高考数学压轴专题最新备战高考《集合与常用逻辑用语》分类汇编及答案解析

【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点
一、选择题
1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2
【答案】C 【解析】
若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.
2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，
002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题； A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C 【解析】 【分析】
对三个命题逐一判断即可. 【详解】
①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x
x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；
③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C . 【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
3．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】
【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
4．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可. 【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x
f x x x =->，则()e 2x
f x '=-， 令()0f x '=，解得ln 2x =，
因为()'
f
x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'
0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,
故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<，
故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
5．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|1}N x y x ==
-，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|1}{|1}N x y x x x ==
-=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
6．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，
内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在内单调递增，则
，即
在(0)+∞，
上恒成立，令,由于
，则
， ，则
，则
，设
的最大值为N ，则必
有
，则
的取值范围是
，所以p 是q 的必要不充分条件．
考点：1．导数与函数的单调性；2．均值不等式；3．估算法；4．充要条件与集合的包含
关系；
7．给出下列说法： ①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；
②“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，001
2x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x
+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断
③的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于命题①，二次函数()()2
4f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=，
该函数为偶函数，则4
02
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；
对于命题②，解方程tan 1x =得()4
x k k Z π
π=+∈，
所以，tan 14
x x π
=⇒=，tan 14
x x π
=
⇐=/，
则“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
8．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；
②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件；
③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；
④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】
若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故
22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；
若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分
条
件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；
若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程
2230x x m +-=无实根，
显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
9．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
10．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的
（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立，
反之当a b ⊥r r
时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r
的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
11．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
12．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是
B 的充要条件．
13．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
14．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
15．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈> ③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据四种命题的关系进行判断． 【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确； ③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确． 因此4个命题均正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
16．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：
①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN
③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45o 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．①②④ C ．③④ D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④. 【详解】
Q 截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,
又MN ⊂Q 平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，
PQ ∴//平面ADC ，
PQ ⊂Q 平面ABC ，平面ABC I 平面ADC AC =
PQ AC ∴//，同理可得PN BD //
由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；
由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ， 得AC //平面PQMN ，则②正确； 由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以
AC AD
MN DN
=， 同理可证
BD AD
PN AN
=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，
则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；
由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角， 由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.
17．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】
由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]
1,3R C A =， 所以()[
)1,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18．已知集合{}
2
60A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可
求解． 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
6023A x x x x x =--≤=-≤≤，
(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
19．对于非零向量，，“”是“//a b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
不一定有
，若
，则一定有//a b .
考点：判断必要性和充分性.
20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1
时，方程根为
，所以选B ．。