八年级数学下册勾股定理2[1]PPT公开课
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如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树 的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4 米
3米
勾股定理
看
相传两千
一
五百年前，
看
一次毕达哥 拉斯去朋友
家作客，发
现朋友家用
砖铺成的地
面反映直角
三角形三边
的某种数量
关系，同学
们，我们也
来观察这个
图案，看看
你能发现什
么？
数学家毕达哥拉斯的发现：
股
分享成果： 我国古代证法
1.“赵爽弦图”
公式变形
勾股定理给出了直角三角形三边之间的
个单位面积。
关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方 AAC为100米，BC为80米.
AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得
S正方形C=S大正方形-4SRT△
。 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 在西方又称毕达哥拉斯定理！ （图中每个小方格代表一个单位面积）
A
B
a
b
c
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
即 两直角边的平方和等于斜边 的平方
C A
B C
图1-1
A
B 图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（1）观察图1-1 正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
9 个单位面积。 正方形B的面积是
9 个单位面积。 正方形C的面积是
个单位面积。
C
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
和等于斜边的平方。
cb
┏
a
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直 3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距
离为2米 ,问这里水深多少?
角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”， （图中每个小方格代表一个单位面积）
?x
小结
B
想一想:
我们有:
小明的妈妈买了一部29英寸（约74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你同意他的想法吗？你能解释这是为 什么吗？
a=46
b=58 由勾股定理得：
c2=a2+b2 =462+582
=5480
而742=5476
c2=a2 + b2
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
=1002 － 802=602
因此就把这一定理称为勾股定理.
正方形B的面积是
个单位面积。
b c 个单位面积。
两直角边的平方和等于斜边的平方 这节课你的收获是什么？
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
c2=a2+b2
=462+582 正方形C的面积是 正方形B的面积是 正方形C的面积是
a 个单位面积。
个单位面积。
c2 b2
b= c2-a2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
c a2 b2
C
B
a
做一做
求下列三角形中,哪些三角形可以用勾
股定理来求未知边的长:
5
8
17
x
16
x
20
x 12
5
5
X
X 4
3
【注】1、勾股定理的使用条件？ 2、勾股定理可以用来解决什么问题？
如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断 裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断 前有多高？
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
这里水深多少? =1002 － 802=602
例1：如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，
正方形C的面积是
个单位面积。
A
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是 个单位面积。
x +2 =(x+1) 2 2 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2
1
以正方形C的四个顶点做一个大的正方形
c2=a2+b2 =462+582
C
2
H
┓
正方形B的面积是
这节课你的收获是什么？
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
正方形B的面积是 猜想：如果正方形A的边长发生变化，结论还成立吗？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
4 米
3米
应用定理 巩固新知
例1：如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，
观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得
AC为100米，BC为80米.求A、B两点间的距离是多少？
B
C 解：如图，根据题意 得
Ｒt △ABC中，∠Ｂ＝90°
AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得
A
∵AB２+BC２ =AC２
AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得
弦 分割成若干个直角边为整数的三角形 勾 c2=a2+b2
=462+582
勾 3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距 股 离为2米 ,问这里水深多少?
正方形C的面积是 个单位面积。
分割成若干个直角边
A猜C想为：10如0果米正，方ABC形为A8的0米边.长发生变化，结论还成立吗？
为整数的三角形
相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们
也来观察这个图案，看看你能发现什么？
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三
∴AB2 =AC2－BC2 =1002 － 802=602
∴AB=60（米）
答:A、B两点间的距离是60米.
2、在Rt△ABC中，
（1）已知∠C=90°, a=b=6,求c. （2）已知∠B=90°, a=1,c=3,求b. （3）已知∠C=90°, c=13,b=12,求a.
