2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)文

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2014广东,文1)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N=().
A.{0,2}
B.{2,3}
C.{3,4}
D.{3,5}
答案:B
解析:由题意知M∩N={2,3},故选B.
2.(2014广东,文2)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=().
A.-3-4i
B.-3+4i
C.3-4i
D.3+4i
答案:D
解析:由题意知z=25
3-4i =25(3+4i)
(3-4i)(3+4i)
=3+4i,故选D.
3.(2014广东,文3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=().
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(2,0)
D.(4,3)
答案:B
解析:由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.
4.(2014广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤8,
0≤x≤4,
0≤y≤3,
则z=2x+y的最大值等于().
A.7
B.8
C.10
D.11
答案:C
解析:画出x,y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示,作直线l:y=-2x,平移直线l,经过可行域上的点A(4,2)时,z取最大值,即z max=2×4+2=10,故选C.
5.(2014广东,文5)下列函数为奇函数的是().
A.2x-1
2x
B.x3sin x
C.2cos x+1
D.x2+2x
答案:A
解析:对于A选项,函数的定义域为R.令f(x)=2x-1
2x ,f(-x)=2-x-1
2-x
=1
2x
-2x=-f(x),故A正确;对于B选项,函数的定义域为R,
令g(x)=x3sin x,g(-x)=(-x)3sin(-x)=x3sin x=g(x),该函数为偶函数;对于C选项,函数定义域为R,令h(x)=2cos x+1,h(-
x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=h(x),h(x)为偶函数;对于D选项,令m(x)=x2+2x,由m(1)=3,m(-1)=3
2
,m(1)≠m(-1),m(1)≠-m(-1),知该函数为非奇非偶函数,故选A.
6.(2014广东,文6)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为().
A.50
B.40
C.25
D.20
答案:C
解析:由题意知分段间隔为1000
40
=25,故选C.
7.(2014广东,文7)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的().
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
答案:A
解析:由正弦定理a
sinA =b
sinB
=2R(R为三角形外接圆半径)得,a=2R sin A,b=2R sin B,故a≤b⇔2R sin A≤2R sin B⇔sin
A≤sin B,故选A.
8.(2014广东,文8)若实数k满足0<k<5,则曲线x 2
16−y2
5-k
=1与曲线x
2
16-k
−y2
5
=1的().
A.实半轴长相等
B.虚半轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
答案:D
解析:∵0<k<5,∴5-k>0,16-k>0,
∴对于双曲线x 2
16−y2
5-k
=1,实轴长为8,虚轴长为2√5-k,焦距为2√16+5-k=2√21-k;对于双曲线x
2
16-k
−y2
5
=1,实轴长
为2√16-k,虚轴长为2√5,焦距为2√16-k+5=2√21-k,因此两双曲线的焦距相等,故选D.
9.(2014广东,文9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是().
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案:D
解析:如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1∥l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1⊥l4,故B错误,则C也错误,故选D.
10.(2014广东,文10)对任意复数ω1,ω2,定义ω1 ω2=ω1ω2,其中ω2是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:
①(z1+z2) z3=(z1 z3)+(z2 z3);
②z1 (z2+z3)=(z1 z2)+(z1 z3);
③(z1 z2) z3=z1 (z2 z3);
④z1 z2=z2 z1.
则真命题的个数是().
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:由定义知(z1+z2) z3=(z1+z2)·z3=z1z3+z2z3=(z1 z3)+(z2 z3),故①正确;对于②,z1 (z2+z3)=z1·z2+z3=z1(z2+ z3)=z1z2+z1z3=z1 z2+z1 z3,故②正确;对于③,左边=(z1·z2) z3=z1z2z3,右边=z1 (z2z3)=z z z=z1z2z3,左边≠右边,故
③错误;对于④,取z1=1+i,z2=2+i,左边=z1z2=(1+i)(2-i)=3+i;右边=z2z1=(2+i)(1-i)=3-i,左边≠右边,故④错误,故选B.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.(2014广东,文11)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.
