湖北省黄冈中学高考数学(理科)模拟试卷(十四)

2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（十四）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设复数，(a，b∈R)，那么点P(a，b)在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2、已知函数f(x)=asinx＋cosx(x∈R)的一条对称轴方程，则a的一个可能值是（）A．1B．
C．D．
3、奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f－1(x)，则必在y=f－1(x)的图像上的点是（）A．(－f(a)，a)B．(－f(a)，－a)
C．(－a，－f(a))D．(a，f－1(a))
4、下列命题中是假命题的是（）
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，aα，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
5、点P是椭圆C：与双曲线的交点，F1与F2是椭圆C的
PF2等于（）
焦点，则cos∠F
1
A．B．0
C．D．与a的取值有关
6、将各面涂有颜色的正方体沿着各棱的三等分点按照如图1的方式分割成27个大小相
，则（）
等的小正方体，其中恰有i个面涂有颜色的小正方体的个数记为P
i
A．P1＋P2－P3=2B．P1＋P3－P2=2
C．P2＋P3－P1=2D．P1＋P2＋P3=27
7、已知点O为△ABC的外心，且等于（）
A．2B．4
C．6D．8
8、设，则对任意实数a，b，a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
9、如图2所示，已知点P在焦点为F1、F2的椭圆上运动，则与△PF1F2的边PF2相切，
F2，F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在（）
且与边F
1
A．一条直线上B．一个圆上
C．一个椭圆上D．一条抛物线上
10、若m、n∈{x|x=a2×102＋a1×10＋a0}，其中a i∈{1，2，3，4，5，6，7}，i=0，1，2，并且m＋n=636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（）
A．60个B．70个
C．90个D．120个
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11、设二项式展开式各项的系数和为P，二项式系数之和为S，P＋S=35，则正整数n=__________，展开式中常数项的值为__________．
12、△ABC中，边AB为最大边，且，则cosA·cos B的最大值是______．
13、直线l：x=my＋n(n＞0)过点，若可行域的外接圆直径为，则实数n的值是__________．
14、已知方程x3－3x2＋(m＋2)x－m=0的三个根可作为一个三角形的三条边长，那么m 的取值范围是__________．
15、请阅读定义：“(1)如果就称直线y=a或y=b为y=f(x)
为y=f(x)的一条水平渐近线；(2)如果，就称直线x=x
的一条竖直渐近线；(3)如果有a≠0使得
，就称直线y=ax＋b为y=f(x)的一条斜渐近线”，下列函数的图像恰有两条渐近线的是_________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16、(本小题满分12分)设函数f(x)=a·b＋m，a=(2，－cosωx)，b=(sinωx，－2)(其中ω＞0，m∈R)，且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2．
(1)求ω的值；
(2)若f(x)在区间[8，16]上的最大值为3，求m的值．
17、(本小题满分12分)如图3所示，O，P分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面中
．
心，E是AB的中点，AB=kAA
1
(1)求证：A1E∥平面PBC；
(2)当时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
18、(本小题满分12分)现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高也分别为x，y(其中x≤y的概率为0.6)．现规定一种甲乙两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜，如果盛水相同则先取者负，甲在未能确定x与y大小的情况下先取了A，然后随机又取了一个，那么甲先取时胜乙的概率有多大？
19、(本小题满分12分)已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)e x．
(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？并证明你的结论；
(2)设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．
20、(本小题满分13分)设定义在R的函数f(x)满足：
①对任意的实数x、y∈R有f(x＋y)=f(x)·f(y)．
}满足a1=f(0)，且．
②当x＞0时，f(x)＞1，数列{a
n
(1)求f(0)，并判断f(x)的单调性；
(2)求数列{a n}的通项公式a n；
(3)令b n是最接近的正整数，
．
即求T
1000
21、(本小题满分14分)设斜率为k1的直线l交椭圆C：于A，B两点，点M
(其中O为坐标原点，假设k1，k2都存在)．
为弦AB的中点，直线OM的斜率为k
2
(1)求k
k2的值．
1
(2)把上述椭圆C一般化为，其他条件不变，试猜想k
1与k
2
的
关系(不需要证明)．请你给出在双曲线中相类似的结论，并证明你的结论；
(3)分析(2)中的探究结果，并做出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线l过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线l及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
试题答案
选择题
提示：
1、，点在第一象限.
