矩形谐振腔

成谐振腔，电磁场被限制在金属壳的内部 z
a
g /2
，避免了电磁场向外辐射。
x
把长度为d的空心金属波导两端用金属壁封闭，即可构成谐 振腔。封闭金属谐振腔也存在多种结构，例如，矩形谐振腔、 圆柱谐振腔、同轴谐振腔等，本节主要讨论矩形谐振腔。
2019/11/28
电磁场理论
4
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔
kc2

k2

kz2

( m
a
)2

( n
b
)2
2019/11/28
电磁场理论
15
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔的主模
TM mnp m和n均不能为零，p 可以为零。
最低次模式： TM110
TEmnp m 和 n 不能同时为零，且 p 不能为零。
最低次模式： TE101, TE011
f mnp

c 2
对于由理想导体构成的矩形谐振腔，除了在 z = 0 和 z = d 处增加了新的边界条件外，其它方面与矩形波导相同。
由于电磁波在 z = 0 和 z = d 两个端面存在反射，z 方向电场
强度的表达式为
Ez
(
x,
y,
z
)

sin(
m
a
x)sin( n
b
y)(C1e jkzz
C2e jkzz )
C2 C1 2 jC1 sin(kzd ) 0
kzd p , p 0,1, 2,...
Ez
(
x,
y,
z)

E0
sin(
m
a
x)sin( n
b
y) cos( p
d
z)
E0 2C1
2019/11/28
电磁场理论
9
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中的TM波电场z向分量
Ez (x, y, z)
矩形波导
矩形谐振腔
2019/11/28
电磁场理论
5
第九章 导行电磁波
谐振腔与波导区别 波导的作用是传输电磁波，谐振腔的作用主要有：选择具 有特定频率的模式、产生或者放大电磁波。
在均匀连续波导中，电磁波在 z 方向呈行波状态，z 方向为 电磁波的实际传播方向；在谐振腔中，电磁波在 z = 0 和 z = d 两个金属面之间多次反射，电磁波呈驻波状态，z 方向为电磁 波的参考传播方向。
上式中的常数 C1 和 C2 由边界条件确定。
2019/11/28
电磁场理论
7
第九章 导行电磁波
Ez
(
x,
y,
z
)

sin(
m
a
x)sin( n
b
y)(C1e jkzz
C2e jkzz )
Ex


jkz
k2

k
2 z
Ez x
Ey


jkz
k
2

k
2 z
Ez y

jkz

z
a
H
0
sin(
m
a
x
)
cos(
n
b
y
)
sin(
p z )
d
Hx (x,
y,
z)


1 kc2
m
a
p
d
H
0
sin(
m
a
x
)
cos(
n
b
y
)
cos(
p
d
z
)
H
y
(
x,
y,
z)


1 kc2
n
b
p
d
m x n y p z
H0 cos( a ) sin( b ) cos( d )
Ez (x, y, z) 0
可见，TM模式的谐振频率或谐振波长与谐振腔的尺寸及模
2式019有/11/关28 ，每组（mnp）取值对电应磁场于理一论 种模式。
11
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中TM模式的电磁波表达式为
Ez (x, y, z)
E0
sin(
m
a
x)sin( n
b
y) cos( p
d
z)
1 m p
m x n y p z
H z y

jkz

z

jkz

z
Hx

k2
1
k
2 z
x
( H z z
)
Hy

k2
1
k
2 z
y
( H z z
)
Ex


j
k2

k
2 z
H z y
Ey

j
k2

k
2 z
H z x
Ez 0
2019/11/28
电磁场理论
第九章 导行电磁波
H
第九章 导行电磁波
复习9-4 波导传输功率和损耗(1)
波导的传输功率
根据波导中电场强度和磁场强度的横向分量，计算出复坡印廷 矢量，将其实部沿波导横截面积分，即可得到波导的传输功率。
复坡印廷矢量
S

1 2
(E

H
*
)=
1 2
(ez
Ey
H
* x

ex
E
y
H
* z
)
TE10波
S

ez
E02 2ZTE
sin
对于矩形谐振腔，TM模式在 x、y 和 z 三个方向均为驻波。
2019/11/28
电磁场理论
10
第九章 导行电磁波
Ez (x, y, z)

E0
sin(
m
a
x)sin( n
b
y) cos( p
d
z)
k 2 f
kz
k2
p
d
=kc2
kc2
k
2 z
=(
kx2 ky2
波导中存在“截止频率”，谐振腔中存在“谐振频率”。
2019/11/28
电磁场理论
6
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中的TM波 对于TM模式，Hz = 0 ，新 增加的边界条件为：
Ex (x, y, 0) Ey ( x, y, 0) 0
Ex(x, y,d ) Ey (x, y,d ) 0
Ex (x, y, z) kc2 a d E0 cos( a ) sin( b ) sin( d )
Ey (x,
y, z)


1 kc2
n
b
p
d
E0
sin(
m
a
x
)
cos(
n
b
y
)
sin(
p
d
z
)
Hx (x, y, z)
j
kc2
n
b
E0
sin(
m
a
x
)
cos(
n
b
y
)
cos(
p
d
z
)
H y (x,
y, z)


j
kc2
m
a
E0
cos(
m
a
x
)
sin(
n
b
y
)
cos(
p z )
d
Hz (x, y, z) 0
kc2

k2

k
2 z

( m
a
)2

( n
b
)2
2019/11/28
电磁场理论
12
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中的TE波 对于TE模式，Ez = 0 ，新增加的边界条件为
z
(
x,
y,
z)