答案:5x+y+2=0
解析:∵y'=-5e x,∴所求曲线的切线斜率k=y'|x=0=-5e0=-5,∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
12.(2014广东,文12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.
答案:2
5
解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=4
10=2
5
.
13.(2014广东,文13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.
答案:5
解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4=a32=4.
∵a n>0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,
∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5
=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(2014广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标
为.
答案:(1,2)
解析:曲线C1的普通方程为y=2x2,曲线C2的普通方程为x=1,联立{
x=1,
y=2x2,解得{
x=1,
y=2.因此交点的直角坐标为(1,2).
15.(2014广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则△CDF的周长
△AEF的周长
=.
答案:3
解析:∵EB=2AE,∴AB=3AE.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴△CDF∽△AEF,
∴△CDF的周长△AEF的周长=CD
AE
=AB
AE
=3.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)(2014广东,文16)已知函数f(x)=A sin(x+π
3),x∈R,且f(5π
12
)=3√2
2
.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π
2),求f(π
6
-θ).
解:(1)∵f(x)=A sin(x+π
3),且f(5π
12
)=3√2
2
,
∴f(5π
12)=A sin(5π
12
+π
3
)=A sin3π
4
=A·√2
2
=3√2
2
,
∴A=3.
(2)∵f(x)=3sin(x+π
3
),且f(θ)-f(-θ)=√3,
∴f(θ)-f(-θ)=3sin(θ+π
3)-3sin(-θ+π
3
)
=3[(sinθcosπ
3+cosθsinπ
3
)-(sinπ
3
cosθ-
cos π
3sinθ)]
=3·2sinθcosπ
3
=3sinθ=√3,
∴sinθ=√3
3,且θ∈(0,π
2
),
∴cosθ=√1-sin2θ=√6
3
.
∴f(π
6-θ)=3sin(π
6
-θ+π
3
)
=3sin(π
2
-θ)=3cosθ=√6.
17.(本小题满分13分)(2014广东,文17)某车间:
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.
解:(1)由图可知,众数为30.极差为:40-19=21.
(2)
(3)根据表格可得:
x=19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40
20
=30,
∴s2=1
20
[(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2+(41-30)2]
=13.65.
18.(本小题满分13分)(2014广东,文18)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠;折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
图1
图2
(1)证明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱锥M-CDE的体积.
(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,且PD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥面ABCD,交线为CD.
又∵四边形ABCD为矩形,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD, ∴MD⊥平面PCD.
又由于CF⊂平面PCD,
∴MD⊥CF.
∵MF⊥CF,且MD∩MF=M,
∴CF⊥平面MDF.
(2)解:∵MD⊥平面PCD,
∴V M-CDE=1
3
·S△CDE·MD.
∵CF⊥平面MDF,DF⊂平面MDF,
∴CF⊥DF.
∵在Rt△PCD中,CD=1,PC=2,
∴∠PCD=60°,且CD=1,
∴CF=1
2,故PF=2-1
2
=3
2
.
∴MF=3
2
.
又∵CF⊥MF,故利用勾股定理得:CM=√10
2
,
∴在Rt△MDC中,CM=√10
2,CD=1,得DM=√6
2
.
又∵F点位于CP的四等分点,且PD=√3, ∴E为PD的四等分点,故DE=√3
4
,
∴S△CDE=1
2CD·DE=1
2
×1×√3
4
=√3
8
,
∴V M-CDE=1
3S△CDE·DM=√2
16
.
19.(本小题满分14分)(2014广东,文19)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且S n满足S n2-(n2+n-3)·S n-3(n2+n)=0,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{a n}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有1
a1(a1+1)+1
a2(a2+1)
+…+1
a n(a n+1)
<1
3
.
(1)解:由S n2-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*,
令n=1,得S12-(-1)S1-6=0,
即a12+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.
由于数列{a n}为正数数列,所以a1=2.
