江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)

第七章 矢量与空间解析几何
本章主要知识点
● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程
● 主要的几个立体图形及方法
一、矢量运算
着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。

1．矢量的内积
（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b
的夹角
（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，
332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)
例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。

解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。

例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-
，且b a ⊥，求λ。

解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：2
5
λ=-。

2．矢量的叉积a b ⨯
如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。

它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。

如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么
3
2
1
321
b b b a a a k j i
b a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。

若,非零，//2
1
21210c c b b a a ==⇔
=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯
解：{}3,2,53252
1
113
1113
2
113
2
1
111--=+--=-+--=-=⨯k j i k
j
i
k j i
例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ
解：
11232λ==，解得：3
2
λ=。

3．单位向量
0a
a a
= 为矢量a 的方向上的单位矢量。

a
b
a b ⨯
图示7.1
4．矢量b 在a 上的投影()
a
proj b
()
2a
a b proj b a a
⋅=
二、平面方程
1．平面方程的基本形式（点法式）
平面π过点()
0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为
()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=
（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。

（2）如果一平面方程写为0Ax By Cz D +++=，那么{},,n A B C =。

（3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量21,n n 来决定。

（4）点()111,,M x y z 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离d
d =
例7.5．已知平面过三点)1,1,2(),2,0,1(),1,1,1(321----M M M ,求平面方程。

解： 1213{2,1,1},{1,0,2}a M M b M M ==-==-
}1,3,2{322
01
11
2---=---=--=⨯=k j i k
j
i b a n
平面方程为 0)1(1)1(3)1(2=--+---z y x
例7.6．已知平面过点),3,1,0(),1,1,1(21--M M 且平行与矢量{1,1,2}b =--
，求平面方程。

解：}4,2,1{21--==M M a
1
2
486{8,6,1}1
12
i j k
n a b i j k =⨯=--=---=-----
平面方程为
8(1)6(1)1(1)0x y z ------=。

例7.7．已知平面过点1(1,1,2)M --且与平面2255x y z -+=平行，求平面的方程 解：{2,2,5}n =-
，平面方程为2(1)2(1)5(2)0x y z +--++=。

三、直线方程
直线过),,(0000z y x M 且方向矢量为),,{l n m l =
，则直线方程（点斜式）的基本形
式为：
l
z z n y y m x x 0
00-=-=- 直线点斜式两基本要素为0M 及方向矢量l。

另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。

例7.8．如果直线方程为10
2220
x y z x y z -+-=⎧⎨---=⎩，求直线的方向矢量l 的点斜式方程
解：令0=y ，得1
1x z x z +=⎧⎨
-=⎩
，所以 1,0,x z ==
故}0,0,1{0=M ，两平面的方向为12,n n
，则
1211
134{3,4,1}212
i j k
l n n i j k =⨯=-=++=--
直线的点斜式为
1431z
y x ==- 例7.9．求直线1
2111z
y x =-=-在平面4=-+z y x 的投影直线的方程。

解：取(1,1,0)M =
直线l ，交线构成平面β，则αβ⊥，
β的法线
n l n βα=⨯
{}1,2,3231
11121--=-+-=-=k j i k
j i
故平面方程为3(1)2(1)0x y z --+--=， 即，0123=+-+-z y x 。

故直线的方程为⎩⎨
⎧=-+=+-+-4
123z y x z y x 。

例7.10．当b a ,为何值时，直线122ax y z x by z ++=⎧⎨+-=⎩
与直线11
2111-=-=-z y x 平行？ 解：平面:1,:22ax y z x by z αβ++=+-=法矢量分别为：
},1,,2{},1,1,{21-==b n a n
直线方向矢}1,2,1{2=l ， 直线1l 方向矢
1121
121
i j
k
l n n a b =⨯=-
(1)(2)(2)i b j a k ab =-----+-
{}1,2,2b a ab =--+-，
由12//l l 得：
122
121
b a ab t --+-=== 则1b t =--，22a t =-，2ab t -=，得：
()()1212t t t -+⋅--=，()2212t t ---=，即22t t -=，
所以0t =，12
t =-
， α
M β
l
图示7.2
于是得到2
1a b =-⎧⎨=-⎩
或
123
a b ⎧
=-
⎪⎨⎪=-⎩。

