空间向量与立体几何测试题答案

空间向量与立体几何测试题
一、选择题
1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是答案：A A. —个圆
E. —个点
C.半圆
D.平行四边形
2 .在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1的表达中错误的一个是（
b ）
A. AA ^u'A 1 B ^u'A 1 D 1
B. AB ■ DD 1 - D 1C 1
C. AD CC 1 ■ D 1C 1 3 .若a , b, c 为任意向量, A. 1
D. 1 （AB 1 ■ CD 1） - A 1C 1
2
R ，下列等式不一定成立的是（
B. C. D.
(a -,-b )- c =a ・ c b-c m(a -,-b ) =m a -,-m b (a- b )- c =a ・(b-c ) 4.若三点A , B , C 共线, 为空间任意一点，且PA ：：叱PB = 一： PC ，则「-一的值为 (b )
A. 1
B. -1
5.设 a = (x,4,3), b = (3,2, C.丄
2 z),且 a 〃 A. -4 B. C. J9 则xz 等于（b ）
已知非零向量e b e 2不共线，如果AB =e 1
亠 e , AC
2
=2e 2 -8 e 2，AD =3 e ’ _ 3 e ?,
则四点
B ,
C ,
D ( c ) 一定共圆 A , A. B. 恰是空间四边形的四个顶点心 C. 一定共面
D. 肯定不共面 7 .如图1,空间四边形 ABC D 的四条边及对 角线长都是a ,点E , 的中点，贝U a 2等于（ F , G 分别是AB , AD , A. 2BA- AC B. 2AD • BD C. 2FG•CA D. 2EF-CB 右 a d =e 1 亠 2 e 2 亠 3e 3 ,
A. 5
2 ) =5
3e b 1 e- 2 e 3 Z C ,则X , y , z 的值分别为( 2e ,' d 二 x a ' y b ' B. 5
2
C. -5
2
D.
1 ,1
2
9•若向量a = (1, ^2)与b = (2, _1,2)的夹角的余弦值为 C. _2或兰 55 10.已知ABC D 为平行四边形， 且A(4,1,3), B(2, _5,1, A. _,4,「1 A. 2
B. _2 D. 2 或 _ 55 C (3,7,5),则顶点D 的坐标为 (d )
B. (2,4,)
C. (/,4,)
D. (5,3, _3) "•在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中, A. 60 ° B. 90 °
0为AC , BD 的交点, C 护 C. arccos —— 3 C 10与AD 所成角的(
羽
D. arccos —— 6
12.给出下列命题：
I b ，贝y a ・(b 亠c )亠c- (b _a) = b- c ; ①已知a ② A , B , M , N 为空间四点，若BA , BM ,BN 不构成空间的一个基底，那么A , B , M , N 共面;
1 _b ，贝U a, b 共线，则 ③ 已知a ④ 若a , b 共线，则a , 正确的结论的个数为( A. 1 B.
2 二、填空题 13
.已知 a =(3,1,5), b 答案：兰,-21,0 / I 5 5丿 b 与任何向量都不构成空间的一个基底; b 所在直线或者平行或者重合. C ) C. 3 D. 4 = (1,2, _3),向量c 与z 轴垂直，且满足ca = 9, c ・b = _4 ,则c = 14.已知A B , C 三点不共线，0为平面ABC 外一点，若由向量 OP 1 - OA • — OB 5
■ OC 确 定的点P 与A , B , C 共面，那么■ 15.已知线段AB _面：•，BC :-, ________ . 答案：- 15 CD _BC , DF _ 面：.于点 ZD CF =30 ° ，且 D , A
在平面?的同侧，若AB =BC =CD =2 ,则AD 的长为 答案: 2 .2 16.在长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中, 线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 B 1C 和C ’D 与底面所成的角分别为 ______ . 答案：逻
4 60 ° 和 4
5 ° , 则异面直 三、解答题 17 .设 数•，•,、..，使a 4 W a 1 h“a 2 •a 3成立？如果存在，求出 证明. 答案：解：假设a 4
= a 「l a 2
：：P ：a 3
成立. •-引=(2, —1,1) a 2 =(1,3, —2), a 3=(—2,,— 3), a 4 =(3,2,5), •: (2 ■」-2;，-’ 3 J 亠、：.；■ 一2-3、.)=(3,2,5). j 5 ,试冋是否存在实 a ’=2 i —j+K i 七 j -2K a=_2 i + j -3 , 4a =3 i 七 ；如果不存在，请写出 2 ■」-2i =3,
■ = -2,
:•:- 乙「3」* =2,解得"=1, ，-2 ■ I - 3 '： = 5, '： = -3. 所以存在1
= -2,」=1, v = -3 使得 a 4 - -2a 1 亠 a 2 - 3a 3 .
