等腰三角形分类讨论综合

等腰三角形分类讨论综合
1.理解等腰三角形的性质和判定定理；
2.能用等腰三角形的判定定理进展相关计算和证明；
3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；
4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；
5.培养学生进展独立思考，提高独立解决问题的能力。

知识结构
【备注】：
1.此局部知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；
2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；
3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的根本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

一．等腰三角形的性质：
二．等腰三角形常见题型分类：
三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：
1.求解相应函数的解析式；
2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；
3.根据点的位置进展等腰三角形的讨论：分“指定腰长〞和“不指定腰长〞两大类；
4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。

【备注】：
1.以下每题教法建议，请教师根据学生实际情况参考；
2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读
题时引导学生发现一些题目中的条件〔相等的量、不变的量、隐藏的量
等等〕，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法〞引导学生逐步解题，并采用讲练结合；
注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题
的分析中来；
4.例题讲解，可以根据“教法指导〞中的问题引导学生分析题目，边讲
边让学生书写，每个问题后面有答案提示；
5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；
6.局部例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；
7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题
在时间足够的情况下讲解。

例1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．〔1〕求DE ︰DF 的值；
（2）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？假如能，请直接写出线段BE 的长；假如不能，请说明理由。

〔★★★★★〕
【参考教法】：
一．你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比拟特殊的条件，试试看： 1.ABC ∆中B C ∠∠、的三角比是否能求解？你求求看。

提示：43cos cos 55
B C ==，； 2.题目中有很多垂直，会得到很多角度角相等的，你找找。

提示：B DAC ∠=∠、BAD C ∠=∠、ADE FDC ∠=∠、BDE ADF ∠=∠。

3.题目中是否有相似三角形？找找看。

提示：AED DFC ∆∆∽、BDE ADF ∆∆∽等。

二．求:DE DF ，选择那些条件可以求解？你求一下吧！ 提示：用AED DFC ∆∆∽，在结合C ∠的三角比可求得。

三．当△EFG 为等腰三角形时：
1.会得出什么特殊条件不？ 提示：两边相等，或者是两角相等；
2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有指定腰，应该需要；
3.如需要分哪几种？提示：根据点G 的不同位置分两大类讨论： ①当点G 在射线AB 上时，如图1。

因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠＞ 所以FEG ∠为钝角，如此△EFG 为等腰三角形时，EG EF =； ②当点G 在射线BA 上时，如图2。

因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠＞ 所以EFG ∠为钝角，如此△EFG 为等腰三角形时，FG EF =； 3.怎么计算，你能自己先求解一下看看吗？
4.通过此题的分析求解过程，你对等腰三角形讨论题型有点思路了没？ 【总分为解答】：〔1〕∵∠BAC = 90°∴∠B +∠C ＝90°，
∵AD 是BC 边上的高 ∴∠DAC +∠C =90° ∴∠B =∠DAC 又∵∠EDF = 90°
∴∠BDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF
例1题图 B C D E F
A
备用图1 B C D 备用图2 B C D A A
∴△BED ∽△AFD ∴
DE BD
DF AD
= ∵3cot 4BD AB B AD AC ===∴DE ︰DF =3
4
（2）假如△EFG 为等腰三角形，根据点G 的不同位置分两大类讨论：
C
B
C
〔图1〕 〔图2〕 ①当点G 在射线AB 上时，如图1。

因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠＞ 所以FEG ∠为钝角，如此△EFG 为等腰三角形时，EG EF = ∵EG EF =，ED DF ⊥ ∴D 为GF 中点
如此，在直角AGF ∆中，2425
GF AD ==， 又∵=G EFG C ∠∠=∠
∴cos =cos G C ∠∠，如此
4
5
DG AG AC EG GF BC === 可求得96,325AG EG == 。

所以：5425
BE = 另解：由△EFG 为等腰三角形可得AED GBD ∆∆≌，所以BD DE =，再过点D 作BE 垂线，
利用三角比可求得54
25
BE =。

②当点G 在射线BA 上时，如图2。

因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠＞ 所以EFG ∠为钝角，如此△EFG 为等腰三角形时，FG EF = ∵FG EF =，AF AE ⊥ ∴A 为EG 中点 ∴=AEG G ∠∠ 又∵=B FED ∠∠
∴=BDE AEF ADF ∠∠=∠ ∴ADF G ∠=∠ ∴125
AE AG AD === 所以：35
BE =。

综上可得，当△EFG 为等腰三角形时，54
25
BE =
或35BE =。

我来试一试！
练习 1.如图1，在△ABC 中，ACB ∠=︒90，2AC BC ==，M 是边AC 的中点，
CH BM ⊥于H 。

〔★★★★★〕
〔1〕试求sin MCH ∠的值； 〔2〕求证：ABM CAH ∠=∠；
〔3〕假如D 是边AB 上的点，且使△AHD 为等腰三角形，请求AD 的长。

