高考数学压轴专题专题备战高考《平面解析几何》全集汇编含答案

【高中数学】单元《平面解析几何》知识点归纳
一、选择题
1．如图，12,F F 是双曲线22
1:13
y
C x -
=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A 3
B 3
C 3
D ．23【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,3)C m B m ，
则123323242(3)
pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩3B.
【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．设D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使
得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆
心，半径为 【详解】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴DB DA +=，
∴PA =
∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ． 【点睛】
本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．
4．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( )
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】C 【解析】 【分析】
由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出
A ，
B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】
解：由抛物线的方程 可得焦点3
(2F ，0)，准线方程：32
x =-，
由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，
设直线AB
的方程为：3
2x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立直线与抛物线的方程：2326x my y x
⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，
所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，
因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r
，
即13(2x -，123
)3(2
y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：22
22639y m y -=⎧⎨-=-⎩
即2
13m =， 由抛物线的性质可得： 212331
66668223
AA BB AB x x m ''+==++
+=+=+=g ， 221212121
||()436363636433
y y y y y y m -=+-=+=+=g ，
由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，
所以1211
()||84316322
AA B B S AA BB y y ''''=+-==g
g g ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y
轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且
5
3
OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及
求得C 点的坐标，根据5
3
OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.
【详解】
由于双曲线渐近线为b y x a =±
，不妨设直线AB 的斜率为a
b
-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得2
2
222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭，化简得()()2222
440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故1
2b a =舍去，所以2b a
=，即2b a =.故
22222222
||44||45B C ab
y FB b b a c ac FC y c a b a a b
======++. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
6．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点
M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r
,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为
（ ） A 2 B ．2
C 5
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】
由120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
可得
12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，
可知l 的方程为b
y x a
=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()a
y x c b
=
+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c ab
y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2,a ab N c c ⎛⎫-
⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得22
2124MF MF c +=②，①②联立，可得2
122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =
即2b a =所以2
1 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
故选：C 【点睛】
本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.
7．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22
525:()416
C x y +-=
'于,A B 两点，且5AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线
2x =-的距离为（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
易得圆C '过原点，抛物线2
2y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐
标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】
圆:2
2
525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭'即为22
52x y y +=,可得圆经过原点.
抛物线2
2y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2
2
5
2
m n n +=
联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人2
2y px =，解得2p =，
故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-. 如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，
可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离
11
(|)422
EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.
8．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1
C
． D
【答案】A 【解析】
双曲线22
3mx my -=3的标准方程为22
113
x y m m
-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m
+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．
10．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．6
5
C ．2 D
．5
【答案】A
试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线2
4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()(
)
122min min
12
5
d d MF d +=+=
=
，故选A. 考点：抛物线定义的应用.
11．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =-
C ．2x =-
D ．1x =-
【答案】C 【解析】
由题得双曲线的方程为222213x y a a
-=，所以2222
34,2c a a a c a =+=∴=.
所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.
由题得1221212
,62PF PF PF a PF PF a
⎧+=⎪∴=-⎨
+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得2
2
3830,(33
a
x ax a x x a --=∴=-
=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.
点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.
12．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于
A B ，两点，OAB ∆
，则双曲线的离心率为（ ） A
B
C
．
2
D
【答案】D 【解析】 【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2
b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离
心率公式计算可得所求值．
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得222
1c b
y b a a
=
±-=± OAB V 的面积为212132b c bc a ⋅⋅= 13
b a ⇒=
可得22
1322
1193
c b e a a ==+=+= 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．
13．如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆
22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围
（ ）
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(2,4)
D ．[2,4]
【答案】A 【解析】
由题意知抛物线2
4y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为1,0()A x y ，
2,0()B x y ，则1||1AF x =+．
由()2
22
414
y x
x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y 整理得2230x x +-=，解得1x =， ∵B 在图中圆()2
214x y -+=的实线部分上运动， ∴213x <<．
∴FAB ∆的周长为1212(1)2()3(4,6)AF FB BA x x x x ++=+++-=+∈． 选A ．
点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线
的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．
14．已知平面向量,,a b c r r r
满足()
()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）
A B ．
2
C ．
2
-
D 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()
()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221
202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，
(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+
=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
15．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A
．3- B
．2-C
D
1
【答案】D 【解析】
由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQ
PQ
α=
=
=，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ
与抛物线相切于点P ．设2
04x P x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，可得(21)P ，
±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=
，∴1a =，1c =
，∴1c
e a
==，故选D ．
16．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．y x = C ．y x =± D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=
可得:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
17．已知12F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一
点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ）
A ．y =
B ．y =
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2
2b
PF a
=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲
线的定义可得b
a
的值，则答案可求． 【详解】
解：由题意，2c =
解得c =
，
∵()2,0F c ，设(),P c y ，
∴22221x y a b
-=，解得2b y a =±，
∴2
2b PF a
=，
∵1230PF F ∠=︒，
∴2
1222b PF PF a
==，
由双曲线定义可得：2
122b PF PF a a
-==，
则222a b =，即
b
a
=
∴双曲线的渐近线方程为2
y x =±． 故选：B ．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到
,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.
18．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A 5B 5C 25
D 25
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴
+=，又22e =，2
145
e ∴=， 125
e ∴=
故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，
利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
19．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
2713664
x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．903211,7⎛± ⎝⎭
B ．135322,7⎛ ⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫±
⎪⎝⎭
D ．(45,162±
【答案】B 【解析】 【分析】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，根据双曲线
的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为
()2211522564x y x -=>，与双曲线()2
2
2713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥
由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>
联立()
()
()
22
22
27
121
3664
115
22564
x y
x
x y
x
⎧-
-=<
⎪
⎪
⎨
⎪-=>
⎪⎩
，解得
135322
,
77
P
⎛⎫
±
⎪
⎪
⎝⎭
故选：B
【点睛】
本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.
20．已知直线()0
y kx k
=≠与双曲线()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>交于,A B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF
∆的面积为2
4a，则双曲线的离心率为A．2B．3C．2 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
通过双曲线和圆的对称性，将ABF
∆的面积转化为FBF
∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a与b的关系，从而推导出离心率.
【详解】
由题意可得图像如下图所示：F'为双曲线的左焦点
AB
Q为圆的直径90
AFB
∴∠=o
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF'为矩形
1
2
ABF AFBF FBF
S S S
''
∆∆
∴==
又
2
22
4
tan45
FBF
b
S b a
∆'
===
o
，可得：22
5
c a
=
25
e
∴=5
e
⇒=
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.。