初中数学反比例函数的图象与性质解答题专项练习(能力提升 精选习题49道 附答案详解)

初中数学反比例函数的图象与性质解答题专项练习
1．如图1，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝m
x
（x ＞0）的图象都经过点A （2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）如图2，将直线OA 向下平移n 个单位长度后与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，与反比例函数图象在第一象限内的交点为D ，连接OD ，tan ∠COD ＝14
． ①求n 的值．
②连接AB ，AD ，求△ABD 的面积．
2．已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当7x =时13y =-；当
1x =时，5y =，求y 与x 间的函数关系式．
3．已知等腰OAB ∆在平面直角坐标系中的位置如图，点A 坐标为()
23,2，点B 坐标为()4,0．
（1）若将OAB ∆沿x 轴向左平移m 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数23
y =的图像上，求m 的值；
（2）若将OAB ∆绕点O 顺时针旋转30，点B 恰好落在反比例函数k
y x
=
的图像上，
求k 的值；
（3）若将OAB ∆绕点O 顺时针旋转a 度()0180a <<到OA B ''∆位置，当点A '、B '恰好同时落在（2）中所确定的反比例函数的图像上时，请直接写出经过点A '、B '且以y 轴为对称的抛物线解析式．
4．如图，A （3，m ）是反比例函数 y k
x =
在第一象限图象上一点，连接 OA ，过 A 作 AB ∥x 轴，连接 OB ，交反比例函数 y k
x
=的图象于点P(26，6)．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标； （2）连接 AP ，求△OAP 的面积．
5．如图，已知一次函数12y kx =-的图象与反比例函数()20m
y x x
=
>的图象交于A 点，与x 轴、y 轴交于,C D 两点，过A 作AB 垂直于x 轴于B 点.已知1,2AB BC ==. （1）求一次函数12y kx =-和反比例函数()20m
y x x
=>的表达式； （2）观察图象:当0x >时，比较12,y y .
6．如图已知正比例函数图像经过点A (2，3）、B （m ，6）.
（1）求正比例函数的解析式.
（2）求m 的值及A 、B 两点之间的距离。

（3）分别过点A 与点B 作y 轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C 、D （点C 、D 均在点A 、B 下方），若BD=5AC .求反比例函数的解析式，并求出四边形ACDB 的面积。

7．如图，一次函数1y x =+的图象交y 轴于点A ，与反比例函数 ()0k
y x x
=>的图象交于点(),2B m 。

（1）求反比例函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积；
（3）若x 轴上存在点P ，使OBP ∆的面积是AOB ∆的2倍，求点P 的坐标。

8．如图，正比例函数y 1=x 的图象与反比例函数2k
y x
=（k≠0）的图象相交于A 、B 两点，点A 的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出点B 的坐标，并根据函数图象，写出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．
9．已知反比例函数()1
10k y k x
=
≠的图像与正比例函数()220y k x k =≠的图像都经过点(),2A m ，点()3,4P --在反比例函数()110k
y k x
=≠的图像上，点()3,B n -在正比
例函数()220y k x k =≠的图像上. （1）求此正比例函数的解析式； （2）求线段AB 的长； （3）求△PAB 的面积.
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x =与反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图像交于点A ，且点A 的横坐标为1，点B 是x 轴正半轴上一点，且AB ⊥OA ．
（1）求反比例函数的解析式； （2）求点B 的坐标；
（3）先在AOB ∠的内部求作点P ，使点P 到AOB ∠的两边OA 、OB 的距离相等，且P A=PB .（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P ） 11．已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线(0)k
y k x
=≠与直线2y x =都经过点(2,)A m ．
（1）求k 与m 的值；
（2）此双曲线又经过点(,2)B n ，点C 是y 轴的负半轴上的一点，且点C 到x 轴的距离是2 ，联结AB 、AC 、BC ， ①求ABC ∆的面积；
②点E 在y 轴上，ACE ∆为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标.
12．已知12y y y =+，并且1y 与（x-1）成正比例，2y 与x 成反比例，当2x =时，5y =；当2x =-时，9y =-，求y 关于x 的函数解析式.