【解法点拨】：
1.寻找题目中的特殊条件和不变的量： ①M 是边AC 的中点； ②CH BM ⊥；
③题目中的线段AB BM CH MH AH 、、、、都可求解〔让学生自己计算〕；⑤④⑥ 2.证明角度相等，回顾证明角度相等的方法后，知此题利用相似角简单，但题目中很多线段的长度都求解，因此利用两边成比例证明△AMH ∽△BMA 即可得ABM CAH ∠=∠； 3.当△AHD 为等腰三角形时，分三个情况讨论：
①当AD DH =时：因为边长不能直接求出，如此利用三角比求解，过点D 作DE AH ⊥，因
为
MAH ABM
∠=∠，如此
DAE CBM MCH
∠=∠=∠，所以
cos cos DAE MCH ∠=∠；
②当AD AM =时：可直接得AD 的长；
③当AM DM =时：因为边长不能直接求出，如此利用三角比求解，过点H 作HQ AD ⊥，因
为
MAH ABM
∠=∠，如此
DAE CBM MCH
∠=∠=∠，所以
cos cos DAE MCH ∠=∠。

4.注意利用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；通常情况下用“画底边上的高+三角比求解〞；
5.注意便讲解边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。

【总分为解答】：〔1〕在△MBC 中，∠MCB =︒90，BC =2，
又∵M 是边AC 的中点， ∴AM =MC =
2
1
BC =1， ∴MB =52122=+，
又CH ⊥BM 于H ，如此∠MHC =︒90， ∴∠MCH =∠MBC ，
∴sin ∠MCH =
5
CM BM =
.
〔2〕在△MHC 中，sin MH CM MCH =⋅∠=
∴AM 2=MC 2
=MB MH ⋅，即
MA
MB
MH MA =， 又∵∠AMH =∠BMA ， ∴△AMH ∽△BMA ， ∴∠ABM =∠CAH .
（3）由前两问可得：AH =
cos MCH ∠=。

当△AHD 为等腰三角形时，分
以下三个情况讨论：
①当AD DH =时：如图1，过点D 作DE AH ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，如此DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠；
所以：
AE CH AD CM =，即::155
AD =，所以2AD =；
②当AD AM =时：如图2，可直接得AD =
； ③当AM DM =时：如图3，过点H 作HQ AD ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，如此
DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠
所以：
AQ CH AH CM =，即AQ =，所以2AD AQ ==； 综上可得，当△AHD 为等腰三角形时，AD 的长为
5102、528、2
2。

C
B
B
选讲选练题
例2.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点〔D 不与A 、B 重合〕，且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ， 当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。

〔★★★★★〕
【参考教法】：
一．以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的条件或特殊条件： 1.题目中有哪些量？提示：从边、角归类寻找。

①边：6,5===BC AC AB ，BC DE ∥；
②角:B C ∠=∠；
2.题中有什么特殊的图形没？提示：ABC ∆等腰、正方形DEFG 。

3.你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设AD x =，让学生求解ABC ∆底边上的高，并用含x 的代数式表示DE 的长。

二．当BDG ∆是等腰三角形时：
1.需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论；
2.怎么讨论？提示：当BDG ∆是等腰三角形时，根据点G 的位置分：点G 在ABC ∆内部
图1
图2
图3
和外面两大类讨论：
（1）当点G 在ABC ∆内部时：因为90DGB ∠＞，所以该情况下只可能DG BG =。

但该情况下不能直接求解出，如此画底边上的高〔点G 作GH AB ⊥〕。

〔如图1〕 如此：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠； （2）当点G 在ABC ∆外面时：分以下情况讨论 ①当DB DG =时：直接利用相等计算，即
655
x
x =-； ②当DB DG =时：〔如图2〕设BC 与DG 交点为M ，如此可得：
BM DG ⊥且点M 为DG 中点；所以：cos cos HDG QAB ∠=∠； ③当DG BG =，不成立。

3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。

4.通过此题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？
6.提示学生利用好三角比。

【总分为解答】：过点A 作AQ BC ⊥，垂足为点Q 。

∵6,5===BC AC AB ，如此34BQ AQ ==、，4
cos 5
QAB ∠=； 设AD x =，如此5BD x =-，6
5
DE DG x ==。

