (x,y), 满足条件z0=f(x0,y0),
Fy z Fx z 且有： , . x Fz y Fz
z z 例 4 设 z z ( x , y )由 e sin( xyz) 1确定, 求 , . x y 解法1 用公式.
z
解 设 F(x,y,z) = ez sin( xyz)1,
( 3)
1 ( 0 , 0） 代入( 3)得： 5
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 例如: x y z 0 y 2 x x 2 y 3z 0 z x F ( x, y, z ) 0 y y( x ) 对 何时能唯一确定一对隐函数 , G ( x , y , z ) 0 z z( x ) 如何求其导数 y(x) 和 z(x)?
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、复合隐函数的求导
本节讨论: 1) 在什么条件下方程F(x,y)= 0可唯一确定隐函数
2 x 例如： 方程
yC 0
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数.
2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
例8
设 z z ( x , y )是由方程 z 5 xz4 yz 3 1确定
x 0 y0
2z 的隐函数, 求 xy
.
z xy ( 0 , 0 )
3 . 25
解 由x 0, y 0, 得 z 1 ,
方程两边分别对 x , y 求偏导, 得
5 z 4 z x z 4 4 xz 3 z x 3 yz 2 z x 0
2 3 w z 3 xy z 2 3 2 2 2 3 y z 3 xy z y z yz , x x x ye
3 xy z e w 3 3 2 2 z 2 xyz 2 xyz 3 xy z yz . x ye y y
2 3 yz
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz ), 求 , , . x y z 解 设F(x,y,z) = z f(x+y+z, xyz), 则有:
x
x x e y F e y 且 有连续导数 y( x ) x , cos y x x cos y Fy x x ( e y )(1 sin y y) ( x cos y ) (e y ) y( x ) ( x cos y )2
z
yz cos( xyz) 解得 : z x z . e xy cos( xyz )
方程两边同时对 y 求偏导, 得：
e z z y ( xz xy z y ) cos( xyz) 0,
xz cos( xyz) 解得 : z y z . e xy cos( xyz )
Fx ( f1 yz f 2),
Fy ( f1 xz f 2),
Fz 1 ( f1 xy f 2),
f1 yz f 2 z Fx , x Fz 1 f1 xy f 2
Fy x f1 xz f 2 , y Fx f1 yz f 2 y Fz 1 f1 xy f 2 . z Fy f1 xz f 2
设y = y(x,z),方程两边对z求偏导,得：
y f ( y 1 ) f 2 ( xy xz ), 1 1 z z
1 f1 xy f 2 yz . f1 xz f 2
2 2 z z 2 2 2 例 7 设 x y z 4z 0, 求 2 , . x xy 解 令 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z ,
w w 例 5 设 w xy z , 其中 z 由 xz e 1确定,求 , . x y 解 设 F(x,y,z) = xz+eyz 1,
2 3
yz
则有 : Fx z , Fy ze yz , Fz x ye yz ,
Fy z Fx z z ze yz yz , yz . x Fz x ye y Fz x ye
2 2
x y dy Fx . y x dx Fy
解法2 方程两边对x求导,视y为x的函数:
例 3 设 z tan( x y ), y 由方程 e
x y
dz xy 确定,求 . dx
解 记 F ( x,y) e x y xy,
则有: Fx e x y y , Fy e x y x ,
则有 : Fx yz cos( xyz),
Fy xz cos( xyz),
Fz e z xy cos( xyz ),
z Fx yz cos( xyz ) z , x Fz e xy cos( xyz )
Fy z xz cos( xyz) z . y Fz e xy cos( xyz)
方程(1)两边对y求偏导 :
(1)
2 z (10z 2 6 xz 3 y ) z x z y z 2 (5 z 2 4 xz 3 y ) z xy 4z 3 z y 3z 2 z x 0
1 将x 0, y 0, z 1 , z x ( 0,0） , z y 5 3 z xy ( 0 , 0） . 25
z z 例 4 设 z z ( x , y )由 e sin( xyz) 1确定, 求 , . x y 解法2 注意到 z = z(x,y), 视作复合函数,方程两边同 时对 x (或 y )求偏导, 解出 zx (或 zy ).
z
解 方程两边同时对 x 求偏导, 得：
e z x ( yz xy z x ) cos( xyz) 0,
x
定一个 C(1)类隐函数 y y( x ) ,并求 y(0) 与 y(0) 的值.
x ① F e y, 解 令 F ( x , y ) sin y e x y 1 , 则 x Fy cos y x 连续 , ②F (0,0) 0 , ③ Fy (0,0) 1 0, 故方程在点(0,0)某邻域可唯一确定一个C(1)类隐函数 y=y(x),且满足条件y(0)=0.
3. 求隐函数的高阶偏导数
则有 : Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2z 4, Fy Fx x y zx , zy , Fz 2 z Fz 2 z
z xx
x 2 2 ( 2 z ) x ( 2 z ) x (2 z ) x z x 2 z . 3 2 2 (2 z ) (2 z ) (2 z )
x zy xy z xy 3. 2 (2 z ) (2 z )
z 例 7 设 x y z 4 z 0 ,求 . x y 解法2 z = z(x,y),视作复合函数,方程两边同时对 x (或 y )求偏导.
2 2 2
2
解
方程两边分别对 x , y 求偏导, 得
5 z 4 z y 4 xz 3 z y z 3 3 yz 2 z y 0, y 0, z 1代入(1)、 ( 2)得： 1 1 z x ( 0, 0 ) ，z y ( 0, 0） , 5 5
5 z 4 z x z 4 4 xz 3 z x 3 yz 2 z x 0
y(0) 1, y(0) 3.
y dy 例 2 已知ln x y arctan ，求 . x dx 解法1 用公式. 1 y 2 2 解 记 F ( x , y ) ln( x y ) arctan , 2 x y x x y Fy 2 则有: Fx 2 2, 2, x y x y