数学直线的交点坐标与距离公式-讲义

数学课程讲义
学科：数学
专题：直线的交点坐标与距离公式
考点梳理
一、两直线的平行
（一）由斜率判定
设直线1l 和2l 不重合，斜率都存在, 斜率分别为1k 和2k ，那么：
（二）对于直线的一般式
一般地，对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有 方程组⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A .
二、两直线的垂直
（一）由斜率判定
如果两条直线1l 和2l 都有斜率， 121122
11l l k k k k ⊥⇔=-⇔=- 21αα
y 21l l
O X
（二）对于直线的一般式
对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，有
0212121=+⇔⊥B B A A l l
三、点到直线的距离
点P(x 0,y 0)到直线l :A x +B y +C=0的距离
d =2200|
|B A C By Ax +++.
四、两条平行直线间的距离
两条平行线A x +B y +C 1=0与A x +B y +C 2=0的距离公式为
d =2221|
|B A C C +-.
金题精讲
题一
题面：求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程(
) A. 420x y --= B. 2x =
C. 420x y --=，或1x =
D. 420x y --=，或2x =
题二
题面：过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是.
题三
题面：已知点P（2，－1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.
题四
题面：直线l与直线x－3y＋10＝0，2x＋y－8＝0分别交于点Ｍ，Ｎ，若ＭＮ的中点是（0，1），则直线l的方程是（）
Ａ．x＋4y－4＝0Ｂ．4x＋y－4＝0 Ｃ．x－4y＋4＝0Ｄ．x－4y－4＝0
题五
题面：若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是
①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
课后练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：原点到直线052=-+y x 的距离为( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 5
题二 题面：两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为( ) A. 4
B. 21313
C. 51326
D. 71020
题三
题面：已知点P(a,b)与Q(b-1,a+１)(a≠b -1)关于直线l 对称,则直线l 的方程是( )
A. x ＋y ＝0
B. x －y ＝0
C. x ＋y －１＝0
D. x －y ＋１＝0
题四
题面：已知直线l 与直线x ＋y －１＝0关于x 轴对称,那么直线l 的方程是_______.
讲义参考答案
金题精讲
题一
答案：C
题二
答案：4x-3y+9＝0
题三
答案：（1）x =2或3x －4y －10=0.
（2）直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5.
（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.
题四
答案：A
题五
答案：①⑤
课后练习
题一
答案：D 详解：52152=+-=
d .
题二
答案：D
详解：把330x y +-=变化为6260x y +-=,则20d =
= 题三
答案：D
详解：因为直线PQ 的斜率为
a b b a ---+11＝－１,故直线l 的斜率为１,线段PQ 的中点坐标为(2
1,21++-+a b b a ),由直线的点斜式方程得直线l 的方程为x －y ＋1＝0. 题四
答案：x －y ＝１
详解：直线x ＋y －１＝0关于x 轴的交点为(1, 0),其上一点(0,1)关于x 轴的对称点是(0,-1),由截距式得的直线l 的方程为x －y ＝１.。