高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算教学案 理 北师大版-北师大版高

第1讲平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运
算
定义法则(或几何意义) 运算律
加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量
－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
某某数λ与向量a的
积的运算|λa|＝|λ||a|，当
λ>0时，λa与a的
方向相同；
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋
μ_a；
当λ<0时，λa 与 a 的方向相反； 当λ＝0时，λ a ＝0
λ(a ＋b )＝λa ＋λb
3.向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．
(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数，使得b ＝λa . 常用结论 1．几个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a |和－a
|a |.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →
.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OP →＝12
(OA →＋OB →
)．
(3)若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →
＝0⇔P 为△ABC 的重心．
(4)在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：
①GA →＋GB →＋GC →
＝0； ②AG →＝13
(AB →＋AC →
)；
③GD →＝12(GB →＋GC →)，GD →＝16
(AB →＋AC →
)．
(5)若OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 二、教材衍化
1．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________(用a ，b 表示)．
解析：
如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b . 答案：b －a －a －b
2．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|，则四边形ABCD 的形状为________． 解析：
如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →
|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．
答案：矩形
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)零向量与任意向量平行．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )
(4)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) (6)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →
)．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量线性运算不熟致错； (3)向量三角不等式认识不清致错．
1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，
λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．
解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →
)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23.
答案：－162
3
3．已知向量a ，b ，若|a |＝2，|b |＝4，则|a －b |的取值X 围为________．
解析：当a 与b 方向相同时，|a －b |＝2，当a 与b 方向相反时，|a －b |＝6，当a 与b 不共线时，2<|a －b |<6，所以|a －b |的取值X 围为[2，6]．此题易忽视a 与b 方向相同和a 与b 方向相反两种情况．
答案：[2，6]
[学生用书P82]
平面向量的有关概念(自主练透)
1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则
a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向
时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
解析：选C.因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a
|a |
＝
b
|b |
，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D. 当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故“a ＝2b ”是“a |a |＝b
|b |”成立的充分条件．
3．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →
，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；
⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________．
解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．
④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．
答案：③
辨析向量有关概念的五个关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
平面向量的线性运算(多维探究) 角度一 向量的线性运算
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
则EB →
＝( )
A.34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →
C.34AB →＋14
AC → D ．14AB →＋34
AC → (2)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →
，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与
CD 交于点F ，则( )
A.AF →＝13AC →＋23BD →
B ．AF →＝23A
C →＋13B
D →
C.AF →＝14AC →＋23BD →
D ．AF →＝23AC →＋14
BD →
【解析】 (1)
法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →
，故
选A.
法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →
)＝34AB →－14AC →，故选A.
(2)
在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →
，所以四边形ABCD 为平行四边形．由已知得
DE →
＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →
)＝23×BD →－AC →
2
＝
BD →－AC →3，所以AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋BD →－AC →3＝23AC →＋13
BD →
，故选B. 【答案】 (1)A (2)B
角度二 根据向量线性运算求参数
(一题多解)如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14
AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →
，
则2r ＋3s ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 法一：由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →
＋
DC →
)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →
)＝12AB →＋23
AD →.
因为AE →＝rAB →＋sAD →
，所以r ＝12，s ＝23
，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.
法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →
)
＝12AB →＋23
AD →
，以下同法一．
法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →
得DC ∥AB ，且AB ＝4DC .
又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43
AD →.
于是，AE →＝12(AB →＋AP →
)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋43AD →＝12AB →＋23
AD →.以下同法一．
法四：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0.
由AE →＝rAB →＋sAD →
，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，
2h ＝3hs ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12，s ＝23，
所以2r ＋3s ＝1＋2＝3. 【答案】 C
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
1.(2020·某某模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以
A ，
B ，
C ，
D ，
E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT ＝5－1
2
.则下列关系中正确的是( )
A.BP →－TS →
＝5＋12RS →
B ．CQ →＋TP →
＝5＋12TS →
C.ES →－AP →
＝5－12
BQ →
D ．AT →＋BQ →
＝5－12
CR →
解析：选A.由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－1
2＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP
→
＝PA →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C 错误；AT
→
＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →
＝0，不合题意，所以D
错误．故选A.
2．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值X 围是________．
解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →
. 因为BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．
所以y ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，
所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0
平面向量共线定理的应用(典例迁移)
设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →
，
所以AB →，BD →
共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，
所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，
即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2
－1＝0. 所以k ＝±1.
【迁移探究1】 (变条件)若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →
＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？
解：BC →＋CD →
＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ， 即BD →
＝4a ＋(m －3)b . 若A ，B ，D 三点共线， 则存在实数λ，使BD →＝λAB →
， 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，
解得m ＝7.
故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．
【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线， 所以存在实数λ，
使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.
又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →
，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
1．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，1
3(a ＋b )的终点在
同一条直线上，则实数t ＝________．
解析：因为a ，t b ，1
3(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，
所以a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －1
3
b 共线，
所以存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝2
3λ，t ＝1
3λ，解得λ＝32，t ＝12.
答案：1
2
2．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中AE →＝25AB →，AF →＝12
AD →，AK →＝λAC →
，则λ＝________．
解析：因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →
，
所以AB →＝52
AE →，AD →＝2AF →
.
由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →
，
所以AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →
＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可
得λ＝2
9
.
答案：29
[学生用书P84]
共线定理的推广与应用
[共线定理] 已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →
，则A ，B ，C
三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.
[推广形式] 如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →
(x ，y ∈R )．
当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →
.
