江苏省扬州中学2015-2016学年第一学期期中考试高一数学试卷

XX 省XX 中学2015-2016学年第一学期期中考试
高一数学试卷
2015．11
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．若{
}
2
24,x x x ∈++，则x =▲
2．函数2log (3)y x =-的定义域为▲ 3．已知12
4
9a =
(a >0) ，则23
log a =▲ 4．二次函数y =3x 2+2(m －1)x +n 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，则实数m =▲
5．在平面直角坐标系xOy 中，将函数1x y e +=的图像沿着x 轴的正方向平移1个单位长度，再作关于y 轴的对称变换，得到函数f (x )的图像，则函数f (x )的解析式为f (x )=▲ 6．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是▲（用a ,b ,c 表示）
7．已知函数()()3,10,
5,10.n n f n f f n n -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩
则()8f =▲
8．已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，3()1f x x x =++，则当0x <时，()f x 的解析式为f (x )=▲
9．若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n =▲
10．化简：1
02
2292(lg8lg125)316-
-⎛⎫⎛⎫+⨯++
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
=▲
11．由等式3232123123(1)(1)(1)x x x x x x λλλμμμ+++=++++++定义 映射123123:(,,)(,,)f λλλμμμ=，则=)3,2,1(f ▲
12．若关于x 的方程0122
=++x mx 至少有一个负根，则实数m 的取值X 围是▲
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线与函数3x y =的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数9x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是▲
14．已知函数()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，().113--=x x f 若对任意实数x ， 都有()()f x t f x +<成立，则实数t 的取值X 围▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题14分）
设,{|13},{|24},{|1}U R A x x B x x C x a x a ==≤≤=<<=≤≤+，a 为实数， (1)分别求,()U A B A C B ；
(2)若B C C =，求a 的取值X 围．
16．（本题14分）已知函数(
)
1
2
()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．
(1)求m 的值；
(2)求函数()()12()g x h x h x =+-在10,2
x ∈⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
的值域．
（第13题）
17．（本题14分）已知函数f (x )＝2ax ＋1
x （a ∈R ）．
（1）当1
2
a =
时，试判断f (x )在]1,0(上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的(0,1]x ∈，使得f (x )≥6恒成立，XX 数a 的取值X 围．
18．（本题16分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且图象的最高点为(4,4)A ；观光带的后一部分为线段BC ． （1）求函数为曲线段OABC 的函数(),[0,10]y f x x =∈的解析式；
（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？
19．（本题16分）已知函数)1,0(1
1log )(≠>--=a a x mx
x f a 是奇函数． （1）XX 数m 的值；
（2）是否存在实数a p ,，当)2,(-∈a p x 时，函数()f x 的值域是(1,)+∞．若存在，求
出实数a p ,；若不存在，说明理由；
（3）令函数2()()6(1)5f x g x ax x a =-+--，当]5,4[∈x 时，求函数()g x 的最大值．
20．（本题16分）已知函数()c bx x x f ++=22为偶函数，关于x 的二次方程
()()2
1+=x a x f 的解构成集合{}
1， （1）求,a c b ,的值； （2）若[]2,2-∈x ，求证：()12
1
5+-≤
x x f ；
（3）设()g x =
若存在实数[]2,0,21∈x x 使得()()m x g x g ≥-21，
XX 数m 的取值X 围．
高一期中数学试卷答案 2015.11
一、填空题
1．12．(3,)+∞3．44．-25．x
e -
6．c a b <<7．7 8．3
1x x --+9．210．133 11．(2,3,1)-12. ]1,(-∞13．372
2123389;103sin(2);111293352
132,2)y x π=-、； 、-、、； 、；
、-15; 14、
(log 14．442
(,)(,)333
-∞--- 二、解答题
15. (1) A ∩B={x |2<x ≤3}，…………………………………………3分
U B={x |x ≤2
或x ≥4}…………………………………………5分
A ∪(U B)= {x |x ≤3
或x ≥4}…………………………………………8分
(2)∵B ∩C=C ∴C ⊆B …………………………………………10分 ∴2<a <a +1<4∴2<a <3…………………………………………14分
16.解 (1)∵函数(
)
1
2
()51m h x m m x
+=-+为幂函数
∴2
511m m -+= 解得05m =或…………………………………3分 又 ∵奇函数∴0m =…………………………………6分 (2)由（1）可知 ()12g x x x =-10,2
