用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件
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乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
探究点 2 标准差、方差的计算及应用 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验
质量，从中抽取 6 件测量数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市
民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋51＋06＋6＋6＋6＋56＝15(岁)， 中位数为 6 岁，众数为 6 岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映
市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
因为 0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，所以令 0.03x＝0.2，得 x≈6.7， 故中位数应约为 70＋6.7＝76.7.
【解】 (1) －x 甲＝61(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， －x 乙＝61(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s 2甲＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (102 － 100)2 ＋ (99 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1.
s＝ ___n1_[_（__x_1_－__－x__）__2＋__（__x_2_－__－x__）__2＋ ___…__＋__（__x_n－__－_x_）__2_]___． 显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据 的离散程度越小． (2)方差：标准差 s 的平方 s2，即 s2＝
_n1_[_(_x_1－__－_x__)2_＋__(x__2－__－_x_)_2＋__…__＋ ___(x_n_－__－x__)_2]______________ 叫 做 这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据 的分散程度的特征数．
用样本的数字特征估计总体的数Fra bibliotek特征1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最__中__间___位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数． (3)平均数：指样本数据的算术平均数．
即－x ＝__n1_(_x_1＋__x_2_＋__…__＋__x_n_)____．
2．标准差与方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般 用 s 表示，计算时通常用公式
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在 直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体 现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就 是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩 形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 所对应的成绩即为所求．
3．平均数、方差的性质 若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为－x ，方差为 s2 那么 ax1＋b， ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b 的平均数为－x ′＝a－x ＋b；方差 s′2 ＝a2s2.
探究点 1 众数、中位数、平均数的计算及应用 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群
(2)由(1)知－x 甲＝－x 乙，比较它们的方差，因为 s2甲＞s2乙，故乙机
床加工零件的质量更稳定．
探究点 3 统计图中的数字特征 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下
的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．
探究点 2 标准差、方差的计算及应用 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验
质量，从中抽取 6 件测量数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市
民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋51＋06＋6＋6＋6＋56＝15(岁)， 中位数为 6 岁，众数为 6 岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映
市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
因为 0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，所以令 0.03x＝0.2，得 x≈6.7， 故中位数应约为 70＋6.7＝76.7.
【解】 (1) －x 甲＝61(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， －x 乙＝61(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s 2甲＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (102 － 100)2 ＋ (99 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1.
s＝ ___n1_[_（__x_1_－__－x__）__2＋__（__x_2_－__－x__）__2＋ ___…__＋__（__x_n－__－_x_）__2_]___． 显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据 的离散程度越小． (2)方差：标准差 s 的平方 s2，即 s2＝
_n1_[_(_x_1－__－_x__)2_＋__(x__2－__－_x_)_2＋__…__＋ ___(x_n_－__－x__)_2]______________ 叫 做 这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据 的分散程度的特征数．
用样本的数字特征估计总体的数Fra bibliotek特征1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最__中__间___位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数． (3)平均数：指样本数据的算术平均数．
即－x ＝__n1_(_x_1＋__x_2_＋__…__＋__x_n_)____．
2．标准差与方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般 用 s 表示，计算时通常用公式
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在 直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体 现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就 是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩 形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 所对应的成绩即为所求．
3．平均数、方差的性质 若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为－x ，方差为 s2 那么 ax1＋b， ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b 的平均数为－x ′＝a－x ＋b；方差 s′2 ＝a2s2.
探究点 1 众数、中位数、平均数的计算及应用 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群
(2)由(1)知－x 甲＝－x 乙，比较它们的方差，因为 s2甲＞s2乙，故乙机
床加工零件的质量更稳定．
探究点 3 统计图中的数字特征 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下
的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．