浙江省嘉兴市2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)

浙江省嘉兴市2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.当a<0时，−a+2√ab−b可变形为()
A. (√a+√b)2
B. −(√a−√b)2
C. (√−a+√−b)2
D. (√−a−√−b)2
2.方程(x−3)2=m2的解是()
A. x1=m，x2=−m
B. x1=3+m，x2=3−m
C. x1=3+m，x2=−3−m
D. x1=3+m，x2=−3+m
3.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是()
A. √5+2√5=2
B. √2+√3=√5
C. √15=3√5
D. √2×√3=√6
5.把方程x2+4x−1=0配方成(x+m)2=n的形式，则m和n的值分别是多少？()
A. m=2，n=3
B. m=2，n=5
C. m=−2，n=3
D. m=−2，n=5
6.若x为任意实数时，二次三项式x2−6x+c的值都不小于0，则常数c满足的条件是()
A. c≥0
B. c≥9
C. c>0
D. c>9
7. 5.有5个数据和为405，其中一个数据是85，另外四个数据的平均数是()
A. 80
B. 78
C. 82
D. 81
8.老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是()．
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
9.如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，
则∠α的度数为()
A. 55°
B. 75°
C. 85°
D. 90°
10.如图，直线l1//l2//l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直
线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G.若DE=2，EG=1，GF=3，则()
A. AB
BC =2
3
B. AG
GC =2
3
C. CG
AC =2
3
D. BC
AC =2
3
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组(10名)同学的测试成
绩(单位：个/分钟)：176，180，184，180，170，176，172，164，186，180，该组数据的众数、中位数、平均数分别为______ ．
12.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=______．
13.自2012年9月11日日本实行所谓钓鱼岛“国有化”后，中国民众群情激愤并开始大规模抵制
日货，某日本品牌汽车在中国的销售量逐月下降，9月份销售量为1.3万台，十月、十一月一共销售量为1.5万台．设九月份到十一月份平均每月下降的百分率为x，则可列方程为______ ．14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2)，B(−2,2)请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为
顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
15.已知关于x的方程(2k+1)x2−kx+3=0，当k______ 时，方程为一元二次方程；当k______
时，方程为一元一次方程，其根为______ ．
16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=4√3，∠D=30°，点E是BC边的中点，F是射
线BA上一动点，将△BEF沿直线EF折叠，得到△PEF，连接PC，当△PCE为等边三角形时，BF的长为______．
17.一元二次方程(x−3)(x+2)=0的根是______．
18.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：√c2−|a+c|+√(c−a)2+√(b+c)2的结
果是______．
19.若一元二次方程x2−2x−2=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2−x1x2的值是______．
20.15.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，若平行
四边形ABCD的周长为48，AE=5，AF=10，则平行四边形
ABCD的面积是．
三、解答题（本大题共6小题，共40.0分）
21.计算：4√1
2−1
3
√18．
22.解方程：
(1)(2x−1)2=4；
(2)(x+3)2−2(x+3)=0．
23.已知两直角边和为12的Rt△ABC，且∠C=90°．
(1)当Rt△ABC为等腰直角三角形，求斜边的长．
(2)若过锐角顶点的直线把Rt△ABC分成两个等腰三角形，求Rt△ABC的两条直角边长．
(3)设Rt△ABC的斜边长为x，面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
24.2013年黄冈市某中学响应市团委号召，积极开展植树活动，学校团委对此活动进行抽样调查，
得到一组学生植树情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高之比为2：7：6：3：2，已知此次调查中植树4棵和5棵的共25人．
①该校团委一共抽查了______ 人．植树棵数不少于3棵的概率是______ ．
②若该校共700名学生参加此次活动，请估算该校全校学生共植多少棵树？
③若该校2011年植树1000棵，2012、2013年每年植树增长的百分数相同，请求出2012年该
校共植树多少棵？
25.家乐商场销售某种衬衣，每件进价100元，售价160元，平均每天能售出30件为了尽快减少库