当BDG ∆是等腰三角形时，根据点G 的位置，分以下情况讨论：
（3）当点G 在ABC ∆内部时：因为90DGB ∠＞，所以该情况下只可能DG BG =。

但该情况下不能直接求解出，如此画底边上的高〔点G 作GH AB ⊥〕。

〔如图1〕
如此：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠，即54
2655
x
x -=，解得：12573x =；
（4）当点G 在ABC ∆外面时：分以下情况讨论
①当DB DG =时：如此655
x
x =-，解得：2511x =；
②当DB DG =时：〔如图2〕设BC 与DG 交点为M ，如此可得：
BM DG ⊥且点M 为DG 中点，
所以：cos cos HDG QAB ∠=∠，即：34
555
x
x =-，解得：207x =；
③当DG BG =，不成立。

综合上可得：当BDG ∆是等腰三角形时7
20
,1125,73125=
AD 。

Q
H F
G
E
A B
C
D M Q
F
G
E
A
B
C
D
〔图1〕 〔图2〕
【备注】：本局部对前面例题中讲到的解题方法进展归类总结，以引导式总结出，建议时间4分钟左右。

〔该局部需要学生在15分钟内独立完成，之后再评分并讲评〕
图形背景下等腰三角形分类讨论的解题方法和策略：
1.先寻找题目中的条件：相等的角、相等的边、相似的三角形等；
2.根据题目中的条件求解相关线段的长度；
3.等腰三角形讨论中，分三步走：分类、画图、计算；
4.等腰讨论中，当不能直接利用边长相等求解时，一般情况下通过“画底边上的高〞
辅助线，结合三角比计算求解； 5.注意点的位置取舍答案；
6.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；
7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

ABCD 中，DC AB //，PD AD 2=，PB PC 2=，PCD ADP ∠=∠，4==PC PD ，
如图1。

〔此题总分为14分〕〔★★★★★〕 〔1〕求证：BC PD //；
〔2〕假如点Q 在线段PB 上运动，与点P 不重合，联结CQ 并延长交DP 的延长线于点O ， 如图2，设x PQ =，y DO =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域； 〔3〕假如点M 在线段PA 上运动，与点P 不重合，联结CM 交DP 于点N ，当△PNM 是等腰三角形时，求PM 的值．
【解法点拨】：
一．寻找题目中的量或者是比拟特殊的条件： 1.边的关系：
①PD AD 2=，PB PC 2=。

可得到边成比例：
AD PC
PD PB
= ②4==PC PD ,可用来求解某些线段的长度。

③ 2.角的关系：PCD ADP ∠=∠。

3.相似三角形：△ADP ∽△CPB 。

二．DC AB //可由角度相等证明；
三．求解函数关系式，寻找相似根本图形。

方法一：由//PQ DC ,可得：
PQ PO DC OD =,进而42
y x
y -=； 方法二：由BC OD //可得：
QB
PQ
BC PO =，进而x x y -=-244。

三．当△PNM 是等腰三角形时，分三个情况讨论： 1.当PN PM =时：得DC PM //，所以
PN
DN PM DC =，所以DN DC =； MN MP =时，易证：AD MN //，即：四边形AMCD 是平行四边形； NP NM =时不存在。

【总分为解答】：
〔1〕证明：∵DC AB //
A P D C
B 图1 A
P D C B 图2
Q O
∴PCD CPB ∠=∠………………1分
∵PCD ADP ∠=∠
∴CPB ADP ∠=∠………………1分
∵PD AD 2=，PB PC 2= ∴PC
AD PB PD =………………1分 ∴△ADP ∽△CPB ………1分
∴B APD ∠=∠
∴BC PD //…………………1分
〔2〕解： ∵DC AB //，BC PD //
∴四边形PBCD 是平行四边形
∴BC PD =
∵4==PC PD ∴4=BC ……………………1分
∵PB PC 2=
∴2=PB
∵BC OD // ∴QB
PQ BC PO =………………………1分 ∵x PQ =，y DO =
∴4-=y PO ，x QB -=2 ∴
x
x y -=-244……………………1分 ∴x y -=28…………………………1分 定义域是：20<<x ………………1分
〔3〕解：①当PN PM =时，
∵DC PM // ∴PN
DN PM DC =∴DN DC = 由〔2〕知：4=PD ，2=DC
∴2=-==DN PD PN PM ………………2分
②当MN MP =时，
∵△ADP ∽△CPB ，4==BC PC
易得：82===PD AD AP
易证：AD MN //
即：四边形AMCD 是平行四边形
∴2==AM DC
∴6=-=AM AP PM …………………………2分
〔 注：当NP NM =时不存在〕
批注：学生完成测试后，教师批改给出得分，并进展点评总结.建议时间2-3分钟。

【说明】：本局部为“专题小结〞，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语〞组成。

先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。

教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。

A
P D C B M N A P D
C
B
M N
教师：本专题你有哪些收获和感悟？。