13．已知反比例函数的图像与2y x =-的图像交于点A 、B ，A 点的坐标是（a ，-2）
（1）求反比例函数解析式； （2）求点B 的坐标；
（3）在y 轴上是否存在点C ，使得△ABC 的面积是6，若存在，求点C 的坐标；若不存在，请说明理由。

14．正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝k
x
的图象有一个交点的纵坐标是﹣2． （1）当x ＝3时，求反比例函数y ＝
k
x
的值； （2）当﹣3＜x ＜﹣1时，求反比例函数y ＝k
x 的取值范围；
（3）请直接写出关于x 的不等式x ＜k
x
＜0的解集．
15．如图，反比例函数y ＝
m
x
的图象与一次函数y ＝kx +b 的图象交于A ，B 两点， 点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标．
16．如图，已知点(4,)A m ，(1,)B n -在反比例函数8
y x
=的图象上，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于C 、D 两点. （1）求直线AB 的解析式： （2）求C 、D 两点坐标；
（3）连接AO 、BO ，记AOC ∆的面积为1S 、BOD ∆面积为2S ，求1
2
S S 的值.
17．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数k
y x
=
的图象相交于A （m ，4）、B （2，﹣6）两点，过A 作AC ⊥x 轴交于点C ，连接OA ． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若直线AB 上有一点M ，连接MC ，且满足S △AMC ＝3S △AOC ，求点M 的坐标．
18．如图，直线y=3x ﹣5与反比例函数y=1
k x
-的图象相交A （2，m ），B （n ，﹣6）两点，连接OA ，OB ． （1）求k 和n 的值； （2）求△AOB 的面积．
19．已知A （-4,2）、B （n,-4）两点是一次函数y=kx+b 和反比例函数m
y x
=图象的两个交点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式. （2）求AOB 的面积.
（3）观察图象，直接写出不等式0m
kx b x
--
>的解集. 20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A （﹣4，﹣2）和B （a ，4）.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数.
21．如图，反比例函数
m y
x
=的图象与直线y=kx+b相交于点A、B，点A的坐标为(2，4)，直线AB交y轴于点C(0，2)，交x轴于点E.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)求点E、B的坐标;
(3)过点B作BD⊥y轴，垂足为D，连接AD交x轴于点F，求AEF
ABD
S
S的值.
22．如图，已知一次函数y1＝x+m的图象与x轴y轴分别交于点A、B，与反比例函数y2＝2
k
x
（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．
（1）分别求出一次函数及反比例函数的关系式；
（2）求出点D的坐标并直接写出y1＞y2的解集．
23．如图，在平面直角坐标系中直线2
y x
=-与y轴相交于点A，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点()
,4
B m-。

（1）求反比例函数的关系式；
（2）将直线2y x =-沿y 轴平移后与反比例函数图象在第三象限内交于点C ，且
ABC ∆的面积为8，求平移后的直线的函数关系式。

24．如图1，一次函数y ＝kx ﹣6(k ≠0)的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝8
x
(x ＞0)的图象交于点B (4，b )． (1)b ＝ ；k ＝ ；
(2)点C 是线段AB 上一点，过点C 且平行于y 轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D ，连接OC ，OD ，BD ，若四边形OCBD 的面积S 四边形OCBD ＝
42
5
，求点C 的坐标； (3)将第(2)小题中的△OCD 沿射线AB 方向平移一定的距离后，得到△O 'C 'D '，若点O 的对应点O '恰好落在该反比例函数图象上(如图2)，求此时点D 的对应点D '的坐标．
25．如图，反比例函数1m
y x
=的图像与一次函数2y kx b =+的图像交于A 、B 两点．已知A (2，n ），B （1
2
-
，2-）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）请结合图像直接写出当y 1≥y 2时自变量x 的取值范围．
26．已知反比例函数k
y x
=
的图象经过点A （－2，3）． （1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）经过点A 的正比例函数y k x ='的图象与反比例函数图象还有其他的交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由． 27．已知反比例函数()0k
y k x
=
<图像上三点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，且12x =，21x =，31x =-，试判断1y 、2y 、3y 的大小关系.
28．已知正比例函数()1110y k x k =≠和反比例函数()2
220k y k x
=≠，x 与1y 和2y 的部分对应值如下表所示：
x
… m
4 8 … 11y k x =
…
1
n
4
…
2
2k y x
=
(4)
2
p
…
（1）求m 、n 、p 的值；
（2）指出当0x >时，正比例函数图像与反比例函数图像的交点坐标； 29．若函数(
)
22
919
279m m y m m x -+=--是反比例函数，且图像分布在第二、四象限，
求m 的值.
