绵阳一诊四川省绵阳市高届第一次诊断性考试数学

绵阳市高中2011级第一次诊断考试
数学试题
一、选择题。

1．设复数z =1-i ，则复数1+2z 在复平面内所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设随机变量ξ～N （μ，1），若不等式2x -ax ≥0对任意实数x 都成立，且p （ξ>a ）=
2
1
，刚μ的值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3.已知)(x f =
则下列结论成立的是 A ．)(x f 在x =0处连续 B ．1
lim →x )(x f =2
C ．1
lim →x )(x f =0 D ．1
lim →x )(x f =0
4．若曲线y =
313x +2
12
x +1在x =1处的切线与直线2x +my +1=0平行，则实数m 的值等于 A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 5．等比数列}{n a 中，已知852a a a =1，则1g 4a +1g 6a 的值等于
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．2 6．函数y =
1
-x x
（x ≥2）的值域为 A ．y y |{≠1且}R y ∈ B ．1|{y ＜y ≤2} C ．1|{y ＜y ＜2} D ．y y |{≤2}
7．设集合A =ax x |{＞1，a ≤0}，B = || |{x x ＞1}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0] B ．[-1，0] C ．（-1，0） D ．（-∞，-1） 8．某班有男生30人，女生20人，从中任选5名同志组成城市绿色交通协管服务队，那么按性别分
层抽样组成这个绿色服务队的概率为
A ．550220330A A A
B ．550220330A
C C C ．550
220330C C C D ．5
50220330C A A 9．设数列：1，1+
21，1+21+221，……，1+21+221
+……+12
1-n ，……的前n 项和为n S ，则∞-n l i m （n S -2n ）
的值为
A ．2
B ．0
C ．1
D ．-2
χ+χ
1（χ≠0） 0（χ=0）
10．设函数)(x f
（其中a ＞0且a ≠1），若)91(-f =-21
，则)4
1(1-f 值为 A ．1 B ．41 C ．3 D ．81
1
11．给出下列命题：
①设)(x f 是定义在（-a ，a ）（a ＞0）上的偶函数，且'f （0）存在，则'f （0）=0. ②设函数)(x f 是定义的R 上的可导函数，则函数)(x f .)(x f -的导函数为偶函数. ③方程x xe =2在区间（0，1）内有且仅有一个实数根.
A ．①②③
B ．①②
C ．②③
D ．①③
12．函数)(x f =x x x x 111
12
22---+-+的最小值与最大值之和为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
二、填空题 13．函数nx y 12
1
=
的反函数为 。

14．若函数)(x f =a x +2.x -2在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 。

15．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩（5分制），统计如下表，则这100人成绩的方差
为 。

．下列命题中，正确的是 。

（写出所有正确命题的序号）①在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5。

②设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，则公比2
4
3
-=q 是数列3S ，9S ，6S 成等差数列的充分不必要条件。

③若数列}{n a 满足1a =2，2
cos
1π
n a a n n =+，则02010=a 。

④在数列}{n a 中，若1a ，2a 都是正整数，且n a =||21---n n a a ，3=n ，4，5，…，则称}{an 为“绝对差数列”，若一个数列为“绝对差数列”，则此数列中必含有为零的项。

三、解答题
17．已知数列}{n a 的前n 项和为S n ＝2n+1―n ―2，集合A ＝},...,,{21⋯n a a a ，B ＝
*}*,,1
6
|{N y N y ∈=∈+=
χχχ。

求： （1）数列}{n a 的通项公式；（2）A ∩B
-2ax (χ≤1)
log a2χ（＞1）
18．设集合M ＝}3210{，，，，N ＝}3||{为偶数χχχ，＜，现从集合A 中随机抽取一个数a ，从集合B 中随机抽取一个数b.
（1）计算a ≥1或b ≥1的概率；
（2）令ξ= a ·b ，求随机变量ξ的概率分布和期望。

