土的本构关系——读书报告

邓肯-张模型的发展与特点
目前描述土的应力——应变关系的数学模型有很多种，包括弹性和弹塑性两大类。

非线性弹性模型中，邓肯—张(Duncan —Chang)模型应用最为广泛的，它包括邓肯—张E-μ模型和修正后的邓肯E- B 模型，即Duncan 等提出的体积模量代替弹性模量的模型。

1、邓肯—张E-μ模型
1.1 双曲线应力应变关系
邓肯—张E-μ模型是邓肯等人根据大量一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线关系而拟合出的一种应力应变关系的双曲线模型，是一种目前广泛应用的增量弹性模型。

它能反映岩土体变形的非线性特征，也可以体现应力历史对变形的影响。

13a
a
a b εσσε-=
+ （1）
式中，a 、b 为试验常数。

在常规三轴压缩试验中，1a εε=，13a
a
a b εσσε-=
+可以写成下式：
1113
a b εεσσ=+- （2）
将常规三轴压缩试验的结果进行整理可以得到
1113
~εεσσ-的关系式如下式所示：
1113
a b εεσσ=+- （3）
由上式可以看出：
1113
~εεσσ-二者近似成线性关系（见图1），将实测的
113
εσσ-和1
ε绘制在同一坐标下即可得到两个实验常数a 、b ： a 为直线的截距，b 为直线的斜率。

ε1/(σ1
-σ3
)
1
-σ3
)ult
图1
1113
~εεσσ-线性关系图
1.2 初始模量E i
在试验的起始点，即当应变很小时，由式(1)可得初始模量E i 为：
1
i E a
=
（4） 即a 为初始弹性模量的倒数。

而当1ε→∞时，由式(1)可得到应力的极限值——右侧限抗压强度为：
131
()ult b
σσ-=
（5） 由此可以看出b 代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力13()ult σσ-的倒数。

在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如
115%ε=）来确定土的强度13()f σσ-，而不可能在试验中使1ε无限大，求取13()ult σσ-；
对于有峰值点的情况，取1313()()f σσσσ-=-峰，这样1313()()f σσσσ-<-ult 。

定义破坏比R f 为：
1313()()f f R σσσσ-=
-ult
（6）
或
13131
()()f f
R b σσσσ=
=
--ult （7） 一般Rf 在0.75~1.0之间，并认为Rf 与侧限压力σ3无关，但从实验结果来看，并非常数，它随而变，因此式(1)又可写成：
()1
131131f i f
R E εσσεσσ-=
+- （8）
或
()13
113131i f f E R σσεσσσσ-=
⎡⎤--⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
（9）
随着σ3值的不同，初始模量E i 也将不同。

1963年，简布(Janbu)通过试验研究，绘制
lg(/)i a E P 与3lg(/)a P σ的关系图，发现二者近似呈直线关系，得出土的初始模量都是侧限
压力的指数函数，并可用如下经验公式表示：
3
(
)n i a a
E KP P σ= （10）
式中，a P 为大气压（a P ＝101.4k a P ）；K 、n 为试验常数，是决定于土质的试验常数，分别代表lg(/)i a E P 与3lg(/)a P σ直线的截距和斜率，对于不同的土，K 值可能小于100，也可能大于3500；n 值一般在0.2~1.0之间。

1.3 切线模量E t
在常规三轴压缩试验中，由于230d d σσ==，所以切线模量为：
132
11()()
t d a E d a b σσεε-=
=+ （11） 将式（1）与式（4）代入上式可以得到：
2
113111()t f i i E R E E εσσ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥+⎢⎥
-⎣⎦
（12） 该式表示为应变1ε的函数，使用时不方便，可将t E 表示为应力的函数形式，即将式（9）代入上式可得：
2[1]t f i E R S E =- （13）
式中，
()13
13f
S σσσσ-=
- （14）
根据莫尔－库仑强度准则有：
3132cos 2sin ()1sin f c ϕσϕ
σσϕ
+-=
- （15）
将式（10）、（15）代入式（14）、（13）中整理即得土体的非线性模型为：
2
133
3()(1sin )()12cos 2sin f n t a a R E KP P c σσϕσϕσϕ--⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
(16)
由上式可见，切线变形模量中包括5个材料常数K 、n 、ϕ、c 、f R 。

对于卸荷和重复加荷时，弹性模量值为E ur ：
3n
ur ur a a E K P P σ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(17)
式中，K ur 值也应通过实验测定，一般情况下ur K K >。

1.4 泊松比
对于该模型，泊松比ν的一些经验公式都不可靠。

Duncan 等人假定在常规三轴压缩试验中轴向应变1ε与侧向应变3ε-之间也存在双曲线关系：
()
3
13f D εεε-=
+- (18)
或者
()3
331f D f D εεεε-
=+-=- (19)
其中， f 与D 为实验常量。