存，商场采取了降价措施．调查发现，这种衬衣每降价1元，其销量就增加3件．商场想要使这种衬衣的销售利润平均每天达到3600元，每件衬衣应降价多少元？
26.(1)已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角
形．(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)
(2)已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三
角形，且∠C是所在等腰三角形的底角，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：∵a<0，ab≥0，
∴b≤0，
∴−a+2√ab−b=(√−a+√− b)2，
故选：C．
首先确定b的取值范围，再利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分解因式，关键是正确判定出b的取值范围．
2.答案：B
解析：解：方程(x−3)2=m2，
开方得：x−3=m或x−3=−m，
解得：x1=3+m，x2=3−m，
故选B．
方程利用平方根定义开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程−直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
3.答案：B
解析：解：A.旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
B.旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
C.旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D.旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．4.答案：D
解析：解：A、原式=3√5，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式不能化简，不符合题意；
D、原式=√2×3=√6，符合题意，
故选：D．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.答案：B
解析：解：方程x2+4x−1=0，
变形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即(x+2)2=5，
则m=2，n=5，
故选B
方程常数项移到右边，两边加上4，变形后即可确定出m与n的值．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.答案：B
解析：解：∵x2−6x+c=(x−3)2+c−9≥0，
又因为(x−3)2≥0，所以c−9≥0，所以c≥9．
故选B．
本题可令原二次三项式不小于0，然后对其配方得到(x−3)2+c−9≥0，根据平方项为非负数，可知c−9≥0，由此可得出c满足的条件．
本题考查一元一次不等式在实际生活中的运用．解此类不等式时常常要先对原式进行配方再计算．7.答案：A
解析：本题主要考查了平均数的计算方法，解题的关键是找到这4个数的和．
解：根据题意5个数据的和是405，其中一个数据为85，那么另外4个数据的和=405−85=320，∴另外4个数据的平均数是=320÷4=80．
故选：A．
8.答案：B
解析：设有x人参加聚会，根据题意列方程得，
1
2
x(x−1)=28，
解得x1=8，x2=−7(不合题意，舍去)；
答：有8人参加聚会．
故选：B．
9.答案：A
解析：解：根据旋转的性质可知：∠C=∠A=110°，
在△COD中，∠COD=180°−110°−40°=30°．
旋转角∠AOC=85°，所以∠α=85°−30°=55°．
故选：A．
根据旋转的性质和三角形内角和180度求出∠COD度数，再利用旋转角减去∠COD度数即可．本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．
10.答案：D
解析：解：∵直线l1//l2//l3，DE=2，EG=1，GF=3，
∴AB
BC =ED
EF
=2
1+3
=1
2
，故A错误；
∴AG
GC =DG
GF
=2+1
3
=1，故B错误；
∴CG
AC =GF
DF
=3
1+2+3
=1
2
，故C错误；
∴BC
AC =EF
DF
=1+3
1+2+3
=2
3
，故D正确；
故选：D．
根据平行线分线段成比例判断即可．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
11.答案：180，178，176.8
解析：解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列(164,170，172，176，176，180，180，180，184，186)，
处于中间位置的那两个数为176，180，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是178；
平均数为：(164+170+172+176+176+180+180+180+184+186)÷10=176.8．
故答案为：180，178，176.8．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．再根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
12.答案：180°
解析：解：连接AB和DF，设AD和BF的交点为O，CF和DG的交点为M，如图：
∵∠OBA+∠OAB+∠AOB=180°，∠ODF+∠OFD+∠DOF=180°，∠AOB=∠DOF，
∴∠OBA+∠OAB=∠ODF+∠OFD，
同理∠C+∠G=∠MDF+∠MFD，
在△ABE中，∠OBA+∠EBF+∠E+∠OAB+∠DAE=180°，
即(∠OBA+∠OAB)+∠EBF+∠E+∠DAE=180°，
∴∠OFD+∠ODF+∠EBF+∠E+∠DAE=180°，
∴∠OFC+∠CFD+∠EBF+∠E+∠ADG+∠GDF+∠DAE=180°，