19．设f （χ）=
χ
1
+ 2χ. （1）求 f （χ）的表达式。

（2）设函数g(χ)=a χ-
2
1
χ+ f(χ),则是否存在实数a ，使得g （χ）为奇函数？说明理由；
（3）解不等式f(χ)-χ＞2.
20.定义在（0，+∞）上的函数f(χ)= （其中e 为自然对数的底数）。

（1）若函数f(χ)在χ=1处连续，求实数a 的值。

（2）设数列}{n a 的各项均大于1，且a n+1=f （2a n -1）-1，a 1=m ，求数列}{n a 的通项公式。

21．已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，a 1=1，（S n -1）a n-1=S n-1a n-1(n ≥) （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设bn=a n 2，数列}{n b 的前n 项和为T n ，试比较T n 与2-n
1
的大小； （3）若
∑
=+n
k n
k a 1
11＞-
2
3
+log a （2a-1）（其中a ＞0且a ≠1）对任意正整数n 都成立，求实数a 的取值范围。

22．设函数f(χ)=a χ-ln （χ+1）a+1（χ＞-1，a ∈R ） （1）设a ＞0，χ＞0，求证：f(χ)＞-χ； （2）求f （χ）的单调递增区间； （3）求证：85
2ln 33ln 22ln 2
22-+⋯++n ＜n
n （n 为正整数）。