x ∈⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
12x -t ，则[0,1]t ∈…………………………………9分
211()22g t t t ⇒=-++ 得值域为1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
…………………………………14分
17. 解：（1）∵12a =
∴1
()f x x x
=+ ()f x 在]1,0(上的单调递减 …………………………………2分
证明：取任意的21,x x ，且1021≤<<x x
(*)
)
1()
(11)()(2
121212
11221221121x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=--+
=-
∵1021≤<<x x ∴021<-x x ，1021<<x x 得 (*)式大于0 ，即0)()(21>-x f x f
所以()f x 在]1,0(上的单调递减 …………………………………8分 （2）由f (x )≥6在]1,0(上恒成立，得2ax ＋1
x ≥6 恒成立
即2
)1()1(62x
x a -≥),1[)1(+∞∈x
9))1
()1(6(max 2=-⇒x
x
2
9
92≥≥⇒a a 即…………………………………14分
注：本题若含参二次函数讨论求解，自行酌情给分。

18. 解：（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为(4,4)A
0164442c a b c b a ⎧
⎪=⎪
++=⎨⎪⎪-=⎩ ，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
（也可以设成顶点式） 所以，当[0,6]x ∈时，2
124
y x x =-
+……………………………3分 因为后一部分为线段BC ，(6,3),(10,0)B C ，当[6,10]x ∈时，315
42
y x =-
+……6分 综上，2
12,[0,6]4
()315,(6,10]42
x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩……………………………8分
（2）设(02)OM t t =<≤，则2211
2,244
MQ t t PN t t =-+=-+ 由213152442PN t t x =-+=-+， 得218
1033x t t =-+，
所以点218
(10,0)33
N t t -+……………………………11分
所以，绿化带的总长度PN QP MQ y ++=
103
1
61)1031131()241(2222++-=+-++-=t t t t t t ……13分
当1=t 时，6
61
max =y
所以，当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长 ……………………………16分
19.解：（1）∵函数)1,0(1
1log )(≠>--=a a x mx
x f a
是奇函数. ∴10)()(±==+-m x f x f 解得
又 1=m 时，表达式无意义，所以1-=m ……………………………2分 （2）由题设知： 函数f (x )的定义域为)1,(),1(--∞+∞ ，
①当12-≤-<a p 时，有10<<a . 此时f (x )为增函数，
其值域为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-++∞1
211
1log
),1(a n n
知(与题设矛盾，无解)；……………………5分 ②当21-≤≤a p 时，有a >3. 此时f (x )为减函数，
其值域为），（∞+1知⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==--=.
1,32131
log 1p a a a p a 得…………………8分
符合题意
综上①②：存在这样的实数a p ,满足条件，32,1+==a p …………………9分 （3）∵2
()
()6(1)5f x g x ax x a
=-+--，1
1log )(-+=x x
x f a
∴16)(2
++-=x ax x g ]5,4[∈x 且1,0≠>a a
①当
1,4
3
43≠≥⇒≤a a a 时，函数)(x g 在]5,4[上单调递减 所以2516)4()(max +-==a g x g …………………11分 ②当
5
3
053≤<⇒≥a a 时，函数)(x g 在]5,4[上单调递增 所以3125)5()(max +-==a g x g …………………13分
③当
5343<<a 时，函数)(x g 在]3,4[a 上单调递增，在]5,3
[a
上单调递减 所以19
)3()(max +==a
a g x g …………………15分
综上①②③，⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
≤
<+-<<+≠≥+-=5
3
031254
3
53191
,43
2516)(max
a a a a a a a x g …………………16分
20.解：（1）由f (x )为偶函数可知，b =0
方程2
)1()(+=x a x f 即02)1(2
=-++-c a ax x a
所以⎩⎨⎧=---=-++-0))(1(4402)1(2c a a a c a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧
==
1
21c a
所以1,0,2
1
===
c b a …………………3分 （2）证明：由（1）得 1)(2
+=x x f ，当[]2,2-∈x 时，
0)2|(|||21
5||)15(215)1||215(
)1(222≤--=---=+--+x x x x x x 所以
()12
1
5+-≤
x x f 对任意的[]2,2-∈x 恒成立 …………………6分
（3）由题意知，max 21|)()(|x g x g m -≤，即min max )()(x g x g m -≤………8分 由（2）知，当[]2,0∈x 时，
151)2(2
1
51215)(+=+--++-≤
x x x g 所以当20或=x 时，)(x g 有最大值15+…………………11分 考虑0)1(2
1
2121)1(21)1(2222
≥-=+-=+-
+x x x x x 所以
)1(2
2
)(+≥
x x f 则22)12(2
2)1(22)(=+-++≥
x x x g …………………14分 故2215-+≤m …………………16分。