2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第五节指数函数课时规范练理含解析新人教版202106

第五节 指数函数
[A 组 根底对点练]
1．函数y ＝(0.3)|x |(x ∈R )的值域是( ) A ．正实数 B ．{y |y ≤1} C ．{y |y ≥1} D ．{y |0＜y ≤1}
解析：因为|x |≥0，所以0＜(0.3)|x |≤1，即0＜y ≤1. 答案：D 2．设a ＞0，将
a 2a ·
3
a 2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A ．a 12
B ．a 5
6
C ．a 7
6D ．a 3
2
解析：
a 2a ·
3
a 2
＝
a 2
a ·a 2
3
＝
a 2a
5
3
＝
a 2
a
56
＝a 2－56
＝a 7
6. 答案：C
3．(2021·某某镇海中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －
a
2
恒过定点，如此这个定
点的坐标是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12
D ．⎝
⎛⎭⎪⎫
－1，12
解析：y ＝(a －1)2x －
a
2＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －1
2＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x
－a
2恒过定点⎝
⎛⎭⎪⎫
－1，－12.
答案：C
4．(2021·某某某某模拟)f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，如此f (x )的值域为( )
A ．[9，81]
B ．[3，9]
C ．[1，9]
D ．[1，＋∞)
解析：由f (x )的图象过点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min
＝f (2)＝32－2＝1，f (x )max ＝f (4)＝34－2＝9.
答案：C 5．函数
f (x )＝a x －
1
a
(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )
解析：当a ＞1时，将
y ＝a x 的图象向下平移
1a 个单位长度得f (x )＝a x －1
a
的图象，选项AB
都不符合；当0＜a ＜1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1
a
大
于1，选项C 不符合，选项D 符合．
答案：D
6．(2020·某某模拟)函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下列图，如此函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )
解析：由函数f (x )的图象可知，－1<b <0，a >1，如此g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b >0.
答案：C
7．假如a ＝4，b ＝8，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.5
，如此( )
A ．c ＞a ＞b
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．a ＞c ＞b
解析：a ＝4＝2，b ＝8＝2，c ＝2，所以a ＞c ＞b . 答案：D
8．函数f (x )＝2x －2－x 是( )
A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
解析：f (x )＝2x －2－x ，如此f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (xy ＝－2－x ，y ＝2x 均是在R 上的增函数，故f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数．
答案：A 9．假如函数
f (x )＝a |2x －4|(a >0，且
a ≠1)满足f (1)＝1
9
，如此f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2] 解析：由f (1)＝19得a 2＝1
9
，
又a >0，所以a ＝1
3
，
因此f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|2x －4|
.
因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞). 答案：B
10．设x ＞0，且1＜b x ＜a x ，如此( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．1＜a ＜b
解析：∵1＜b x ，∴b 0＜b x .∵x ＞0，∴b ＞1.
∵b x ＜a x ，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b x ＞1.∵x ＞0，∴a
b ＞1⇒a ＞b ，∴1＜b ＜a .
答案：C
11．设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，
如此M ＝(a －1)与N ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 0.1
的大小关系是( )
A ．M ＝N
B ．M ≤N
C ．M ＜N
D ．M ＞N
解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，
所以a ＞2，所以M ＝(a －1)＞1，N ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 0.1
＜1，所以M ＞N .
答案：D
12．(2021·某某某某质检)函数f (x )＝a x ，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，
f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )
A ．1
B ．a
C ．2
D ．a 2
解析：∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.
答案：A
13．计算(0.008 1)－1
4
－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫780－1×[81＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－1
3]－1
2
－10×13＝________．
解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3104－1
4－(3×1)－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫32－1－
12－10×[(0.3)3]13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310－1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋23－
1
2－10×[(0.3)3]13
＝103－1
3－3＝0. 答案：0
14．方程3|x |－1＝m 有两个不同实根，如此实数m 的取值X 围是________．
解析：作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图象如下列图，数形结合可得m 的取值X 围是(0，＋∞).