30．已知函数(
)
22
2
32k y k k x
-=++.
（1）当k 为何值时，它是正比例函数，且y 随x 的减小而减小； （2）当k 为何值时，它是反比例函数，且函数图像在第一、三象限. 31．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．已知反比例函数k
y x
=
的图象经A
（﹣2，m），过点作AB⊥x轴．垂足为点B，且△OAB的面积为1．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例
k
y
x
=的图象上，当1≤x≤3时，求函数值y的取值范围．
32．如图，直线y＝2x+1与双曲线相交于点A（m，3
2
）与x轴交于点B．
（1）求双曲线的函数表达式：
（2）点P在x轴上，如果△ABP的面积为6，求点P坐标．
33．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线
k
y
x
=与直线(1)
y x k
=--+在第二象限的交
点，AB⊥轴于B，且
3
2
ABO
S
∆
=.
（1）求这两个函数的解析式；（2）求△AOC的面积.
34．己知反比例函数
k1
y(k
x
-
=常数，k1)
≠．
(1)若点()
A2,1在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若k 9=，试判断点1B ,162⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
是否在这个函数的图象上，并说明理由． 35．如图，一次函数12y x =--的图象与反比例函数2m
y x
=
的图象交于点()1,3A -、(),1B n -．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围． 36．如图，点A 是反比例函数y ＝与一次函数y ＝﹣x ﹣k 在第二象限内的交点，
AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO ＝3． （1）求这两个函数的表达式；
（2）求一次函数与反比例函数的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积．
37．已知一次函数y ＝kx +b 和反比例函数y ＝m
x
图象相交于A （2，4），B （n ，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式kx +b ﹣
m
x
＜0的解集； （3）点C （a ，b ），D （a ，c ）（a ＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD ＝2，求a 的值． 38．直线2y x =与双曲线k
y x
=的一个交点坐标为()2,A m . （1）画出2y x =的图像； （2）求出点A 的坐标； （3）求反比例函数关系式；
（4）求这两个函数图像的另一个交点坐标.
39．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，﹣1）是反比函数y ＝k
x
图象上的一点，过B 点的一次函数y ＝﹣x +b 与反比例函数交于另一点A ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB 面积；
（3）在A 点左边的反比例函数图象上求点P ，使得S △POA ：S △AOB ＝3：2．
40．如图，一次函数y ＝x +m 的图象与反比例函数y ＝k
x
的图象交于A ，B 两点，且与x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点C 的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式0＜x +m ≤k
x
的解集． 41．如图，已知反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象与一次函数y=k'x+b(k'≠0)的图象相交于A 和B 两点。

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)观察两函数在同一坐标系中的图象，直接写出关于x 的不等式k
x
<k'x+b 的解集； (3)求△AOB 的面积.(其中O 为坐标原点) 42．如图，反比例函数k
y x
=的图象经过点A （4，b ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB
的面积为2． （1）求k 和b 的值；
（2）若一次函数y ＝ax ﹣3的图象经过点A ，求这个一次函数的解析式．
43．如图，一次函数11y k x b =+与反比例函数2
2k y x
=
的图象相交于A ，B 两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B 的横坐标为﹣4．点A 的纵坐标为4. （1）试确定反比例函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积； （3）直接写出不等式2
1k k x b x
+>
的解集．
44．已知y 与x 成反比例，且当x ＝﹣2时，y ＝3． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝1时，求y 的值．
45．已知点A （m ，m +1），B （m +3，m ﹣1）都在反比例函数y ＝x
k
的图象上，求m 的值及反比例函数的解析式．
46．如图，直线y ＝2x+6与反比例数y ＝x
k
（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．
（1）求m 的值和反比例函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式2x+6-
k
x
＞0的解集 （3）在反比例函数图像的第一象限上有一动点M ，当S △BOM <S △BOD 时，直接写出点M 纵坐标的的取值范围。

47．平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝
k
x
(x ＞0)的图象上，点B 与点A 关于原点O 对称，一次函数y 2＝mx+n 的图象经过点B ． (1)设a ＝2，点C(4，2)在函数y 1，y 2的图象上.分别求函数y 1，y 2的表达式.
(2)如图，设函数y 1，y 2的图象相交于点C ，点C 的横坐标为3a ，△ABC 的面积为16，求k 的值.