高中2011级第一次诊断性考试 数学（文科）参考解答及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DABB CBAC DCDA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．f -1
(x ) = e 2x
（x ∈R ） 14．21
-
≤a ≤2
1 15．1.8 16．①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．
χe ax （0＜χ＜1）
2χ+1（χ≥1）
17．（1）频数4，频率0.27； ……………… 6分
如图所示为样本频率分布条形图． …………………10分
（2）∵ 0.17 + 0.27 = 0.44，
∴ 任意抽取一件产品，估计它是一级品或二级品的概率为0.44．…………… 12分
18．（1）∵
∴ a 1 = S 1 = 2…………………… 1分
当n ≥2（2n +1－n －2）－[ 2n
－（n －1）－2 ] = 2n
－1． …………………… 4分 又 ∵ n = 1时，也满足a n = 2n
－1，
∴ 数列{ a n }的通项公式为 a n = 2n
－1（n ∈N *
）． …………………… 6分 （2）∵ 1
6+=
x y ，x 、y ∈N *
，∴ 1 + x = 1，2，3，6， 于是 x = 0，1，2，5， 而 x ∈N *
，∴ B = { 1，2，5 }． ........................ 9分 ∵ A = { 1，3，7，15， (2)
－1 }，∴ A ∩B = { 1 }． ……………… 12分
19．（1）∵ )(x f =
x x 2)(12
+， ∴ x x
x f 21
)(2+=
（x ＞0）．…………… 3分 （2）∵ g （x ）= ax 2
+ 2x 的定义域为（0，+∞）．
∵ g （1）= 2 + a ，g （－1）不存在，∴ g （1）≠－g （－1），
∴ 不存在实数a 使得g （x ）为奇函数． …………………… 5分 （3）∵ f （x ）－x ＞2， ∴ f （x ）－x －2＞0， 即
2
1x + x －2＞0，有x 3－2x 2
+ 1＞0， 于是（x 3
－x 2
）－（x 2
－1）＞0，∴ x 2
（x －1）－（x －1）（x + 1）＞0， ∴（x －1）（x 2
－x －1）＞0， ∴ （x －1）（x －
2
5
1-）（x －251+）＞0，
∴ 结合x ＞0得0＜x ＜1或2
5
1+>
x ． 因此原不等式的解集为 { x ｜0＜x ＜1或2
5
1+>
x }． …………………… 12分 20． （1）∵ f （1）= 0，∴ 9 + 3a = 0，∴ a =－3． ……………… 4分 （2） f （x ）=（3x ）2 + a · 3x
．
令 3x
= t ，则1≤t ≤3，g （t ）= t 2
+ at ，对称轴 t =12
≥-a
． …………………… 6分 i ）当1≤－
2
a
≤3，即－6≤a ≤－2 时， y (t )｜min = g (－2a ) =42a -，此时)2
(log 3a
x -=．
ii ）当－
2
a
＞3，即a ＜－6时，g (t ) 在 [ 1，3 ] 上单调递减， ∴ g (t )｜min = g （3）= 3a + 9，此时x = 1． ………………… 10分 综上所述，当a ＜－6时，f （x ）｜min = 3a + 9；
当－6≤a ≤－2时，f （x ）｜min =4
2
a -．
…………………… 12分
21．（1）522
1)(2
3+--
=x x x x f ， ∴ f ′(x ) = 3x 2
－x －2，由 f ′(x )＞0 得 3
2
-
<x 或 x ＞1， ∴ 增区间为)32,(--∞，（1，+∞），减区间为)1,3
2(-． …………………… 4分 （2）f ′(x ) = 3x 2
－2x －2 = 0，得x =3
2
-（舍去），x = 1． 又 f (0) = 5，f (1) =
2
7
，f (2) = 7，所以 f (x )｜max = 7，得 k ＞7． …………………… 8分
（3）f ′(x ) = 3x 2－2mx －2，其图象恒过定点（0，－2），由此可知，3x 2
－2mx －2 = 0必有一正根和一负根，只需要求正根在（0，1）上，
∴
f ′(0) · f ′(1)＜0，∴ m ＜
2
1
． …………………… 12分 22．（1）∵（S n －1）a n －1 = S n －1 a n －1－a n ，
∴（S n －S n －1－1）a n －1 =－a n ，即 a n a n －1－a n －1 + a n = 0．
∵ a n ≠0，若不然，则a n －1 = 0，从而与a 1 = 1矛盾，∴ a n a n －1≠0，
∴ a n a n －1－a n －1 + a n = 0两边同除以a n a n －1，得 1111
=--n n a a （n ≥2）． 又
111=a ，∴ {n
a 1
}是以1为首项，1为公差为等差数列， 则
n n a n
=⨯-+=1)1(11
，n a n 1=． (4)
分
（2）∵ b n = a n 2
=
2
1
n
，∴ 当 n = 1时，T n = n 12-； …………… 5分 当n ≥2时，n n n T n )1(1
3212111121112
22-+
+⨯+⨯+<+++= n
n n 1