答案：(0，＋∞)
15．假如f (x )＝x 2
3－x －12
，如此满足f (x )＜0的x 的取值X 围是________．
解析：令y 1＝x 2
3，y 2＝x －1
2
，f (x )<0
即为y 1＜y 2，在同一平面直角坐标系中作出函数y 1
＝x 2
3，y 2＝x －12
的图象如下列图．
由函数图象知，当0＜x ＜1时，y 1＜y 2，所以满足f (x )＜0的x 的取值X 围是(0，1). 答案：(0，1)
16．假如函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数
g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，如此a ＝________．
解析：当a ＞1时，由
f (x )的单调性知，a 2＝4，a －1＝m ，此时
a ＝2，m ＝1
2
，此时g (x )
＝－x 为减函数，不合题意；当0＜a ＜1时，如此a －1＝4，a 2＝m ，故
a ＝14，m ＝1
16
，g (x )
＝34
x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．
答案：1
4
[B 组 素养提升练]
1．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，如此如下关系中一定成立的是( ) A ．3c ＞3a B ．3c ＞3b C ．3c ＋3a ＞2 D ．3c ＋3a ＜2
解析：画出f (x )＝|3x －1|的图象，如下列图，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，如
此有c ＜0，且ay ＝3x 的图象可得0＜3c ＜1＜3a ，
∵f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，
f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2.
答案：D
2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，
x ，x ≥0.
假如f (a )＜1，如此实数a 的取值X 围是(
)
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3，1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
－7＜1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－3， 因为0＜1
2＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；
当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为
a ＜1，
所以0≤a ＜1，故a 的取值X 围是(－3，1). 答案：C
3．设a ＞0，b ＞0，( )
A ．假如2a ＋2a ＝2b ＋3b ，如此a ＞b
B ．假如2a ＋2a ＝2b ＋3b ，如此a ＜b
C ．假如2a －2a ＝2b －3b ，如此a ＞b
D ．假如2a －2a ＝2b －3b ，如此a ＜b
解析：因为函数y ＝2x ＋2x 为单调递增函数，假如2a ＋2a ＝2b ＋2b ，如此a ＝b ，假如2a ＋2a ＝2b ＋3b ，如此a ＞b .
答案：A
4．函数f (x )＝e x ，假如关于x 的不等式[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0，1]上有解，如此实数a 的取值X 围是________．
解析：由[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0，1]上有解，可得a ≤[f (x )]2－2f (x )，即a ≤e 2x －2e x .令
g (x )＝e 2x －2e x (0≤x ≤1)，如此a ≤g (x )max .因为0≤x ≤1，所以1≤e x ≤e ，如此当e x ＝e ，即x
＝1时，g (x )max ＝e 2－2e ，即a ≤e 2－2e ，故实数a 的取值X 围为(－∞，e 2－2e].
答案：(－∞，e 2－2e]
5．(2021·某某吕梁期末)定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋n
2x ＋1＋m 是奇函数．
(1)某某数m ，n 的值；
(2)假如对于任意的t ∈[－1，1]，不等式f (t 2－2)＋f (2a －at )≥0恒成立，某某数a 的取值X 围．
解析：(1)因为f (x )是奇函数，且在原点处有意义，所以f (0)＝0， 即＝0，要使分式有意义，分母m ＋2≠0， 所以n －1＝0，所以n ＝1，所以f (x )＝
1－2x
2x ＋1＋m .
又因为f (1)＝－f (－1)，所以1－2
m ＋4
＝－
1
2
m ＋1
，
解得m ＝2.
经检验，m ＝2，n ＝1符合题意． (2)由(1)知f (x )＝1－2x
2x ＋1＋2＝11＋2x －1
2
，
根据复合函数单调性同增异减，易知函数f (x )为减函数， 又因为f (x )是奇函数，所以f (t 2－2)≥f (at －2a ).
因为f (x )为减函数，得到t 2－at ＋2a －2≤0，所以对于任意的t ∈[－1，1]，有t 2－at ＋2a －2≤0，令g (t )＝t 2－at ＋2a －2，
故⎩⎪⎨⎪⎧g 〔－1〕＝1＋a ＋2a －2≤0，g 〔1〕＝1－a ＋2a －2≤0，解得a ≤13.
所以实数a 的取值X 围是⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，13.
6．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13a x 2－4x ＋3
.
(1)假如a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)假如f (x )有最大值3，求a 的值； (3)假如f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．
解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 2－4x ＋3
，
令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.
如此u 在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，
而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13u
在R 上单调递减，
所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (2)令
h (x )＝ax 2－4x ＋3，如此
y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13h 〔x 〕，
因为f (x )有最大值3， 所以h (x )有最小值－1，
因此必有⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＞0，
12a －164a ＝－1，
解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，如此必有a ＝0.。