山东省烟台市2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(精编含解析)

2018-2019学年度高三第一学期期中检测
文科数学
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则∩
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式可求出集合，然后进行交集的运算即可.
【详解】因为集合，
又，
，故选A.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的
关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.已知函数，若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，解得，从而，由此能求出结果.
【详解】函数，
，
因为，
，解得，
，故选B.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，
思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．
3.已知向量，，若，则实数的值为
A. B. C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，两边平方可得出，利用平面向量数量积的坐标表示解方程即可.
【详解】向量，若，
则，
，
，
解得或，故选C.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种
形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则
;(4)求向量的模（平方后需求）.
4.已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集为
A. B.
C. 或
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可得等价于，结合函数的单调性可得等价于，利用
绝对值不等式的解法，结合对数函数的性质解得的取值范围，即可得结论.
【详解】因为为偶函数，所以等价于，
又因为在区间上单调递减，
所以在上单调递增，
则，
即，
解可得，
即不等式的解集为，故选D.
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
5.已知，则
A. 0
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，利用诱导公式可得，利用两角和的正弦公式、两角和的余弦公式以及辅助角
公式将化为，从而可得结果.
【详解】由于，
则，
可得，
，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
6.已知则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特值法，令，可分别判断选项错误；利用对数函数的单调性可判断选项正确.
【详解】当时，
，故错误；
当时，
，故错误；
当时，
，故错误；
因为，所以在定义域内递增，
又因为
，正确，故选D.
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及函数单调性的应用，属于中档题.利用已知条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
7.已知函数的图象大致为（）
【答案】A
【解析】
，的图象始终位于的图象的上方，所以函数值为正数，排除当取
时，，排除.
选.
考点：函数的图象.
8.下列不等式：①；②；③；④（a，b，m＞0且a＜b）．其中恒成立的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①取特值a=1，b=﹣1，可判断；对于②，若x＜0，则x+≤﹣2，则不恒成立; 对于③，由b＜a＜0＜c，两式做差即可;对于④，由a，b，m＞0且a＜b，两式做差和0比即可.
【详解】对于①，若a=1，b=﹣1，满足a＞b，则＞，则不恒成立；
对于②，若x＞0，则x+≥2；若x＜0，则x+≤﹣2，则不恒成立；
对于③，由b＜a＜0＜c，可得﹣=c＜0，
则恒成立；
对于④，由a，b，m＞0且a＜b，﹣=＞0，
则（a，b，m＞0且a＜b）恒成立．
故选：B．
【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
9.将函数的图象向右平移个周期得到的图象，则具有性质
A. 最大值为1，图象关于直线对称
B. 在上单调递增且为奇函数
C. 在上单调递增且为偶函数
D. 周期为，图象关于点对称
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象的变换规律求得，则为奇函数，可判断选项；由当时,可
判断选项，由的图象关于点对称，可判断选项.
【详解】函数的周期为，
将函数的图象向右平移个周期（即）得到
的图象，
当时,，不是最值，故图象不关于直线对称，故错误；
在上，，函数单调递增且为奇函数，故正确；不正确；
令，求得,故的图象关于点对称，，故错误，故选B.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的的奇偶性、三角函数单调性与对称性，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题，同时要注意特值法的应用.
10.已知边长为1的等边为的中点，是边上一点，若, 则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量的几何运算法则，推导出，由平面向量数量积公式及运算法则
即能求出.
【详解】
边长为1的等边为的中点，是边上一点，，
，
，
，故选B.
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
11.已知且，则
的最小值为
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，将变形可得，则 ，利用基本不等式可得结果.
【详解】根据题意，且，则，
，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为8，故选B.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等
时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
12.设函数，则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式,分，,三种情况讨论，分别求出的取值范围，然后求并集即可得结果.
【详解】若，则，
则等价于，
即，则，此时，
当时，，
若即时，满足恒成立，
若，即时，，
此时恒成立，
综上所述，，故选A.
【点睛】本题主要考查指数函数的性质、分段函数的解析式和性质以及分类讨论思想的应用. 属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样
才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上.
13.已知函数的图象关于直线对称，则等于_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦函数的对称性可得，结合即可得结果.
【详解】函数的图象关于直线对称，
，
因为，
求得，故答案为.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为
；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
14.若满足约束条件，则的最小值是_____
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
满足约束条件
的可行域如图，
由得，平移直线，
由图象可知当直线
，过点时，
直线的截距最大，此时最小，
由得，代入目标函数，
得，
目标函数的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.已知是定义域为的奇函数，满足
，若，则
________
【答案】2
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【详解】∵f （x ）是奇函数，且f （1-x ）=f （1+x ），
∴f （1-x ）=f （1+x ）=-f （x-1），f （0）=0，
则f （x+2）=-f （x ），则f （x+4）=-f （x+2）=f （x ），
即函数f （x ）是周期为4的周期函数，
∵f （1）=2，
∴f （2）=f （0）=0，f （3）=f （1-2）=f （-1）=-f （1）=-2，
f （4）=f （0）=0，
则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0-2+0=0，
则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=12[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]+f （45）+f （46）
=f （1）+f （2）=2+0=2，
即答案为2.