2)111()3121()211(1-=--++-+-+= ．
…………………… 8分
（3）
k n k a n
+=
+11
1， ∴ ∑∑==+=+n k n k n
k n k a 11
111． 设 g （n ）=
n n n k
n n
k 21
211111+++++=+∑= ， ∴ 221121213121)()1(+++++++++=
-+n n n n n n g n g )21
2111(n n n +++++- 02
2112111221121>+-+=+-+++=n n n n n ， ∴ g (n )为增函数， 从而 g (n )｜min = g （1）=2
1
． …………………… 10分
因为 g (n ))12(log 2
3
-+->a a 对任意正整数n 都成立， 所以
21)12(log 2
3-+->a a ，得 log a （2a －1）＜2，即 log a （2a －1）＜ log a a 2
． ① 当a ＞1时，有 0＜2a －1＜a 2
，解得 a ＞2
1且a ≠1，∴ a ＞1．
② 当0＜a ＜1时，有 2a －1＞a 2
＞0，此不等式无解．
综合①、②可知，实数a 的取值范围是（1，+∞）． ………………
高中2011级第一次诊断性考试 数学（理科）参考解答及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DABB CBAC DCDA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．f -1
(x ) = e 2x （x ∈R ） 14．a ≤0 15．1.8 16．①③④
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（1）∵ 数列{ a n }的前n 项和为S n = 2n +1－n －2， ∴ a 1 = S 1 = 21+1－1－ 2 = 1． …………………… 1分
当n ≥2时，有 a n = S n －S n -1 =（2n +1－n －2）－[ 2n －（n －1）－2 ] = 2n －1．
…………………… 4分
而当 n = 1时，也满足a n = 2n
－1， ∴ 数列{ a n }的通项公式为 a n = 2n －1（n ∈N *）． …………………… 6分
（2）∵ 1
6
+=x y ，x 、y ∈N *，∴ 1 + x = 1，2，3，6，
于是 x = 0，1，2，5， 而 x ∈N *，∴ B = { 1，2，5 }． …………………… 9分
∵ A = { 1，3，7，15， (2)
－1 }，∴ A ∩B = { 1 }． …………………… 12分
18．∵︱x ︱＜3，∴ －3＜x ＜3．
又x 为偶数，∴ x =－2，0，2，得 N = {－2，0，2 }． …………………… 2分
（1）设a ≥1对应的事件为A ，b ≥1对应的事件为B ，
则 P (a ≥1或b ≥1) =6
5131114111311141313121413=⋅+⋅+⋅C C C C C C C C C C C C ． 或 P (a ≥1或b ≥1) = P (A ) + P (B )－P (A · B ) =6
534133
4413
433=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯．
或利用对立事件解答，P (a ≥1或b ≥1) = 1－P (a ＜1且b ＜1) = 6
534211=⨯⨯-．
∴ a ≥1或b ≥1的概率为
6
5
． …………………… 6分
9分
Ｅ? =－6×12
1+（－4）×12
1+（－2）×12
1+ 0×12
6+ 2×12
1+ 4×12
1+ 6×12
1= 0．
…………………… 12分
19．（1）∵ )(x f =
x x 2)(12
+， ∴ x x
x f 21
)(2+=
（x ＞0）．…………… 3分 （2）∵ g （x ）= ax 2 + 2x 的定义域为（0，+∞）．
∵ g （1）= 2 + a ，g （－1）不存在，∴ g （1）≠－g （－1）， ∴ 不存在实数a 使得g （x ）为奇函
数． …………………… 6分
（3）∵ f （x ）－x ＞2， ∴ f （x ）－x －2＞0，
即 21x
+ x －2＞0，有x 3－2x 2 + 1＞0，
于是（x 3－x 2）－（x 2－1）＞0，∴ x 2（x －1）－（x －1）（x + 1）＞0，
∴（x －1）（x 2－x －1）＞0， ∴ （x －1）（x －2
51-）（x －2
5
1+）＞0，
∴ 结合x ＞0得0＜x ＜1或2
51+>x ．
因此原不等式的解集为 { x ｜0＜x ＜1或2
51+>x }． (12)
分
20．（1）∵ 函数f (x ) 在x = 1处连续，f （1）= 2×1 + 1 = 3， ∴ )(lim )(lim 1
1x f e x f x a x →→==-
， 3 = e a ，∴ a = ln 3． ……………………
5分
（2）∵ 对任意n 有a n ＞1，∴ f (2a n －1) = 2 (2a n －1) + 1 = 4a n －1， 于是a n +1 = f （2a n －1）－1 =（4a n －1）－1 = 4a n －2，
∴ a n +1－3
2= 4（a n －3
2），表明数列 { a n －3
2}是以a 1－3
2= m －3
2为首项，4为公比的
等比数列，于是 a n －3
2=（m －3