48．在平面直角坐标系中，设二次函数y ＝ax 2﹣4ax ，其中为常数且a ＜0． （1）若函数y ＝ax 2﹣4ax 的图象经过点（2，4），求此函数表达式； （2）若抛物线y ＝ax 2﹣4ax 的顶点在双曲线k
y x
=
上，试说明k 的符号； （3）已知（m ，y 1）、（m+1，y 2）、（m+2，y 3），（0＜m ＜1）都是抛物线y ＝ax 2﹣4ax （a ＜0）上的点，请判断y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由﹒ 49．如图，直线y x b =-+与反比例函数3
y x
=-的图象相交于点(),3A a ，且与x 轴相交于点B ． （1）求a 、b 的值；
（2）若点P 在x 轴上，且AOP 的面积是AOB 的面积的
1
2
，求点P 的坐标．
参考答案
1．（1）反比例函数为y=4
x
；（2）①n＝3；②6
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可解答；
（2）①作DE⊥x轴，根据tan∠COD＝1
4
和点D在图象y=
4
x
上的信息，求得D的坐标（4，
1），再用选定系数法求得直线BD的解析式，从而求得答案；②利用三角形面积公式即可求得结果.
【详解】
（1）∵y＝kx，y＝m
x
（x＞0）过点A（2，2）
∴将A（2，2）代入y＝kx，得2＝2k解得：k＝1．∴正比例函数的解析式为：y＝x，
∴将A（2，2）代入
m
y
x
=，得2
2
m
=，
∴m＝4．
∴反比例函数为y=4
x
；
（2）①过D作DE⊥x轴，
∵tan∠COD＝1
4
，即
1
4
DE
OE
=，
又∵D在y=4
x
上，
∴D（4，1），
∵BD∥OA，
∴设BD表达式为：y＝x+b，∵过D（4，1），
∴1＝4+b，b＝﹣3，
∴y＝x﹣3，
∴
B 的坐标是（0，﹣3）， ∴n ＝3；
（3）∵OA ∥BC ， ∴S △ABD ＝S △OBD ＝
12×BO •x D ＝1
2
×3×4＝6．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，构造辅助线是解题的关键. 2．72y x x
=-+ 【解析】 【分析】
根据“1y 与x 成正比例”可设出()1110y k x k =≠，根据“2y 与x 成反比例”可设出2
2k y x
=
()20k ≠ ，继而再根据12y y y =+可得出y 与x 的关系式，将7x =时13y =-；当1x =时，代入解析式中解答即可. 【详解】
解：设11y k x =，()2
2120,0k y k k x =
≠≠，故21k y k x x
=+ 根据题意得：21
127137
5
k k k k ⎧
+=-⎪⎨⎪+=⎩， 解得：12
27k k =-⎧⎨
=⎩
y ∴与x 间的函数关系式为：7
2y x x
=-+
. 【点睛】
本题考查的是正比例函数与反比例函数解析式组成的复合函数，能够根据题意依次设出正比
例函数和反比例函数解析式，继而得出y 与x 的解析式是解题的关键. 3．（1）33；
（2）43-；（3）2
311334
y x -=+- 【解析】 【分析】
（1）可先设平移后的点为()1,A a b ，根据平移可知b=2，代入反比例函数解析式求解a 即可；
（2）根据旋转的特点先求出B 1的坐标，再将其代入解析式求解即可；
（3）根据旋转的性质，确定出旋转后的,A B ''点的坐标值，再根据抛物线对称轴是y 的特点设出抛物线解析代入解答即可. 【详解】
解：（1）设点A 平移后落在反比例函数23
y x
=-
图像上的点记为：()1,A a b ， ()
23,2A ，
2b ∴=，
代入23
y x
=-
，求得3a =-， ()
23333m ∴=--=；
（2）将点B 恰好落在反比例函数k
y x
=
图像上的点记为1B ，
作B 1C⊥x 轴，∵B(4,0) ∴OB=0B 1=4，
∵∠BOB 1=30° ∴B
1C=2
根据勾股定理可知221123OC OB B C =-= 所以()
123,2B -， 将其代入k y x
=
中 ()23243k ∴=⨯-=-；
（3）
点A 坐标为()
23,2，
∴OA=4
4OA OB ∴==，30AOB ∠=︒，
当30BOA '∠=︒时，则60BOB '∠=︒，
A '的坐标为()23,2-，
B '的坐标为(2,23-，
∴点A '，B '恰好同时落在（2）中所确定的反比例函数的图像上；
60BOB α'∴=∠=︒ .
