安徽省阜阳市界首崇文中学高三数学文模拟试题含解析

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安徽省阜阳市界首崇文中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设为向量,则“”是“的夹角是锐角”的()条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
参考答案:
B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【专题】规律型.
【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:若“的夹角是锐角”,设夹角为θ,
则.
当θ=0时,满足,
但的夹角是锐角不成立.
∴“”是“的夹角是锐角”的必要不充分条件.
故选:B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用数量积的公式是解决本题的关键.
2. 在平面区域内随机取一点(a,b),则函数f(x)=ax2﹣4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数的概率为()
A.B.C.D.
参考答案:
B
【考点】几何概型.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
对应的图形为△OAB,其中对应面积为S=×4×4=8,
若f(x)=ax2﹣4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数,
则满足a>0且对称轴x=﹣≤1,
即,对应的平面区域为△OBC,
由,
解得,
∴对应的面积为S1=××4=,
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=,
故选:B.
3. 已知f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,且当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,
3]
参考答案:
B
4. 函数的零点个数是( )
(A)0 (B)l (C)2 (D)4
参考答案:
C

5. 已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若,则cosS9的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D

6. 已知O是坐标原点,双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,右焦点为F,以OF为直径的圆交l1于异于原点O的点A,若点B在l2上,且,则双曲线的方程为()
A.B.C.D.
参考答案:
B
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线的方程和圆的方程,联立方程求出A,B的
坐标,结合点B在渐近线y=﹣x上,建立方程关系求得A的坐标,设B(m,n),运用向量的坐标关系,结合B在渐近线上,可得a,c的关系,再由a=1,即可得到c,b,进而得到所求双曲线的方程.【解答】解:双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程
l1,y=x,l2,y=﹣x,
F(c,0),
圆的方程为(x﹣)2+y2=,将y=x代入圆的方程,
得(x﹣)2+(x)2=,
即x2=cx,则x=0或x=,
当x=,y═?=,即A(,),
设B(m,n),则n=﹣?m,
则=(﹣m,﹣n),=(c﹣,﹣),
∵,
∴(﹣m,﹣n)=(c﹣,﹣),
则﹣m=2(c﹣),﹣n=2?(﹣),
即m=﹣2c,n=,
即=﹣?(﹣2c)=﹣+,
即=,
则c2=3a2,
由双曲线可得a=1,c=,b=n==.则双曲线的方程为x2﹣=1.
7. 若S n=sin,则在S1,S2,…,S2017中,正数的个数是()A.143 B.286 C.1731 D.2000
参考答案:
C
【考点】数列的求和.
【分析】由于sin>0,>0,…,>0,sin=0,sin=﹣<
0,…,sin=﹣<0,sin=0,可得到S1>0,…,S12>0,S13=0,而S14=0,从而可得到周期性的规律,从而得到答案.
【解答】解:由于sin>0,>0,…,>0,sin=0,sin=﹣<
0,…,sin=﹣<0,sin=0,可得到S1>0,…,S12>0,S13=0,而S14=0,
2017=14×144+1,
∴S1,S2,…,S2017中,正数的个数是2017﹣144×2+2=1731.
故选:C.
8. 复数为纯虚数,则实数的值为()
A.0
B.1
C.0或1
D.1或2参考答案:
B

9. 函数的图像可能是()参考答案:
C
,且。

所以选C
10. 若关于的不等式有实数解,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
参考答案:
B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若时,,则
的取值范围是
参考答案:
【知识点】指数函数B6
α<1
解析:因为,所以α-1<0,得α<1.
【思路点拨】可直接利用底大于1时指数函数的单调性进行解答.
12. 《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠(chuí),长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤.问金杖重多少?”则答案是.参考答案:
15斤
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项,由等差数列的前n项和得答案.
【解答】解:由题意可知等差数列中a1=4,a5=2,
则S5=,
∴金杖重15斤.
故答案为:15斤.
【点评】本题考查等差数列的前n项和,是基础的计算题.
13. 已知等比数列中,各项都是正数,且成等差,则=____________。

参考答案:

14. 已知双曲线C:(a>0,b>0),圆M:.若双曲线C的一条渐近
线与圆M相切,则当取得最大值时,C的实轴长为________.
参考答案:
15. 已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2,则实数a的值为.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式,再根据其准线方程为y=﹣,即可求之.【解答】解:抛物线y=ax2的标准方程是x2=y,
则其准线方程为y=﹣=﹣2,
所以a=.
故答案为:.
16. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的第2项为________.参考答案:
17. 若a= ,则(1+ax)5的展开式中x3项的系数为80.
参考答案:
2
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用通项公式即可得出.
【解答】解:通项公式T r+1==a r x r,则r=3.
令=80,解得a=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
三、解答题:本大题共5小题,共72分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)在中,分别是角的对边,且. (Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)当a=6时,求其面积的最大值,并判断此时的形状。

参考答案:
解析: (Ⅰ)由已知得: -------------2分

---------------4分
----------------6分
(Ⅱ)
--------------------8分
故三角形的面积--------------------10分当且仅当b=c时等号成立;又,故此时为等边三角形----12分
19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为,求的分布列及数学期望.
参考答案:
解:(1)茎叶图如右:
……2分学生乙成绩中位数为84,…………4分
(2)派甲参加比较合适,理由如下:
………………5分
=35.5
=41……………………7分
∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适……………………8分(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A,
则……………………9分
随机变量的可能取值为0,1,2,3,
且服从B()k=0,1,2,3
0 1 2 3
的分布列为:
(或)....12分

20. (本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面
,,为上一点,且.
(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值。

参考答案:
(I)(II)
(I)(II)
21. (本小题满分12分)
某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者。

(Ⅰ)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望。

(Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率
参考答案:
解:(I)ξ得可能取值为 0,1,2;由题意P(ξ=0)=, P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=…………3分
∴ξ的分布列、期望分别为:
Eξ=0×+1×+2 ×=1 …………6分
(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C
男生甲被选中的种数为,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为
∴P(C)=
…………11分
在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为……12分

22. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)求的单调区间和最小值;
(2)若对任意恒成立,求实数m的最大值.
参考答案:
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.B11 B12
【答案解析】(1)函数在上递增,在上递减,最小值为(2)4解析:(1),。

有,函数在上递增…………………..3分
有,函数在上递减…………………..5分
在处取得最小值,最小值为…………………..6分
(2)∵2f(x)≥﹣x2+mx﹣3,即mx≤2x?lnx+x2+3,又x>0,∴,
令,
令h'(x)=0,解得x=1或x=﹣3(舍)
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,函数h(x)在(0,1)上递减
当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)在(1,+∞)上递增,
∴h(x)max=h(1)=4.即m的最大值为4.
【思路点拨】(l)求函数的导数,利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x)的单调区间和极值;(2)利用不等式恒成立,进行参数分离,利用导数即可求出实数m的最大值.。

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