判断正误 :
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，
这一定理称为勾股定理. 若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
理解“勾股定理”应该注意什么问题？
即 两直角边的平方和等于斜边的平方
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
例1：如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，
猜想：如果正方形A的边长发生变化，结论还成立吗？
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
46
c
荧屏对角线大约
为74厘米
58
∴售货员没搞错
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？
２.理解“勾股定理”应该注意什 么问题？
作业快餐：
• 1.完成课本习题１、2、3 • 2.做一棵奇妙的勾股树
1
1
祝同学们学习进步！ 再见！
则第三边长一定为10cm.( ) ×
6 8
68
小结
回归生活之学以致用
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高
出水面1米 个单位面积。 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
cb
c
a
a
a
a
思考：大正方形面积怎么求？
c a
b c
b
a
结论：
a2b2 c2
a b
c
b
c
a
c
a
c
b
a
计算正方形C的面积：
S正方形C=S大正方形-4SRT△
b
a2b2 c2
在西方又称毕达
勾股定理：
哥拉斯定理！
如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，
斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
直角三角形两直角边的平方
9 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个
单位面积。
正方形C的面积是 18 个
单位面积。
思考：你能发现图中的三个 正方形之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
a2+b2=c2
两直角边的平方和等于斜边的平方
猜想：如果正方形A的边长发生变 化，结论还成立吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
算一算 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
图2-1
B
（1）观察图2-1正方形A的面积是16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。
正方形C的面积是 个单位面积。
分割成若干个直
角边为整数的三
A
角形
S正方形c
41431 2
2 5（面积单位）
C
B
图3-1
C A
B
图3-2
把C“补”成边长
C
为7的正方形
A
S正方形c
=72-4×1/2×3×4 =25 （面积单位）
B
图3-1
C A
B
图3-2
算一算 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
图2-1
B
（1）观察图2-1正方形A的面积是16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 25 个单位面积。
算一算 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
图2-1
B
三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 解：如图，根据题意 得
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
“勾”，
正因方此较形 就B把的长这面一积定的是理称直为勾个股角单定位理边面. 积。称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
SA+SB=SC
a2+b2=c2
两直角边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c
A
之间的关系？
a
a2+b2=c2
Bb c
C
直角三角形两直 角边的平方和等于斜 边的平方.
拼一拼
用四个全等的直角三角形不加覆盖能拼成 一个以斜边c为边长的正方形吗？
b
cb
S 正 方 形 c 角如形图较 ，短受的台直风角麦边莎称影为响“，勾一”棵B，树较在长离的地直面角4米边处称断为裂“，股树”的，顶斜部边落称在为离“树弦跟”底. 部3米处，这棵树折断前有多高？
S正方形C=S大正方形-4SRT△ 因此就把这一定理称为勾股定理.
C
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
解正：方如 形图A中，含根有据题意图个小1得-方1格，即A的面积是A
用四个全等的直角三角形不加覆盖能拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？
（单位面积）
C A
B 图1-1
用“补”的方法
以正方形C的四个顶 点做一个大的正方形
S正方形C= 62-4×（1/2×3×3） =36-18 =18
C A
B 图1-1
C A
B 图1-2
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个小方
格，即A的面积是
求下列三角形中,哪些三角形可以用勾股定理来求未知边的长:
以正方形C的四个顶点做一个大的正方形
B
正方形B的面积是
个单位面积。
=1002 － 802=602 分割成若干个直角边为整数的三角形
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
413318 2
直个（角单图三 位角面中形积每两。直个角小边的方平格方和代等表于斜一边个的平单方位。 面积）
4 米
3米
勾股定理
看
相传两千
一
五百年前，
看
一次毕达哥 拉斯去朋友
家作客，发
现朋友家用
砖铺成的地
面反映直角
三角形三边
的某种数量
关系，同学
们，我们也
来观察这个
图案，看看
你能发现什
么？
数学家毕达哥拉斯的发现：
股
分享成果： 我国古代证法
1.“赵爽弦图”
公式变形
勾股定理给出了直角三角形三边之间的
个单位面积。
关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方 AAC为100米，BC为80米.
AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得
S正方形C=S大正方形-4SRT△
。 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 在西方又称毕达哥拉斯定理！ （图中每个小方格代表一个单位面积）
A
B
a
b
c
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
即 两直角边的平方和等于斜边 的平方
C A
B C
图1-1
A
B 图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（1）观察图1-1 正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
9 个单位面积。 正方形B的面积是
9 个单位面积。 正方形C的面积是
个单位面积。
C
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
和等于斜边的平方。
cb
┏
a
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直 3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距
离为2米 ,问这里水深多少?
角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”， （图中每个小方格代表一个单位面积）
?x
小结
B
想一想:
我们有:
小明的妈妈买了一部29英寸（约74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你同意他的想法吗？你能解释这是为 什么吗？
a=46
b=58 由勾股定理得：
c2=a2+b2 =462+582
=5480
而742=5476
c2=a2 + b2
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
=1002 － 802=602
因此就把这一定理称为勾股定理.
正方形B的面积是
个单位面积。
b c 个单位面积。
两直角边的平方和等于斜边的平方 这节课你的收获是什么？
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
c2=a2+b2
=462+582 正方形C的面积是 正方形B的面积是 正方形C的面积是
a 个单位面积。
个单位面积。
c2 b2
b= c2-a2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
c a2 b2
C
B
a
做一做
求下列三角形中,哪些三角形可以用勾
股定理来求未知边的长:
5
8
17
x
16
x
20
x 12
5
5
X
X 4
3
【注】1、勾股定理的使用条件？ 2、勾股定理可以用来解决什么问题？
如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断 裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断 前有多高？
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
这里水深多少? =1002 － 802=602
例1：如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，
正方形C的面积是
个单位面积。
A
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是 个单位面积。
x +2 =(x+1) 2 2 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2
1
以正方形C的四个顶点做一个大的正方形
c2=a2+b2 =462+582
C
2
H
┓
正方形B的面积是
这节课你的收获是什么？
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
正方形B的面积是 猜想：如果正方形A的边长发生变化，结论还成立吗？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
4 米
3米
应用定理 巩固新知
例1：如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，
观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得
AC为100米，BC为80米.求A、B两点间的距离是多少？
B
C 解：如图，根据题意 得
Ｒt △ABC中，∠Ｂ＝90°
AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得
A
∵AB２+BC２ =AC２
AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得
弦 分割成若干个直角边为整数的三角形 勾 c2=a2+b2
=462+582
勾 3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距 股 离为2米 ,问这里水深多少?