由试验得到的31
εε-与3ε-的关系可近似为直线关系，从而确定截距f 与斜率D 。

从上式可见，当30ε-→时，
3310
i f εενε→⎛⎫
==
⎪
⎝⎭ （20） 式中，i ν为初始泊松比，见图2(a)；D 为13~εε-关系渐近线的倒数，见图2 (b)；试验表明土的切线泊松比i ν是与试验的有限侧压强度3σ有关的。

它们在单对数坐标中，可假设是一条直线,见图2 (c)：
()3G-Flg Pa i v σ= (21)
式中，G 、F 为试验常数G 为限制压强一个大气压时的值，F 为曲线斜率，其确定见图2 (c)。

图2 (a) ~ (c)
将(18)式微分得到正切泊松比t ν：
()()()
11322
111111i
t D f D f d V v d D D εεεεεε-+-=
==-- (22) 将1ε表达式代入式（22），则得到：
()
()()()32
131333lg 11sin 12cos 2sin t n f a a G F Pa v D R KP P c σσσσσϕσϕσϕ-=
⎧
⎫
⎪⎪-⎪⎪-⎨⎬
⎡⎤--⎛⎫
⎪⎪- ⎪⎢⎥+⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩
⎭
（23）
在泊松比的式中有G 、F 、D 共3个材料常数，加上t E 式中5个常数，共有8个常数。

在弹性理论中，00.5t v <<，如果计算所得t ν大于0.5，则可采用0.49t ν=计算。

2、邓肯-张E-B 模型
试验表明，在上述邓肯-张E μ-模型中，
1ε与3ε间的双曲线假设与实际情况相差较多；而且使用切线泊松比t ν计算也存在一些问题。

1980 年邓肯等人提出了E －B 模型，即改用体变模量B 代替泊松比t ν作为计算参数：
()
312E
B v =
- (24)
B 可用以下公式求解：
3m
b a a B K P P σ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(25)
式中，b K 和m 为实验常数，分别为()lg a B P 与()3lg a P σ直线关系的截距和斜率。

多数土的
m 值在0~0.1之间，m 值小于0，表示随着围压3σ增大，体积模量减小的情况。

这种超乎寻常的情况，是由于高压力作用下，土颗粒结构破坏所致。

计算B 时，通常取()13130.7f σσσσ-=-时的体应变计算。

随着3σ改变，B 值有10倍左右的变化。

当0.49t ν<时，B 值可以出现较高的值，
17t B E =；而当1~
26t
t E B ν=
时，可达3
t E B =。

对于t E 和卸荷及重复加荷时的弹性模量值为E ur 的确定，和E μ-模型一样。

3、对邓肯—张模型的评价
3.1 模型的优点
（1）该模型体现了材料的非线性特点，考虑了应力历史对变形的影响，能比较好地模拟土的实际力学性质；
（2）采用的双曲线模型较简单，所包含的参数较少，且所需的模型参数都可以利用常规三轴剪切试验确定。

3.2 模型的缺点
（1）该模型是在轴向应力增加，而侧向应力不变的情况下获得的；但在实际中，土体经历的应力路径并不都是轴向压缩，还可能是其它的应力路径（侧向卸载、侧向加载、轴向卸载、轴向加载），这就造成该模型不能很好的反映应力途径问题；
（2）该模型没有考虑土的剪胀性和应变软化问题，且在E μ-模型中测定土的变形模量E 和泊松比ν受试验方法等因素的影响较大，而实际应用中恰当的模量和泊松比的选定又比较困难，13~εε关系用双曲线拟合确定泊松比存在较大误差；
（3）该双曲线模型不能反映2σ的影响，在实验中考虑的仅是主应力差()13σσ-对模型的影响。

3.3 模型的适用性
该模型适用于粘性土，砂土；但不宜用于密砂，严重超固结土中。

由于该模型是非线性弹性模型，一般仅适用于荷载不太大的条件下。

此模型是应用单一剪切试验结果进行全部应力应变分析，且一切公式都是根据3σ为常量的结果推算所得，因此它适用于以土体的稳定性分析为主，而且3σ接近常量的土体工程问题。

参考文献
[1] 郑颖人,孔亮. 岩土塑性力学[M]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2010.
[2] 罗汀,姚仰平. 土的本构关系[M]. 北京: 人民交通出版社, 2110.
[3] 李广信.高等土力学[M]. 北京: 清华大学出版社,2004..
[4] 罗刚,张建民.邓肯-张模型和沈珠江双屈服面模型的改进[J]. 岩土力学,2004,25(6):887-890.
[5] 姜亭亭,高志军,王运霞.邓肯—张模型研究现状和在工程中的应用讨论[J].西部探矿工程,2009(6):9-11
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。