∴设经过点A '、B '且以y 轴为对称轴的抛物线解析式为()20=+≠y ax c a
将A '的坐标为()
23,2-，B '的坐标代入解得31133a c ⎧-=
⎪⎨⎪=-⎩
∴经过点A '、B '且以y 轴为对称轴的抛物线解析式为2
311334
y x =+-. 【点睛】
本题主要考查的是二次函数解析式的确定、函数图像交点的求法等知识点，主要考查的是数形结合的能力，能够熟练掌握这些知识是解题的关键.
4．（1）m=4，B(8，4)；（2
【解析】
【分析】
（1）将点P的坐标代入可求出反比例函数解析式，再把A点的坐标代入得到m的值，然后求出直线OP的解析式，根据B点纵坐标可求出点B的坐标；
（2）如图，AC与OB交于点D，根据直线OB的解析式求出D点坐标，然后根据三角形面积的求法列式计算即可．
【详解】
解：（1）将P（）代入y
k
x
=，得：k＝12，
则反比例函数解析式为
12
y
x =，
把A（3，m）代入
12
y
x
=得m＝4，
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝3、AC＝4，
∴OA5，
设直线OP的解析式为y＝kx，
代入P()=，
解得：
1
k=
2
，
∴直线OP的解析式为y＝1
2
x，
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝1
2
x得x＝8，
∴点B的坐标为（8，4）；
（2）如图，AC与OB交于点D，
当x=3时，y ＝12x ＝32， ∴D （3，32
）， ∵P （26 ，6），
∴S △OAP ＝1354266222
⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式．
5．（1）()12162,02y x y x x =
-=>;（2）12121206,;6,;6,x y y x y y x y y <== 【解析】
【分析】
（1）由一次函数的解析式可得出D 点坐标，从而得出OD 长度，再由△ODC 与△BAC 相似及AB 与BC 的长度得出C 、B 、A 的坐标，进而算出一次函数与反比例函数的解析式； （2）以A 点为分界点，直接观察函数图象的高低即可知道答案．
【详解】
解：（1）对于一次函数y=kx-2，令x=0，则y=-2，即D （0，-2），
∴OD=2，
∵AB ⊥x 轴于B ，
∴AB OD BC OC
= ， ∵AB=1，BC=2，
∴OC=4，OB=6，
∴C （4，0），A （6，1）
将C 点坐标代入y=kx-2得4k-2=0，
∴k=12
， ∴一次函数解析式为y=12
x-2； 将A 点坐标代入反比例函数解析式得m=6， ∴反比例函数解析式为y=
6x ； （2）由函数图象可知：
当0＜x ＜6时，y 1＜y 2；
当x=6时，y 1=y 2；
当x ＞6时，y 1＞y 2；
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟悉函数图象上点的坐标特征和待定系数法解函数解析式的方法是解答本题的关键，同时注意对数形结合思想的认识和掌握．
6．（1）y=
32x ；（2）m=4；AB =（3）4y x =；四边形ACDB 的面积为6. 【解析】
【分析】
（1）设正比例函数的解析式为：y=kx （k ≠0），然后将点A 的坐标代入即可求出正比例函数的解析式；
（2）将B 点坐标代入正比例函数解析式中即可求出m ，然后根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，即可求出AB ；
（3）设反比例函数的解析式为：a y x
=（a ≠0），根据AC ∥BD ∥y 轴，即可求出C 、D 的横坐标，根据反比例函数的解析式即可用a 表示出C 、D 的纵坐标，从而求出BD 和AC ，然后列出方程即可求出a 的值，从而求出反比例函数的解析式，然后根据梯形面积公式计算面积即可.
【详解】
解：（1）设正比例函数的解析式为：y=kx （k ≠0）
将点A (2，3）代入，得：3=2k 解得：32
k
故正比例函数的解析式为：y=32x ； （2）将B 点（m ，6）代入y=32x 中，得：6=32m 解得：m=4
根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式：AB=
()()22426313-+-=； （3）设反比例函数的解析式为：a y x
=
（a ≠0） ∵AC ∥BD ∥y 轴
∴A 、C 的横坐标相同，即点C 的横坐标为:2, B 、D 的横坐标相同，即点D 的横坐标为:4, ∴点C 的纵坐标为
2
a ，点D 的纵坐标为4a ∴AC=3－2a ，BD=6－4a ∵BD=5AC
∴6－4a =5（3－2
a ） 解得：a=4
∴反比例函数的解析式为：4y x
=
. 过点C 作CE ⊥BD 于E
∴AC=1，BD=5，CE=4－2=2
∴S 梯形ACDB =
()12
CE AC BD +=6. 【点睛】
此题考查的是正、反比例函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和方程思想求参数值是解决此题的关键.