正方形C的面积是 个单位面积。
分割成若干个直角边
A猜C想为：10如0果米正，方ABC形为A8的0米边.长发生变化，结论还成立吗？
为整数的三角形
相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们
也来观察这个图案，看看你能发现什么？
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三
∴AB2 =AC2－BC2 =1002 － 802=602
∴AB=60（米）
答:A、B两点间的距离是60米.
2、在Rt△ABC中，
（1）已知∠C=90°, a=b=6,求c. （2）已知∠B=90°, a=1,c=3,求b. （3）已知∠C=90°, c=13,b=12,求a.
判断正误 :
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，
这一定理称为勾股定理. 若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
理解“勾股定理”应该注意什么问题？
即 两直角边的平方和等于斜边的平方
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
例1：如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，
猜想：如果正方形A的边长发生变化，结论还成立吗？
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
46
c
荧屏对角线大约
为74厘米
58
∴售货员没搞错
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？
２.理解“勾股定理”应该注意什 么问题？
作业快餐：
• 1.完成课本习题１、2、3 • 2.做一棵奇妙的勾股树
1
1
祝同学们学习进步！ 再见！
则第三边长一定为10cm.( ) ×
6 8
68
小结
回归生活之学以致用
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高
出水面1米 个单位面积。 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
cb
c
a
a
a
a
思考：大正方形面积怎么求？
c a
b c
b
a
结论：
a2b2 c2
a b
c
b
c
a
c
a
c
b
a
计算正方形C的面积：
S正方形C=S大正方形-4SRT△
b
a2b2 c2
在西方又称毕达
勾股定理：
哥拉斯定理！
如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，
斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
直角三角形两直角边的平方
9 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个
单位面积。
正方形C的面积是 18 个
单位面积。
思考：你能发现图中的三个 正方形之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
a2+b2=c2
两直角边的平方和等于斜边的平方
猜想：如果正方形A的边长发生变 化，结论还成立吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
算一算 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
图2-1
B
（1）观察图2-1正方形A的面积是16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。
正方形C的面积是 个单位面积。
分割成若干个直
角边为整数的三
A
角形
S正方形c
41431 2
2 5（面积单位）
C
B
图3-1
C A
B
图3-2
把C“补”成边长
C
为7的正方形
A
S正方形c
=72-4×1/2×3×4 =25 （面积单位）
B
图3-1
C A
B
图3-2
算一算 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
图2-1
B
（1）观察图2-1正方形A的面积是16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 25 个单位面积。
算一算 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
图2-1
B
三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 解：如图，根据题意 得
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
“勾”，
正因方此较形 就B把的长这面一积定的是理称直为勾个股角单定位理边面. 积。称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.
SA+SB=SC
a2+b2=c2
两直角边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c
A
之间的关系？
a
a2+b2=c2
Bb c
C
直角三角形两直 角边的平方和等于斜 边的平方.
拼一拼
用四个全等的直角三角形不加覆盖能拼成 一个以斜边c为边长的正方形吗？
b
cb
S 正 方 形 c 角如形图较 ，短受的台直风角麦边莎称影为响“，勾一”棵B，树较在长离的地直面角4米边处称断为裂“，股树”的，顶斜部边落称在为离“树弦跟”底. 部3米处，这棵树折断前有多高？
S正方形C=S大正方形-4SRT△ 因此就把这一定理称为勾股定理.
C
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
解正：方如 形图A中，含根有据题意图个小1得-方1格，即A的面积是A
用四个全等的直角三角形不加覆盖能拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？
（单位面积）
C A
B 图1-1
用“补”的方法
以正方形C的四个顶 点做一个大的正方形
S正方形C= 62-4×（1/2×3×3） =36-18 =18
C A
B 图1-1
C A
B 图1-2
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个小方
格，即A的面积是
求下列三角形中,哪些三角形可以用勾股定理来求未知边的长:
以正方形C的四个顶点做一个大的正方形
B
正方形B的面积是
个单位面积。
=1002 － 802=602 分割成若干个直角边为整数的三角形
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
413318 2
直个（角单图三 位角面中形积每两。直个角小边的方平格方和代等表于斜一边个的平单方位。 面积）