18如
cos ' AC 1 , n
—一
J 3
AC /n 2 AC 1
1
——:AC 1, n ■二 60
故AC 1与侧面ABB 1 A 1所成的角为30 ° .
19.如图3,直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形， D , E 分
别是CC 1与A 1B 的中点，点
E 平面ABD 上的射影是 △ ABD 的重心G ,求点A 1到平面
Z AC B =90 ° ,侧棱 AA ’ =2, 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设
CA =2a
则 A(2 a ,0,0), B(0 ,2a ,0), D(0,0,1, A,2 a ,0,2), E(a ,
a ,1, — a a
从而
GE r ‘ 3
B D =(0, _2a ,1).
GE _ BD =• GE • BD =0，得 a =1 , A , (2,0,2), A(2,0,0), E (1,1,1).
A ,作A 1H _面AED 于M ，并延长交 xOy 面于H
A ,H =(x -2, y , 一2).
AD =(-2,0,1) , AE =( _1,1,1).
A 1H _ AD , A 1H _ AE
-2( x -2) -2 =0, ]-(x _2) +y _2 =0
「
I “，
=1
,得 H (1,1 ,0).
A M = A t A • cos f A A AM ) = A A • cos ( A t A A H
=2 4 2 6 2、6
20.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2, P , Q 分别是BC ， CD
上的动点，且PQ =存2 ,
确定P , Q 的位置，使QB 1 _PD 1 .
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 BP =t ,
"得 CQ
■ .2 -
(2 ■ t) 1 , DQ —2 - .2 …(2 …t) | .
那么 B 1 (2,0,2), D 1(0,2,2), P(2, t ,0), Q(2 — J 2 —(2 —t)2,2,0),
c
J
[/
图2,正二棱柱ABC 「A B C 的底面边长为a ，侧棱长为 2 a ，求AC 与侧面ABB ^A ’所成的 角. 解：建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, a,0), A , (0,0,2a), C 由于n = (_1,0,0)是面ABB ,A ,的法向量,
n
在
AED 的距离.
竺竺1
>
>
I .
G
，设 H (x , y ,0),
r-i 3
B .
N
从而 QB ’ =( J2 _(2 _t)2, -2,2) , PD ’ =(二,2 _t,2), 由 QB ’ _PD ’ 二.QB 「PD ’ =0 ,
2 _(2 _t)2 -2(2 -t) 4 =0= t =’ .
P , Q 分别为BC ,
CD 的中点时，QB ’丄PD ’ .
故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为
22.平行六面体 ABCD -AB ’C ’D ’的底面ABC D 是菱形，且C ’CB = . C ’CD = BCD ,试问:
C D 当 的值为多少时， A ’C _面C ’BD ?请予以证明.
CC 1
’ _
’
解：欲使 A ’C _面 C ’BD ，只须 A ’C _C ’D ，且 A ,C _C ’B . 欲证 A ’C _C ’D ，只须证 CA ^C ’D =0 , 即(C A - AA 1)' (C D —CC ’)=0 , 也就是(CD CB - CC 1)'(CD _CC ’)
-2 .如图4，在底面是直角梯形的四棱锥
S -ABCD 中，.ABC =90 ° , SA _面ABC D ,
’
SA =AB =BC =’，AD ，求面SC D 与面SBA 所成二面角的正切
2
2’
值.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
’
则 A(0,0,0), B( J,0,0), C ( _1,1,0), D 10, ,0 , S(0 ,0,1).
I 2丿
延长CD 交x 轴于点F ，易得F (1,0,0), 作AE _ SF 于点E ，连结D E ,
则.DEA 即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角.
那么 1 1 ——1 1
1
1 ,0,
,ED 二
_— 2
2
2 2 2
从而 cos EA , ED ,二
EA ED
因此 tan EAF ,ED = 一
=0 ,
M4
又由于SA =AF 且SA _AF ，得E
?
EA - ED 6
EA =
1 1 又由于 SA = AF 且 SA _ AF ，得 E \ ,0,
__ 2
即CD | |cc’| --|C B CD cos /BCD 由于―C’CB =• BCD ,
CD =CC’-CB CC’ cos . C’CB =0 .
显然，当时，上式成立; 同理可得，当CD "’ 时，AC _C’B .
CD
因此当寸1时, A’C _面C’BD。