即(∠CFD+∠GDF)+∠OFC+∠EBF+∠E+∠ADG+∠DAE=180°，
∴∠C+∠G+∠OFC+∠EBF+∠E+∠ADG+∠DAE=180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
故答案为：180°．
根据三角形内角和定理求出∠OBA+∠OAB=∠ODF+∠OFD，∠C+∠G=∠MDF+∠MFD，在△ABE中，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理．能灵活运用三角形的内角和定理进行推理是解此题的关键．13.答案：1.3(1−x)+1.3(1−x)2=1.5
解析：解：设九月份到十一月份平均每月下降的百分率为x，根据题意得：1.3(1−x)+1.3(1−x)2= 1.5，
故答案为：1.3(1−x)+1.3(1−x)2=1.5．
下降后的销量=下降前的销量(1−下降率)，则设平均每月销量的下降率是x，则到五月底后的销量是100(1−x)2，据此即可列方程求解．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出下一个月的销量，难度不大．14.答案：(−4,0)或(4,0)或(0,4)
解析：解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB=OC，
∵点A(2,2)，B(−2,2)，O(0,0)
∴点C坐标(−4,0)或(4,0)
②当AB为该平行四边形的对角线时，C(0,4)．
故答案是：(−4,0)或(4,0)或(0,4)．
需要分类讨论：以AB为该平行四边形的边和对角线两种情况．
本题考查了平行四边形的判定和坐标与图形性质．解答本题关键是要注意分两种情况进行求解．
15.答案：≠−1
2；=−1
2
；−6
解析：解：根据一元二次方程的特点可知，当2k+1≠0，即k≠−1
2
时，方程为一元二次方程；
由一元一次方程的特点可知，当2k+1≠0，即k=−1
2
时，方程为一元一次方程．
原方程可化为，1
2
x+3=0，解得：x=−6．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件，即
2k+1≠0，解得k≠−1
2
；
再根据一元二次方程与一元一次方程的一般形式即可求解．
本题主要考查了一元二次方程及一元一次方程的特点，比较简单．
16.答案：3或6
解析：
本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换问题，等边三角形的性质．分两种情况：当P点在EC 的上方和下方时，由等边三角形的性质与直角三角形的性质分别求出BF的值便可．
解：∵E是BC的中点，BC=4√3，
∴BE=2√3，
当点P在EC的上方时，如图1，连接BP，
则EF⊥BP，BE=PE，
∴∠PBE=∠BPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∵△PCE是等边三角形，
∴∠PEC=60°，
∵∠PEC=∠PBE+∠BPE，
∴∠PBE=30°，
∴∠ABC=∠PBC=30°，
∴B、F、A、P在同一直线上，
BE=√3，
∴EF=1
2
∴BF=√BE2−EF2=√12−3=√9=3；
当点P在CE下方P′处时，点F处于F′处，如图2，连接BP′，
则EF′⊥BP′，BE=EP′，
∵△P′CE是等边三角形，
∴∠P′EC=60°，
∵∠P′EC=∠P′BE+∠BP′E，
∴∠P′BE=30°，
∴EQ=1
BE=√3，
2
∴BQ=√BE2−EQ2=√12−3=√9=3，
∵∠ABC=∠D=30°，
∴∠ABP′=60°，
∴∠BF′Q=30°，
∴BF′=2BQ=6，
故答案为：3或6．
17.答案：x=3或x=−2
解析：解：∵(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
∴x=3或x=−2，
故答案为：x=3或x=−2
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18.答案：2a−b−2c
解析：解：根据数轴上点的位置得：c<a<0<b，且|a|<|b|<|c|，
∴a+c<0，c−a<0，b+c<0，
则原式=|c|−|a+c|+|c−a|+|b+c|
=−c+a+c+a−c−b−c
=2a−b−2c．
故答案为：2a−b−2c．
根据数轴上点的位置确定出各自的正负，利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
19.答案：4
解析：解：∵一元二次方程x2−2x−2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−2，
∴x1+x2−x1x2=(x1+x2)−x1x2=2−(−2)=4，
故答案为：4．
由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1⋅x2的值，代入求值即可．
本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+
x2=−b
a ，x1⋅x2=c
a
．
20.答案：80
解析：设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD =BC ，AB =CD ，
∴BC +CD =1/2×48=24，
设BC =x ，则CD =24−x ，
∴AE ×BC =CD ×AF ，
即：5x =10(24−x)，
解得：x =16，
∴平行四边形ABCD 的面积是：16×5=80．
故答案为80．
21.答案：解：4√12−13
√18 =4×√22−13×3√2
=2√2−√2
=√2．
解析：首先化简二次根式进而求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
22.答案：解：(1)开方得：2x −1=±2，
x 1=32，x 2=−12
；
(2)分解因式得：(x +3)(x +3−2)=0，
x +3=0，x +3−2=0，
x 1=−3，x 2=−1．
解析：(1)开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