7．（1）2y x =
；（2）12
AOB S ∆=；（3）()()1,0,1,0P P - 【解析】
【分析】 (1)首先求出点B 的坐标，进而可得反比例函数的解析式；
(2)根据题目中一次函数的解析式可以求得点A 的坐标，再根据（1）中求得的点B 的坐标，即可求得△AOB 的面积；
(3)根据2OBP OAB S S ∆∆=求出1OP =，即可求出P 点坐标.
【详解】
解：（1）∵1y x =+过()m,2，
∴12m +=，
∴1m =，
∴()1,2B ， ∵k y x
=过()1,2B ， ∴122k =⨯=， ∴反比例函数的表达式为2y x
=； （2）令0x =，则11y x =+=，
∴()0,1A ，即1OA =，
∵()1,2B ， ∴111122
AOB S ∆=⨯⨯=； （3）∵2OBP OAB S S ∆∆=，
∴1OBP S ∆=，即
1212
OP ⨯=， ∴1OP =，
∴()1,0P 或()1,0P -.
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数
解析式．
8．（1）24y x =
；（2）点B 的坐标为（﹣2，﹣2）．﹣2＜x ＜0或x ＞2． 【解析】
【分析】
（1）设A （m ，2），将A 纵坐标代入正比例解析式求出m 的值，确定出A 坐标，代入反比例解析式求出k 的值，即可确定出反比例解析式．
（2）联立两函数解析式求出B 的坐标，由A 与B 横坐标，利用图象即可求出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．
【详解】
（1）设A 点的坐标为（m ，2），代入y 1=x 得：m=2，
∴点A 的坐标为（2，2）． 代入2k y x
=得：k=2×2=4． ∴反比例函数的解析式为24y x =
． （2）当y 1=y 2时，4x x
=，解得：x=±2， ∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2）．
∴由图象可知，当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．
9．（1）13y x =；（2）（3）272
【解析】
【分析】
（1）把点（3，4）的坐标代入反比例函数的解析式可得k 1，然后把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，就可得到点A 的坐标，再把点A 的坐标代入正比例函数的解析式即可； （2）把点A 的坐标代入正比例函数的解析式可得k 2，然后把点B 的坐标代入正比例函数的解析式，就可得到点B 的坐标，然后运用两点间距离公式就可求出线段AB 的长．
（3）根据()()3,1,3,4B P ----的坐标得出BP 的长，再根据点A 的坐标求出高即可．
【详解】
（1）解：∵点（3，4）在反比例函数y=1
k y x
=的图象上， ∴k 1=3×4=12．
∴12y x
= ∵点A （m ，2）在反比例函数y=12
y x =图象上， ∴2m=12，
∴m=6，
∴点A 的坐标为（6，2）；
∵A 的坐标为（6，2）在正比例函数()220y k x k =≠的图像 ∴213
k = ∴此正比例函数的解析式为：13
y x = （2）∵点B （-3，n ）在正比例函数y=
13x 的图象上， ∴n=-3×1
3
=-1， ()3,1B ∴--
∵（6，2）；
AB ∴==（3）()()3,1,3,4B P ----
3BP ∴=
∵A （6，2）, ∴点A 到BP 的距离为9；
112739222
ABP S BP h ∆∴=
⨯=⨯⨯= 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、直线上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、两点间距离公式等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．（1）y =
;（2）点B 的坐标是(4,0)；（3）见解析. 【解析】
【分析】
（1）设点A 的坐标为（1，m ）先求出点A 纵坐标，再求出反比例系数k 即可得出反比例函数的解析式；
（2）过点A 作AC ⊥OB ⊥，在RT △AOC 中先求出OA ，再在RT △AOB 中求出OB 即可解决问题；
（3）画出∠AOB 的平分线OM ，线段AB 的垂直平分线EF ，OM 与EF 的交点就是所求的
点P ，设点P 3,3m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，根据PA 2=PB 2，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意，设点A 的坐标为（1，m ），
∵点A 在正比例函数3y x =的图像上，
∴3m =.