2、由，可解得.
3、f(－a)=－f(a)，故点(－a，－f(a))在函数y=f(x)图像上，所以点(－f(a)，－
a)在函数y=f－1(x)的图像上.
4、一条直线与两个平面成等角时，两个平面可以平行，也可以相交.
5、可得，平方相加得，又|F1F2|=2，
故∠F1PF2=90°.
6、可得P1=6，P2=12，P3=8，则P1＋P3－P2=2.
7、设BC边中垂线交BC于D，连接AD，则有
.
8、，
则，
又f(x)在R上单调递增，故由a＋b>0，可得a>－b，即f(a)>f(－b)=－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0，反之亦成立，所以是充分必要条件.
9、设圆与F1P的延长线切于点A，与F1F2的延长线切于点B，与PF2切于点C，因为|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，故|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|=2a＋2c，又|PC|=|PA|，|F2C|=|F2B|，则|F1A|＋|F1B|=2a＋2c，又|F1A|=|F1B|，故|F1B|=a＋c为定值，而MB⊥F1F2，故点M横坐标与点B横坐标相同，所以点M的轨迹是一条直线.
10、由6=5＋1=4＋2=3＋3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3=2＋1=7＋6－10, 故
（1）由3=2＋1知，首位数字的可能选择有2×5=10种；
（2）由3=7＋6－10及5=4＋1=2＋3知，首位数字的可能选择有2×4=8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)=90种.
填空题
答案：
11、3，6 12、
13、8 14、
15、①③⑤⑥
提示：
11、，则n=3，常数项为.
12、由cos(A－B)=cosAcosB＋sinAsinB得，
cosAcosB=cos(A－B)－sinAsinB．
由题设，边AB为△ABC的最大边，∴∠C为三角形的最大角．，
∴cos(A－B)≤1，(当A=B时取等号)．
13、直线l与直线交于点A，设直线l与x轴交于点B（n，0），
易得∠AOB=60°，故，则有，解得n=8.
14、
则可设方程的三个根为1，x1，x2，则有，且，解得.
15、根据定义进行判断，①③⑤⑥符合要求.
17、(1)过P作MN∥B1C1，分别交A1B1，D1C1于M，N，则M，N分别为A1B1，D1C1的中点，连接MB，NC，则四边形BCNM是平行四边形，
∵E、M分别为AB、A1B1的中点，∴A1E∥MB．
又∵MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC．
(2)过A作AF⊥MB，垂足为F，连接PF．
∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，
∴AF⊥BC，BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，
(3)连接OP，OB，OC，则OP⊥BC，
由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，
所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心．
又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形，
即PB=PC=BC，所以．
反之，当时，PA=AB=PB=PC=BC，
所以三棱锥O－PBC为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．
18、依题意可知，A，B，C，D四个容器的容积分别为x3，x2y，xy2，y3，按照游戏规则，甲先取A，则只有三种不同的取法：①取A，B；②取A，C；③取A，D．问题的实质是比较两个容器和的大小．
①若先取A，B，则后取者只能取C，D．
∵(x3＋x2y)－(xy2＋y3)=x2(x＋y)－y2(x＋y)=(x－y)(x＋y)2，显然(x＋y)2＞0，
