存在性问题

小结：有面积的存在性问题，本题明显的等量条件是面积相等，利用数形结合 思想通过解析式设未知数，通过面积相等列方程求解。需要注意的是，最后需 要检查所求点是否符合题目条件并删减。
三.存在性问题与相似三角形的结合
• 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D． • （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； • （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ • （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与 △BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 思路点拨：第一问通过待定系数法解决，第二问是勾股定 理的考察。而第三问我们需要分类讨论，利用相似三角形 对应角相等考虑哪个点为直角顶点解答。
小结：相似三角形中的存在性问题，重点在于利用其性质 （如本题中的对应角相等）分类讨论并解答。
四、存在性问题与特殊三角形的结合
• 1.与等腰三角形的结合 • 已知：抛物线y=x²+（a-2）x-2a（a为常数，且a＞0）． （1）求证：抛物线与x轴有两个交点； （2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交 点为C． ①当AC＝2√5时，求抛物线的解析式； ②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t＞0），同时将直线l： y=3x沿y轴正方向平移t个单位，平移后的直线为l′，移动后A、B的对应 点分别为A′、B′．当t为何值时，在直线l'上存在点P，使得△A′B′P为以 A'B'为直角边的等腰直角三角形．
存在性问题
序
• 存在性问题在近年的中考题中十分常见，存在性问题在几何代 数中都时有考到。
• 这类问题的关键在于，若存在，利用题目所给条件证明各条件
成立；若不存在，因为不符合某性质或某条件证明其不存在。
多与有特殊性质的图形、函数结合考察。
• 与动点问题有异曲同工之妙。
• 本专题将从以下几个方面进行详细介绍：
• （1）求证：抛物线与x轴有两个交点； *根据判别式恒大于零来判断
• （2） ① • 令y=0，则x²+（a-2）x-2a=0， 解方程，得x1=2，x2=-a ∵A在B左侧，且a＞0， ∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0）． ∵抛物线与y轴的交点为C， ∴C（0，-2a） • ∴AO=a，CO=2a； 在Rt△AOC中，AO²+CO²＝(2√5) ²，a²+（2a）²=20， 可得a=±2； ∵a＞0， ∴a=2 ∴抛物线的解析式为y=x²-4；
2k－１
k2
=0
解得k=1/2,由(1)知k<1/4且k ≠0
∴不存在实数k值,使方程的两根互为相反数
*小结：当给出方程根的具体条件问是否存在符合要求的字母系数时，我们应 根据条件列出方程（如本题是两根互为相反数），解出后根据字母系数的取值 范围进行取舍。若符合则存在，若不符合则不存在。
•二.根据面积导出的存在性问题
小结：特殊四边形中的存在性问题，关键在于利用特殊性质 求出所求点，最后检验并取舍。
总结 SUMMARY
• 通过专题学习，我们应该很清楚地了解存在性问题的思考过程： • 1.假设其存在。
• 2.利用函数等辅助条件设未知数，根据特殊几何图形（等腰三角形、平 行四边形等）的特殊性质（或全等相似等条件）列出方程，求出点坐标 。（设未知数与列方程根据各题不同情况略有不同。）
• 解：（1）∵直线y=-x+b经过点A（2，1）， ∴1=-2+b． ∴b=3； （2）∵M是直线y=-x+3上异于A的点，且在第一象限内． ∴设M（a，-a+3），且0＜a＜3． 由MN⊥x轴，AB⊥x轴得， MN=-a+3，ON=a，AB=1，OB=2． ∵△MON的面积和△AOB的面积相等， ∴12a(−a+3)＝1/2×2×1． 解得：a1=1，a2=2（不合题意，舍去） ∴M点坐标为M（1，2）．
• 3.与题目和实际进行比较并取舍。
谢谢大家！
Thank for your listening.
• （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. • 理由如下：
• 过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.
• 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC²=18 • 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD²=2 • 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD²=20 • ∴ 18+2=20， 故△BCD为直角三角形.