【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
16.已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用导数研究其单调性、极值，可得函数的图象如图，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象判断出不等式的整数解，即可得结果.
【详解】
由，
令，解得，
令，解得，
的递增区间为，递减区间为，
故的最大值是，
时，时，且，
故在时，，在时，，
函数的图象如图，
①时，由不等式得或，
而时无整数解，的解集为，
整数解有无数多个，不合题意；
②时，由不等式得解集为，
整数解有无数多个，不合题意；
③时，由不等式，得或，
的解集为
无整数解，
只需的解集整数解只有一个，
且在
上递增，在
递减，
而
，这一正整数只能为3，
，
，
综上所述，的取值范围是
，故答案为
.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
(1) 求的最小正周期和单调减区间；
(2) 若在区间
有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）T=
（2）
【解析】【分析】
(1) 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利
用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；(2)
求出函数在区间的最小值以及
的值，结合函数的单调性利用数形结合即可得到结论.
【详解】(1)
∴
又由
，
解得：
，
的单调减区间为,
(2) 由（1）知在
单调减，在
单调增,
故.
又
故当
，即时，
即在区间上的图象与有两个不同交点
即方程
在区间
上两个不同实数解∴ 的取值范围为
【点睛】本题主要考查三角函数的周期与单调性，以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于中档题.
函数的单调区间的求法： ①若,把看作是一个整体，由
求得函数的减区间，
求得增区间；②若
,则利用诱导公式
先将的符号化为正，再利用①的方法.
18.在
中，角、、所对的边分别为、、.向量 ,
,且
.
（1）求角的大小；
（2）若
,
，求
的值.
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】
（1）由即可得出，结合“降幂公式”可求出或（舍去）， ；（2）
由余弦定理可得出，结合，即可得出，从而可得出，，由三角形的面积公式可得结果.
【详解】(1) 因为，
所以，
由题意知为锐角
或（舍去）
(2)由余弦定理知
又代入
得，
,，
.
【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
19.已知函数).
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上是单调减函数，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线
在点处的切线方程；(2)求出函数的导数,问题转化为在上恒成立，即
在上恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值，即可求得的范围.
【详解】（1）当时，
所以切线斜率
又切点为所以在处的切线方程为
（2）由题意得
因为在上是减函数，所以在上恒成立
即在上恒成立.
所以在上恒成立.
令易知在上单调递增，
所以
即, 所以.
【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.求曲线切线方
程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线
在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程
.
20.某工厂加工一批零件，加工过程中会产生次品，根据经验可知，其次品率与日产量（万件）之间满足
函数关系式，已知每生产1万件合格品可获利2万元，但生产1万件次品将亏损1万元. (次品率=次品数/生产量）.
（1）试写出加工这批零件的日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）（2）当日产量为4万元时可获得最大利润万元
【解析】
【分析】
(1)讨论当时，当时两种情况，分别运用日盈利减去亏损可得盈利额，即可得到所求解析式；（2）运用二次函数和对勾函数的单调性，分别求得两段函数的最大值，再比较大小即可得到所求最大值.
【详解】(1)当时，
当时，
所以函数关系为；
(2) 当时，
所以当时取得最大值2
当时，，
所以在函数单调递减，所以当时，取得最大值，
又所以当日产量为4万元时可获得最大利润万元.
【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
21.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若求实数的值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，
求得的范围，可得函数的减区间；( 2 )令，当时，在上单调递
增，不合题意；当时，利用导数研究函数的单调性，利用单调性可得的最小值为
，从而确定的值即可.
【详解】(1)函数的定义域为
当时，，故在上单调递增；
②当时，时，单调递减；时，
单调递增.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在单调递减；在单调递增.
(2)令
①当时，由知在上单调递增，
又所以当时，不符合题意；
②当时，函数在上单调递减，
在上单调递增.所以的最小值为
由题意可知
又
所以在上单调递增，在上单调递减
且当时不合题意；
当时不合题意；当时符合题意
综合①②可得：.
【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
22.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）不等式的解集为；（2）实数的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；
（2）对任意实数恒成立，只需即可，易知，从而得解.
试题解析：（Ⅰ）
①不合题意，舍去
②得，
③，
综上不等式的解集为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
则，解得
即实数的取值范围是。