∴当x＞y时，(x－y)(x＋y)2＞0，这时甲取胜．
②若先取A，C，则后取者只能取B，D．
∵(x3＋xy2)－(x2y＋y3)=x(x2＋y2)－y(x2＋y2)=(x－y)(x2＋y2)，显然x2＋y2＞0，
∴当x＞y时，(x－y)(x2＋y2)＞0，这时甲取胜．
③若先取A，D，则后取者只能取B，C．
∵(x3＋y3)－(x2y＋xy2)=(x＋y)(x2－xy＋y2)－xy(x＋y)=(x＋y)(x2－2xy＋y2)=(x＋y)(x－y)2，
又∵x≠y，x＞0，y＞0，∴(x＋y)(x－y)2＞0，即先取A，D时，甲必胜．
甲先取A再取B或C的事件发生的概率为，且x＞y的概率为1－0.6=0.4，此时甲胜的概率为．
同样，若甲先取A再取D的事件发生的概率为，此时甲胜的概率为．
所以，甲取胜的概率为．
18、依题意可知，A，B，C，D四个容器的容积分别为x3，x2y，xy2，y3，按照游戏规则，甲先取A，则只有三种不同的取法：①取A，B；②取A，C；③取A，D．问题的实质是比较两个容器和的大小．
①若先取A，B，则后取者只能取C，D．
∵(x3＋x2y)－(xy2＋y3)=x2(x＋y)－y2(x＋y)=(x－y)(x＋y)2，显然(x＋y)2＞0，
∴当x＞y时，(x－y)(x＋y)2＞0，这时甲取胜．
②若先取A，C，则后取者只能取B，D．
∵(x3＋xy2)－(x2y＋y3)=x(x2＋y2)－y(x2＋y2)=(x－y)(x2＋y2)，显然x2＋y2＞0，
∴当x＞y时，(x－y)(x2＋y2)＞0，这时甲取胜．
③若先取A，D，则后取者只能取B，C．
∵(x3＋y3)－(x2y＋xy2)=(x＋y)(x2－xy＋y2)－xy(x＋y)=(x＋y)(x2－2xy＋y2)=(x＋y)(x－y)2，
又∵x≠y，x＞0，y＞0，∴(x＋y)(x－y)2＞0，即先取A，D时，甲必胜．
甲先取A再取B或C的事件发生的概率为，且x＞y的概率为1－0.6=0.4，此时甲胜的概率为．
同样，若甲先取A再取D的事件发生的概率为，此时甲胜的概率为．所以，甲取胜的概率为．
20、(1)令y=0，x=1，得f(1)·f(0)，即f(1)·[f(0)－1]=0．
∵x ＞0时f(x)＞1，故f(1)＞1≠0，∴f(0)=1．
由①可知f(x)·f(－x)=f(0)=1．
∵x ＞0时，f(0)＞1，∴x ＜0时，0＜f(x)＜1，∴x ∈R 时，f(x)＞0．
设x 1＜x 2，则f(x 2)=f[x 1＋(x 2－x 1)]=f(x 1)·f(x 2－x 1)．
∵x 2－x 1＞0，∴f(x 2－x 1)＞1．
又∵f(x 1)＞0，∴f(x 2)＞f(x 1)，∴f(x)在R 上为增函数．
(2)∵a 1=f(0)，∴a 1=1．
由(1)得，∴f(a n ＋1)=f(a n ＋1)．
∵f(x)在R 上为单调函数，∴a n ＋1=a n ＋1，∴a n =a 1＋(n －1)×1=n ，
即{a n }的通项公式为a n =n(n ∈N *)．
(3)令b n =k ，(k ∈N *)是接近的正整数，则，
∵k ，n 均为正整数，∴k 2－k ＋1≤n≤k 2＋k ．
∵k ，n 均为正整数，∴n 有k 2＋k －(k 2－k ＋1)＋1=2k 个，
∴312＜1000＜322，322－32＋1=993．
(3)对(2)的概括：设斜率为k
的直线l交二次曲线C：mx2＋ny2=1（mn≠0）于A、B
1
(其中O 为坐标原点假设k1、k2都存两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k
2
在)，则．提出的问题例如：直线l过原点，P为二次曲线mx2＋ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A、B两点，当P异于A、B两点时，如果直线PA、PB
的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．
解法如下：设直线方程为y=kx ，A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，则y 1=kx 1．
把y=kx 代入mx 2＋ny 2=1得(m ＋nk 2)x 2=1，。