例7.11．平面α通过直线1
22
x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩，且与平面β：31x y z -+=垂直，求平面α
的方程。

解：设平面方程为()1220x y z x y z λ-+-+++-=
即α：()()()()1121210x y z λλλλ++-++-+=
{}1,1,21n αλλλ→
=+-+；
由于αβ⊥⇒n n αβ→
→
⊥⇒0n n αβ→
→
⋅=即
()()()311210λλλ+--++=
得：450λ+=，54
λ=- 即平面α的方程为
1999
04444
x y z ----=或999x y z ++= 注：此题解法中应用了平面束的概念。

例7.12．平面通过点1M （1,-1,2）且直线
12121
x y z
-+==--落在其中，求平面方程。

解：1212(1,1,2),(1,2,0),{0,1,2}
M M a M M =-=-==--
01232121
i j k
n a l i j k =⨯=--=--+--
平面方程为：3(1)2(1)(2)0x y z ---++-=。

例7.13．求异面直线121121:
,:121211
x y z x y z
l l -++-====---之间的距离。

解：12{1,2,1},{2,1,1}l l =--=-
，
121213211
i
j k
n l l i j k =⨯=--=-+--
以n
为法矢量分别作包含12,l l 的两平行平面,αβ
:(1)3(1)0x y z α--+-+=，即320x y z -+--= :(2)(1)30x y z β-++--=，即330x y z -+--=
两平面间的距离就是异面直线之间的距离。

d =
=
四、常见曲面及方程
单元练习题7
1. 给,a b 为两个非零矢量，λ为非零常数，若向量b
a λ+垂直于向量
b ，则λ等于（ ）
A ．
2
b
b a ⋅ B. 2
b
b a ⋅-
C.1
D. ⋅
2. 设k i b k j i 43,2+=++-=，用b
表示方向上单位向量，则向量a 在b 上的投
影为（ ）
A
．
B. b
C.
D. b -
3. 方程224x y x +=在空间直角坐标系下表示为：
A ．圆柱面 B. 点
C. 圆
D. 旋转抛物面
4．在空间坐标系下，下列为平面方程的是： A.x y =2
B. ⎩⎨
⎧=++=++1
20
z y x z y x
C. 3
7422-=+=+z
y x D. 043=+z x 5．与平面1=++z y x 垂直的直线方程为：
A ． ⎩⎨
⎧=++=++0
21z y x z y x B. 31422-=+=+z
y x C. 5222=++z y x D. 321-=-=-z y x
6．直线l 与x 轴平行，且与曲线x
e x y -=相切，则切点坐标是：
A ．（1,1）
B ．(-1,1)
C ．(0,-1)
D ．(0,1)
7．点()2,3,4M -到平面3230x y z +++=的距离d = 。

8．过原点且与直线L ：
3
3
1121+=-+=-z y x 垂直的平面方程为 9．过点)1,0,2(0-M 且平行向量}{}{4,0,3,1,1,2=-=的平面方程为。

10．过点)1,0,2(0-M 且平行于两个已知平面1:210x y z π+--=，2:210x y z π+-+=
的直线方程为 。

11．曲线⎩⎨⎧==+0
1
32:2x z y 绕oz 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 。

12．判断直线1223
:
314
x y z -++==- 与平面3:=++z y x π的关系。

13．已知向量,532,5k j i k y i +-=++=求与3-同向的单位向量。

14．求通过原点且垂直于直线 ：70
4360x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩
的平面方程。

15.把⎩⎨
⎧=+-=+-0
820
53:z y y x 方程化为标准式（点斜式）与参数形式。

16．平面α通过直线⎩
⎨
⎧=--=-+112z y x z y x 且与直线12111z
y x =-=-平行，求平面α方程。

17．求过点)3,2,1(--P 且与直线65432:
1-=-=-z y x 和8
3221:2--=+=z y x 平行的 平面方程式。

18．确定⎩
⎨
⎧=++-=-+727
2:1z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363:2z y x z y x 的平行或垂直关系。