又PC →＝xPA →＋yPB →
(x ，y ∈R )， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．
因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →
， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立． (应用实例)
如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF
→
(α，β∈R )，则α＋β的取值X 围是________．
【解析】 当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．
【答案】 [3，4]
如图所示，A ，B ，C
是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →
，
则m ＋n 的取值X 围是________．
【解析】 由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →
＝
λOA →＋(1－λ)OB →.因为C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，所以OC →
＝－
λμ
OA →
－1－λμ·OB →(λ＞1，μ＞1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →
，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ
，则m ＋n ＝－
λμ
－1－λμ＝－1μ
∈(－1，0)．
【答案】 (－1，0)
如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3
，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋
3y 的取值X 围是________．
【解析】 OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB ′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB ′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条
线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值X 围是[1，3]．
【答案】 [1，3]
[基础题组练]
1.
如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →
等于( )
A.13OA →－43OB →
B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB →
D ．－13OA →－43
OB →
解析：选C.OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →
)＝－13OA →＋43
OB →.故选C.
2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →
＝λAB →＋μBC →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )
A ．1
B ．12 C.1
3
D ．23
解析：选D.由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →
，
所以2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.
故λ＋μ＝12＋16＝2
3
.
3．(2020·某某华附、省实、广雅、深中联考)设a ，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使
a |a |＝b
|b |
成立的充要条件是( ) A ．a ∥b B ．θ＝0 C ．θ＝π
2
D ．θ＝π
解析：选B.a |a |＝b
|b |
等价于非零向量a 与b 同向共线，即θ＝0，故选B.
4．(2020·某某一模)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →
＝0，则( )
A.OA →＝12AB →＋3AC →
B ．OA →＝12AB →－3A
C →
C.OA →＝－12AB →＋3AC → D ．OA →＝－12AB →－3AC →
解析：选A.对于A ，OA →＝12AB →＋3AC →＝12(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)＝12OB →＋3OC →－15OA →
，整理，可得16OA →－12OB →－3OC →
＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
5.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →
，则λμ
的值为( )
A ．－3
B ．3
C ．2
D ．－2
解析：选B.因为AP →＝AB →＋BP →
， BP →
＝13BD →＝13(AD →－AB →
)＝13AD →－13AB →＝13×23AC →－13AB →
＝29AC →
－13
AB →，
所以AP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫29AC →－13AB →＝23AB →＋29AC →.
又AP →＝λAB →＋μAC →
，所以λ＝23，μ＝29
，
所以λμ＝23×9
2
＝3.故选B.
6．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →
|＝________．
解析：因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →
＋AC →
|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →
|＝2 3.
答案：2 3
7．已知O 为△ABC 内一点，且2AO →＝OB →＋OC →，AD →＝tAC →
，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．
解析：设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →
. 因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，
则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14t AD →.
由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝1
3
.
答案：13
8．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB
→
(λ∈R )，则AD 的长为________．
解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝3
4
，如图，过点D 分别作AC ，
AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →
＝14AC →，AM →＝34
AB →，因为△ABC 中，∠A ＝60°，∠A
的平分线交BC 于点D ，所以四边形AMDN 是菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.
答案：3 3
9.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →
＝a ，AC →
＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →
.
解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋1
2b ；
AG →
＝AB →＋BG →＝AB →
＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →
)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝1
3a ＋1
3
b .
10．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →
，m ，n
∈R ，求1n ＋1
m
的值．
解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝1
3(a ＋b )，
PQ →＝OQ →－OP →
＝n b －m a ，
PG →
＝OG →－OP →＝1
3
(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
－m a ＋13
b .
由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →
，
即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋1
3
λb ，
则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝1
3
λ，消去λ，得1n ＋1
m ＝3.
[综合题组练]
1．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )
A ．1
B ．－12
C ．1或－12
D ．－1或－1
2
解析：选B.由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋
(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝k ，
2λk －k ＝1，整
理得2λ2
－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12
.
2.(一题多解)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝1
2DC ，过点D 的直线分
别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →
，则( )
A ．m ＋n 是定值，定值为2
B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1
n 是定值，定值为2
D.2m ＋1
n
是定值，定值为3
解析：选D.法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →
可得AC AN ＝1n
，所
以AE EM ＝AC ＝
1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM
AB
＝
n n ＋
n －12
＝2n 3n －1
，因为AM →＝mAB →
，所以m ＝
2n
3n －1
， 整理可得2m ＋1
n
＝3.
法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →
.
又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λm AB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－
12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →
.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n
＝3，故选D. 3．(2020·某某模拟)在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ＝________．
解析：如图，因为点D 在边BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD →＝tBC →＝t (AC →－AB →
)．因为M 是线段AD 的中点，所以BM →＝12(BA →＋BD →)＝12(－AB →＋tAC →－tAB →)＝－12(t ＋1)·AB →＋12
tAC →
.
又BM →＝λAB →＋μAC →
，所以λ＝－12(t ＋1)，μ＝12t ，
所以λ＋μ＝－1
2.
答案：－1
2
.
4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →
|＝2，则△ABC 的面积为________．
解析：因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →
)．
由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →
反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →
为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的另一条对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝1
2
×2×23＝2 3.
答案：2 3
5．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，求x y
的值．
解：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，
a ＝2e 1＋e 2，
b ＝－2e 1－2e 2，由
c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x
－y )e 1
＋λ(x －2y )e 2
，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3
λ，y ＝52λ
，所以x y 的值为6
5.
6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA →＋(1－m )OB → ＝OB →＋m (OA →－OB →
)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →
共线． 又因为BP →与BA →
有公共点B ， 所以A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP →＝λBA →
， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →
)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.
故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →
＝0. 因为O ，A ，B 不共线， 所以OA →，OB →
不共线，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.。