解: (1) 根据题意得
△
=(2k－1)2－4k2>0<1/4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根 *小结：一般在判断是否有根存在时常用的方法是计算判别式。本小题是给出 根的情况求字母系数的取值范围，需要注意的是确定方程类型后二次项系数不 能为0.
(2)假设存在实数k值,使方程的两根互为相反数,则x1+x2=－
• 将x=0，y=6代入抛物线的解析式， • a＝1/4． • ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝1/4x²−11/4x+6．
• 2.如图，取OA的中点E， 作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于 点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE． 可得△PEN≌△DEG． 由OE＝OA2＝4，可得E点的坐标为（4，0）． NE=EG=3/2，ON=OE-NE=5/2，NP=DG=25/16． ∴点P的坐标为(5/2，25/16)．（5分） ∵x=5/2时，−2x+6＝−2×5/2+6＝1≠25/16， ∴点P不在直线BC上． ∴直线BC上不存在符合条件的点P．
思路点拨：第一问通过待定系数法解决，第二问利用平行 四边形对角线互相平分的性质，求出使ODAP为平行四边 形的点P,最后检验P是否符合直线BC解析式。
• 1.点C的坐标为（3，0）． • ∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
• ∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8）．
思路点拨：
令抛物线的解析 式中y=0，通过 解方程即可求出A、 B的坐标，进而可 得到OA的长；易 知C（0，-2a）， 由此可得到OC的 长，在Rt△OAC 中，根据勾股定 理求出a.
• 思路点拨：根据平移的性质，可用t表示出直线l′的解析式以及A′、 B′的坐标；由于抛物线在向右平移的过程中，开口大小没有变化，因 此A′B′的长度和AB相等，由此可得到A′B′的长；若△A′B′P是 以A‘B’为直角边的等腰直角三角形，那么可有两种情况： ①∠PA‘B’=90°，此时PA′=A′B′；②∠PB‘A’=90°，此时 PB′=A′B′； 根据PA′、PB′的表达式及A′B′的长，即可求出t的值． • 依题意，可得直线l'的解析式为y=3x+t，A'（t-2，0），B'（t+2，0） ，A'B'=AB=4 ∵△A'B'P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形， ∴当∠PA'B'=90°时，点P的坐标为（t-2，4）或（t-2，-4） ∴|3（t-2）+t|=4 解得t＝5/2或t＝1/2 当∠PB'A'=90°时，点P的坐标为（t+2，4）或（t+2，-4） ∴|3（t+2）+t|=4 解得t＝−5/2或t＝−1/2（不合题意，舍去） 综上所述，t＝5/2或t＝1/2
• 解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c， • 由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.
• 即抛物线的解析式为y=ax²+bx-3．
a b 3 0, • 把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 9a 3b 3 0.
• 解得a=1，b=-2 • ∴ 抛物线的解析式为y = x²－2x－3． • ∴ 顶点D的坐标为（1，-4）
• 一.方程中的存在性问题（根/字母系数) • 二.根据面积导出的存在性问题 • 三.存在性问题与相似三角形的结合 • 四.存在性问题与特殊三角形的结合 • 五.存在性问题与特殊四边形的结合
•一.方程中的存在性问题（根/字母系数)
已知关于x的方程k2x2+(2k－1)x+1=0 有两个不相等的实数根x1、x2. (1)求k的取值范围 (2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k值;如果不存在,请说 明理由
五、存在性问题与特殊四边形的结合
• 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝− 34x+6与x轴、y轴的 交点分别为A、B， 将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折 痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
• 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点．直线y=-x+b经过点A （2，1），AB⊥x轴于B，连接AO． （1）求b的值； （2）M是直线y=-x+b上异于A的一点，且在第一象限内．过点M作x轴 的垂线，垂足为点N．若△MON的面积与△AOB面积相等，求点M的坐 标．
思路点拨：通过带入求出b的值，利用解析式设出MN坐标， 根据三角形面积相等的等量关系列方程，求解。
• （3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0） • 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， • 求得符合条件的点为P（0,1/3）． • 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， • 求得符合条件的点为P2（9，0）． ∴符合条件的点有三个：O（0，0），（0， 1/3），P2（9，0）.