19．确定34:273
x y z
++==- 与平面03224:=---z y x π的平行或垂直关系。

历年真考题
1．（2001）方程224x y x +=在空间直角坐标系下表示（ ）
A. 圆柱面
B. 点
C. 圆
D. 旋转抛物面 2．（2002）在空间坐标系下，下列为平面方程的是（ ） A. 2y x = B. 0
21
x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩
C. 24273
x y z
++==- D. 340x z += 3．（2003）与平面1x y z ++=垂直的直线方程为（ ）
A. 120
x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ B. 24213x y z
++==- C. 2225x y z ++= D. 123x y z -=-=-
4．（2004）过点M(1,0,-2)
且垂直于平面423x y z +-=的直线方程为______.
5．（2005）设向量{3,4,2},{2,1,},a b k =-=
若a 与b 垂直，则k=________.
6．（2005）求过点(3,1,2),A -且通过直线43:521
x y z
L -+==的平面方程。

本章测试题
1．过点(1,1,1)M -与平面132=+-z y x 相平行的平面方程是 。

2．直线⎩
⎨
⎧=-+=+-11
z y x z y x 的标准式是 。

3．将曲线z y =2绕z 轴旋转所的旋转面方程是 。

4．下面哪条直线与平面2360x y z -+-=平行（ ）
Ａ. 1
222x y z x y z -+=⎧⎨
-+=⎩
Ｂ. 2350x y z -+-=
Ｃ. 121121x y z ---== Ｄ. 12134x t y t z t
=+⎧⎪
=-+⎨⎪=⎩
5．下面曲面中哪一个是旋转抛物面（ ）
Ａ. 222x y z += Ｂ. 22221x y z ++=
Ｃ. 22
2
y z x += Ｄ.222x y x += 6．一平面π通过直线21221
x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩且垂直于平面231x y z ++=,求平面π的方程。

7.求过点M(-3,2,5)且与两个平面：256,450x y z x z --+-+=的交线平行的直线方程。

单元练习题七答案
1、B ，
2、B ，
3、A ，
4、D ，
5、D ，
6、C ，
7、
214，8、032=+-z y x ， 9、()0)1(31124=+---z y x ， 10、
132-=-y x 11+=z 11、()13222=++z y x
12、{}4,1,31-=l ，平面π法矢量{}1,1,1=n ，由于0.1=⋅l n 故：1l n ⊥1l ∴∥π
13.{}{}{}31,1,532,,3,55,10,10a b -=--=--。

151********=++=-b a 与b a 3-同向单位向量03122,,3333a b c a b -⎧⎫==--⎨⎬-⎩⎭
14．解：l 的方向矢量1
34111--=k j i l k j i ++=32{}1,3,2=
所求平面的法矢量：n ∥l ，可取：{}1,3,2=n
平面方程为：032=++z y x 。

15．取0=z 由350280x z y z -+=⎧⎨-+=⎩
解得：8,5-=-=y x ，故直线通过点()0,8,50--M
2
10301--=k j i l k j i ++=23{}1,2,3= 标准式（点斜式）方程：58321
x y z ++== 参数形式方程为：⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-=t z t y t x 8253
16．解：设平面α方程为：()-2-1---10x y z x y z λ++=
即：()0)1()2()1(1=+-+--++λλλλz y x
{})2(,1,1+--+=λλλn 。

由于α∥l ，因此0n l ⋅= ，即0)2()1(2)1(=+--++λλλ 解得：12
λ=，所以平面α方程为：353=-+z y x 17．{}34620301020,30,10128
i
j k n i j k =-=++=- 平面方程为()()()2013021030x y z ++++-=，即()()()213230x y z ++++-=
18．112135211i j k l i j k =-=+-- ，23
639315211
i j k l i j k =-=----- 由于3159315
-=-=-，故直线1l 与2l 平行 19．{}{}12,7,3,4,2,2l n =-=-- ，181460n l ⋅=-+= ，1n l ∴⊥
故平面π与直线1l 平行。

.
本章测试题答案
1.()()()121310x y z +--+-=
2. 1011
x y z -== 3. z y x =+22
4、Ｃ
5、Ｃ
6．解：设π方程为()()212210x y z x y z λ-+-+-+-=， 即()()()()1221210x y z λλλλ++--+++--=
{12,2,12}n λλλ=+--+ ，由于π垂直于231x y z ++=， 故()()()12223120λλλ++--++=
解得0λ=，即平面π的方程为21x y z -+=。

7．
325431
x y z +--==。