(2)解:由S n2-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*,
因式分解得(S n+3)(S n-n2-n)=0.
由数列{a n}为正数数列可得S n-n2-n=0,
即S n=n2+n.
当n≥2时,
a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,
由a1=2可得,∀n∈N*,a n=2n.
(3)证明:由(2)可知1
a n(a n+1)=1
2n(2n+1)
,
∀n∈N*,1
a n(a n+1)=1
2n(2n+1)
<1
(2n-1)(2n+1)
=1
2
(1
2n-1
-1
2n+1
).
当n=1时,显然有1
a1(a1+1)=1
6
<1
3
;
当n≥2时,1
a1(a1+1)+1
a2(a2+1)
+…+1
a n(a n+1)
<1 2·(2+1)+1
2
(1
3
-1
5
+1
5
-1
7
+…+1
2n-1
-
1 2n+1)=1
3
−1
2
·1
2n+1
<1
3
,
所以,对一切正整数n,有1
a1(a1+1)
+1
a2(a2+1)
+…+1
a n(a n+1)
<1
3
.
20.(本小题满分14分)(2014广东,文20)已知椭圆C :x 2a 2
+
y 2b
2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0),离心率为
√5
3
.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若动点P (x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 解:(1)由c=√5,e=c a =
√5
3得:a=3,b=2.
椭圆方程为:
x 2
9
+y 2
4
=1. (2)设两个切点分别为A ,B.
①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A ,B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P 点坐标为(±3,±2). ②当两条切线斜率均存在时,
设椭圆切线斜率为k ,过点P 的椭圆的切线方程为y-y 0=k (x-x 0),
联立{y -y 0=k (x -x 0),x 29
+y 24
=1,
得
(9k 2
+4)x 2
+(18ky 0-18k 2x 0)x+9k 2x 02-18kx 0y 0+9y 02
-36=0,
Δ=0⇒9k 2+4=(kx 0-y 0)2⇒(x 02-9)k 2-2x 0y 0k+y 02
-4=0, 设PA ,PB 斜率分别为k 1,k 2,则k 1·k 2=y 02-4x 02-9
,
又PA ,PB 互相垂直,∴k 1·k 2=
y 02-4x 02-9
=-1, 化简得x 02+y 02
=13(x 0≠±3). 又∵P (±3,±2)在x 02+y 02=13上, ∴点P 在圆x 2+y 2=13上.
∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.
21.(本小题满分14分)(2014广东,文21)已知函数f (x )=13
x 3+x 2+ax+1(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间;
(2)当a<0时,试讨论是否存在x 0∈(0,12
)∪(12
,1),使得f (x 0)=f (12
). 解:(1)由f (x )=13
x 3+x 2+ax+1,求导得f'(x )=x 2+2x+a.
令f'(x )=0,即x 2+2x+a=0,Δ=4-4a.
①当Δ≤0,即a ≥1时,f'(x )≥0恒成立,f (x )在R 上单调递增;
②当Δ>0,即a<1时,方程x 2+2x+a=0的两根分别为: x 1=-1+√1-a ,x 2=-1-√1-a ,
当x ∈(-∞,-1-√1-a )时,f'(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(-1-√1-a ,-1+√1-a )时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(-1+√1-a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. (2)当a<0时,由(1),令x 1=-1+√1-a =1,解得a=-3. ①当a<-3时,1<-1+√1-a ,由(1)的讨论可知f (x )在(0,1)上单调递减,此时不存在x 0∈(0,12)∪(12,1),使得f (x 0)=f (12
).
②当-3<a<0时,1>-1+√1-a ,f (x )在(0,-1+√1-a )上递减, 在(-1+√1-a ,1)上递增, f (1)-f (12
)=12
a+2524
,
依题意,若f (x )存在x 0∈(0,12
)∪(12
,1), 使得f (x 0)=f (12
),
只需f (1)-f (12
)=12a+2524
>0, 解得
a>-2512,于是有-25
12
<a<0即为所求.。