cos(
m
a
x) cos( n
b
y)(D1e jkzz
D2e jkzz )
根据 z = 0 和 z = d 两个端面
Ex (x, y, 0) Ey (x, y, 0) 0
上电场强度的边界条件可得
Ex (x, y, d ) Ey (x, y, d ) 0
D2 D1 2 jD1 sin(kzd ) 0
kzd p , p 0,1, 2,...
Hz (x, y, z)
m
H0 cos( a
x) cos( n
b
y) sin(
p
d
z)
H0 2 jD1
可以得到与矩形谐振腔中的TM波类似的结论: 模式、驻 波、谐振频率、谐振波长。
不同之处在于TE波在谐振腔中最低模为TE101
2019/11/28
2
( x
a
)

ex
j
1

( )
a
E02 2
sin( x) cos( x)e jkzz
a
a
能流密度
S
1
Re(S )

ez
E02 2ZTE
sin2 ( x)
a
传输功率 P S s0
ezds
E02 sin2 ( x)ds
s0 2ZTE
a
P E02 ab 2ZTE 2
矩形波导主模TE10传输功率
谐振频率下一个周期中的能量损耗
Q
2
W PLT

2
T
W PL
2
W fr PL
Q rW
PL
式中，r 为谐振角频率，W 为谐振腔中的总储能，PL 为谐振腔
中的损耗功率。 品质因数Q越高，谐振腔性能越好。
2019/11/28


ja
x z
H0 sin( a )sin( d )
Hx
( x,
y,
z)


a d
H0
sin( x
a
) cos( z
d
)
H
z
(
x,
y,
z)

H0
cos( x
a
)
sin( z
d
)
z
d
c1 1
( f )r TE101 2 a2 d 2
x z
2019/11/28
y
电磁场理论
y a
m
E0 sin( a
x)sin( n
b
y) cos(
p
d
z)
m, n, p : 整数
a, b, d : x, y, z 方向腔长
从上式可以看出，m 和 n 均不能等于零，否则，将得 到无意义的零解。p可以等于零。
m 、 n 和 p 取不同的值，可得不同模式的TM波，称为 TMmnp 模式。
由此可知，矩形谐振腔中TM波具有多模特性，小的 m 、 n 和 p 称为低次模式，大的 m 、 n 和 p 称为高次模式。由于 m 和 n 均不能为零，因此，矩形谐振腔中TM波的最低模式是TM110 模式。
b
y)(C1e jkzz
C2e jkzz )
根据 z = 0 和 z = d 两个端面 上电场强度的边界条件可得
Ex (x, y, 0) Ey (x, y, 0) 0 Ex (x, y, d ) Ey (x, y, d ) 0
C1 C2 0 C1e jkzd C2e jkzd 0
x
电场线
b
磁场线
17
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔的品质因数 谐振腔以特定的模式存储电磁场能量。
对于实际的谐振腔，由于金属壁的电导率是有限的，金属 壁表面电流引起功率损耗，从而引起储存能量的衰减。
谐振腔的品质因数（Q）可用来衡量谐振腔的损耗大小。
谐振腔的品质因数Q值定义为
Q 2 谐振频率下储存的时间平均能量
Ex

k2
1
k
2 z
x
( Ez z
)

jkz

z
Ey

k2
1
k
2 z
y
( Ez z
)
Hx

j
k 2 kz2
Ez y
Hy


j
k
2

k
2 z
Ez x
Hz 0
2019/11/28
电磁场理论
8
第九章 导行电磁波
Ez
(
x,
y,
z)

sin(
m
a
x)sin( n
Rs
[1 2b ( fc )2 ]
1 ( fc )2
af
TM
f
11
2019/11/28
电磁场理论
2
第九章 导行电磁波
9-5 矩形谐振腔
研究波导谐振腔的意义
在米波以上的微波波段，集总参数的LC谐振电路无法使用。
因为随着频率升高，必须减小 LC 谐振电路的电感量和电 容量，但是当 LC 很小时，分布参数的影响不可忽略。电容器 的引线电感、线圈之间以及器件之间的分布电容必须考虑。
电磁场理论
14
第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中TE模式的电磁波表达式为
H
z
(
x,
y,
z)

H0
cos(
m
a
x) cos( n
b
y)sin( p
d
z)
Ex (x, y, z)
j
kc2
n
b
H
0
cos(
m
a
x
)
sin(
n
b
y
)
sin(
p
d
z
)
Ey (x, y, z)


j
kc2
m
随着频率升高，回路的电磁辐射效应显著，电容器中的 介质损耗也随之增加，这些因素导致谐振电路的品质因素 Q 值显著下降。
在米波以上的微波波段，经常使用相应波段的传输线来构 成谐振器件。
2019/11/28
电磁场理论
3
第九章 导行电磁波
y d
为了得到一个高频下的谐振电路，通
b
常采用封闭的金属壳（将传输线短路）构
由于矩形波导中能够存在 TM 模和 TE 模，因此，在矩形谐振 腔中也会存在 TM 模和 TE 模。
不同于矩形波导，矩形谐振腔中波的传播方向可在 x、y 和 z 三个方向中选择，因此，矩形谐振腔中 TM 模和 TE 模的指定不是 惟一的。也就是说，谐振腔中不存在“纵向方向”。
为了讨论问题方便，通常把 z 方向选为参考传播方向。
第九章导行电磁波202053020矩形谐振腔te101模的品质因数电场能量222000sinsin22222323222216adabd000sincoscossindbawhdxdydz第九章导行电磁波2020530210000badbhzdxdyhxdydz0000dadahydxdzhydxdzxy面金属壁yz面金属壁xz面金属壁xz面金属壁第九章导行电磁波202053022101101rtete表面电阻谐振频率第九章导行电磁波202053023圆柱谐振腔的品质因数mnmnmnmn圆柱谐振腔的q值第九章导行电磁波202053024例题951试证对于矩形谐振腔中的任何模式谐振波长均可表示为其中为截止波长d为谐振腔的长度