23.答案：解：(1)∵两直角边和为12，Rt△ABC为等腰直角三角形，∴两直角边长为6，
∴斜边的长为6√2；
(2)如图，∵△BCD是等腰三角形，∠C=90°，
∴BC=CD，
∴BD=√2BC，
∵AD=BD=√2BC，
∴2BC+√2BC=12，
∴BC=6(2−√2)，
∴AC=6√2，
∴Rt△ABC的两条直角边长分别为6√2，12−6√2；
(3)∵两条直角边和为12，
∴设一条直角边为a，则另一条直角边为12−a，
由勾股定理得：a2+(12−a)2=x2，
解得：a=12+x
2，或a=12−x
2
，
当a=12+x
2时，12−a=12−x
2
；当a=12−x
2
时，12−a=12+x
2
；
即两条直角边长为12+x
2和12−x
2
，
∴y=1
2a(12−a)=1
2
×12+x
2
×12−x
2
=−1
8
x2+18；
∵x2=a2+(12−a)2=2a2−24a+144=2(a−6)2+72，
∴当a=6时，x=6√2；
当a=12时，x=12，
∴x的取值范围为6√2<x<12，
∴y关于x的函数表达式为y=−1
8
x2+18(6√2<x<12)．
解析：(1)由等腰直角三角形的性质即可得出答案；
(2)由等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出2BC+√2BC=12，得出BC=6(2−√2)，因此AC=6√2；
(3)设一条直角边为a，则另一条直角边为12−a，由勾股定理得出方程a2+(12−a)2=x2，解得
a=12+x
2，或a=12−x
2
，得出即两条直角边长为12+x
2
和12−x
2
，由三角形面积得出y与x的关系式，再
求出x的取值范围即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、函数关系式等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
24.答案：100；11
20
解析：解：①25÷3+2
2+7+6+3+2
=100(人)，
(6+3+2)÷(2+7+6+3+2)=11
20
．
②2+7+6+3+2=20，
100×2
20
=10(人)，
100×7
20
=35(人)，
100×6
20
=30(人)，
100×3
20
=15(人)，
100×2
20
=10(人)，
(10×1+35×2+30×3+15×4+10×5)÷100
=280÷100
=2.8(棵)
2.8×700=1960(棵)．
故该校全校学生共植1960棵树．
③设每年植树增长的百分数为x，依题意，得
1000(1+x)2=1960
解得：x1=40%，x2=−2.4%(不符合，舍去)
所以，2010年该校植树的棵树为：1000(1+0.4)=1400(棵)．
故答案为：100，11
20
．
(1)根据植树4棵和5棵的共25人及这两组所占的总人数比例可求出总人数；用抽样调查植树棵数不少于3棵的和÷抽样调查总和即可求得概率；
(2)求出这组数据的平均数，再估算；
(3)设每年植树增长的百分数为x，根据2011年植树棵数×(1+x)2=2013年植树棵数，列出方程求得x，从而得到2012年该校共植树多少棵．
本题考查的是一元二次方程增长率的应用，条形统计图的运用，读懂统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25.答案：解：设每件衬衣降价x元，则平均每天能售出(30+3x)件，
依题意，得：(160−100−x)(30+3x)=3600，
整理，得：x2−50x+600=0，
解得：x1=20，x2=30，
∵为了尽快减少库存，
∴x=30．
答：每件衬衣应降价30元．
解析：设每件衬衣降价x元，则平均每天能售出(30+3x)件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.答案：解：(1)如图(共有2种不同的分割法)．
(2)设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D.在△DBC中，
第一种情况：如图1，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y−x．
由AB=AD，得2x=y−x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°−x−y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°−3∠C．
由AD=BD，得180°−x−y=y−x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于等于45°的任意锐
角．
第二种情况，如图2，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°−x>90°，此时只能有AD=BD，∠C<∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
从而∠A=∠ABD=1
2
∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．
∠C或∠ABC=180°−3∠C或∠ABC=3∠C或
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°−3
4
∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角．
解析：(1)已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．(2)在(1)的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
本题考查了等腰三角形的性质；第(1)问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．
第(2)问在第(1)问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．。