2）· 4n －1，
从
而a n =（m －
3
2）·
4n
－ 1
+3
2． …………………… 12分
21．（1）∵（S n －1）a n －1 = S n －1 a n －1－a n ，
∴（S n －S n －1－1）a n －1 =－a n ，即 a n a n －1－a n －1 + a n = 0．
∵ a n ≠0，若不然，则a n －1 = 0，从而与a 1 = 1矛盾，∴ a n a n －1≠0， ∴ a n a n －1－a n －1 + a n = 0两边同除以a n a n －1，得 1111
=--n n
a a （n ≥2）．
又 111
=a ，∴ {n
a 1}是以1为首项，1为公差为等差数列，
则
n n a n
=⨯-+=1)1(11
，
n
a n 1
=
． …………………… 4分 （2）∵ b n = a n 2 =21n
，∴ 当 n = 1时，T n = n 1
2-；
当n ≥2时，n n n T n )1(1
3212111121112
22-+
+⨯+⨯+<+++= n
n n 1
2)111()3121()211(1-=--++-+-+= . …………………… 8分
（3）k n k a n +=+111， ∴ ∑∑==+=+n
k n k n
k
n k a 11111． 设 g （n ）=n n n k n n
k 21211111+++++=+∑= ，
∴ 221121213121)()1(+++++++++=-+n n n n n n g n g )21
2111(n
n n +++++-
02
2112111221121>+-+=+-+++=n n n n n ， ∴ g (n )为增函数， 从而 g
(n )｜
min
= g （1）
=2
1． …………………… 10分
因为 g (n ))12(log 2
3-+->a a 对任意正整数n 都成立，
所以
21)12(log 2
3
-+->a a ，得 log a （2a －1）＜2，即 log a （2a －1）＜ log a a 2． ① 当a ＞1时，有 0＜2a －1＜a 2，解得 a ＞2
1
且a ≠1，∴ a ＞1．
② 当0＜a ＜1时，有 2a －1＞a 2＞0，此不等式无解．
综合①、②可知，实数a 的取值范围是（1，+∞）． …………………… 12分
22．（1）设g (x ) = f (x ) + x ，则g ′ (x ) = f ′(x ) + 1 =1
)1(11
1++=+++-x x a x a a ．
∵ a ＞0，x ＞0，∴ g ′ (x ) =1
)1(++x x a ＞0，
于是 g （x ）在（0，+∞）上单调递增，
∴ g （x ）＞g （0）= f (0) + 0 = 0，f (x ) + x ＞0在x ＞0时成立， 即a ＞0，x ＞0时，f （x ）＞－
x ． …………………… 4分
（2）∵ f (x ) = ax －（a + 1）ln （x + 1），∴ f ′(x ) =1
11
1+-=++-x ax x a a ． ① a = 0时，f ′(x ) =01
1<+-x , ∴ f (x ) 在（－1，+∞）上单调递减, 无单调增区
间．
② a ＞0时，由 f ′(x )＞0得a
x 1>，∴ 单增区间为（a 1，+∞）．
③ a ＜0时，由 f ′(x )＞0得a
x 1<．
而 x ＞－1，∴ 当11-≤a
，即－1≤a ＜0时，无单增区间；
当11->a
，即a ＜－1时，－1＜x ＜a 1，单增区间为（－1，a 1）．
综上所述：当a ＜－1时，f (x ) 的单调递增区间为（－1，a
1）；当－1≤a ≤0时，
f (x ) 无单调递增区间；a ＞0时，f (x ) 的单调递增区间为（a
1，+∞）．…………… 8分
（3）证明：1）当n = 2时，左边－右边=08
1ln 84ln 8ln 2ln 28322ln 33
2=<=-=-e e ，
∴ 左边＜右边，不等式
成
立． …………………… 9分
2）假设n = k 时，不等式成立，即 8
52ln 33ln 22ln 222-<+++k k k 成立， 那么当n = k + 1时，
2
2222)1()1ln(852)1()1ln(ln 33ln 22ln +++-<++++++k k k k k k k =21
)1()1ln(85212-+++-+k k k ． …………………… 11分
下面证明：
021
)
1()1ln(2
<-++k k ． 思路1 利用第（1）问的结论，得 ax －ln （x + 1）a +1＞－x ，
所以（a + 1）ln （x + 1）＜（a + 1）x ，即 ln （x + 1）＜x ，
因而 0＜ln （k + 1）＜k ，所以02
1
2211221
)
1()1ln(2
2
=-<-++<-++k k k k k k k ． 以上表明，当n = k + 1时，不等式成立．
根据1）和2），可知，原不等式对任意正整数 n 都成立．…………………… 14分 思路2 构造函数h (x ) = ln x －2
1x 2（x ≥3），则0)1)(1(1)(<-+=-='x
x x x x
x h ，
∴ h (x ) 在 [ 3，+∞)上是减函数，则 h (x )max = h (3) = ln 3－29
＜ln e 2－2
9＜0，
∴ 当x ≥3时，ln x ＜2
1x 2，即
021
ln 2<-x x ． ∵ k + 1∈[ 3，+∞)，∴ 021
)
1()1ln(2
<-++k k ．。