∴点A 的坐标为(1,3).
∵点A 在反比例函数k y x =
的图像上， ∴31
k =，解得3k =. ∴反比例函数的解析式为3y =. （2）过点A 作AC ⊥OB ，垂足为点C ，
可得1OC =，3AC =∵AC ⊥OB ，
∴∠90ACO =°．
由勾股定理，得2AO =．
∴12
OC AO =．
∴∠30OAC =°
. ∴∠60AOC =°
. ∵AB ⊥OA ，
∴∠90OAB =°
. ∴∠30ABO =°
. ∴2OB OA =.
∴4OB =.
∴点B 的坐标是(4,0).
（3）如图所示.
如图作∠AOB 的平分线OM ，AB 的垂直平分线EF ，OM 与EF 的交点就是所求的点P ， ∵∠POB=30°，
∴可以设点P 坐标为3m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， ∵PA 2=PB 2，
22
2233(1)3(4)m m ⎫∴-+=-+⎪⎪⎝⎝⎭
解得m=3，
∴点P 的坐标是3)
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用两点间距离公式列方程解决问题．
11．（1）k=8，m=4；（2）①8；②4(0,2102)(0,2102)(0,10)0,
3或或或⎛⎫--- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m 的值，进而可得出点A 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 的值；
（2）①由（1）可得出双曲线的表达式，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标，由点C 的位置可得出点C 的坐标，由点A ，B ，C 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长，由AB 2＋BC 2＝AC 2可得出∠ABC ＝90°，利用三角形的面积公式可求出△ABC 的面积； ②设点E 的坐标为（0，a ），由点A ，C 的坐标可得出AC 2，AE 2，CE 2的值，分AE ＝AC ，CE ＝AC ，CE ＝AE 三种情况，可得出关于a 的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线y ＝2x 经过点A （2，m ），
∴m ＝2×2＝4，
∴点A 的坐标为（2，4）．
∵双曲线(0)k y k x
=≠经过点A （2，4）， ∴4＝2
k ， ∴k ＝8． （2）①由（1）得：双曲线的表达式为y ＝
8x ． ∵双曲线y ＝8x
经过点B （n ，2），
∴2＝8n ， ∴n ＝4，
∴点B 的坐标为（4，2）．
∵点C 是y 轴的负半轴上的一点，且点C 到x 轴的距离是2，
∴点C 的坐标为（0，−2），
∴AB ＝22(42)(24)22-+-=，
BC ＝22(04)(22)42-+--=，
AC ＝22(02)(24)210-+--=．
∵（22）2＋（42）2＝（210）2，
∴AB 2＋BC 2＝AC 2，
∴∠ABC ＝90°，
∴S △ABC ＝12AB •BC ＝12
×22×42＝8． ②设点E 的坐标为（0，a ），
∴AE 2＝（0−2）2＋（a−4）2＝a 2−8a ＋20，CE 2＝[a−（−2）]2＝a 2＋4a ＋4，AC 2＝40． 分三种情况考虑，如图2所示．
（i ）当AE ＝AC 时，a 2−8a ＋20＝40，
解得：a 1＝−2（舍去），a 2＝10，
∴点E 1的坐标为（0，10）；
（ii ）当CE ＝AC 时，a 2＋4a ＋4＝40，
解得：a 3＝−2＋
，a 4＝
，
∴点E 2的坐标为（0，−2＋
），点E 3的坐标为（0，
）；
（iii ）当CE ＝AE 时，a 2＋4a ＋4＝a 2−8a ＋20，
解得：a ＝43
， ∴点E 4的坐标为（0，43
）． 综上所述：点E 的坐标为（0，10），（0，−2＋
），（0，
）或（0，
43）． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程（或一元一次方程），解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出k ，m 的值；（2）①利用勾股定理逆定理，找出∠ABC ＝90°；②分AE ＝AC ，CE ＝AC ，CE ＝AE 三种情况，利用等腰三角形的性质求出点E 的坐标．
12．y=2（x-1）+
6x 【解析】
【分析】
可设y 1=k 1（x-1），y 2=
2k x （k 1≠0，k 2≠0），把已知条件代入则可求得y 与x 的函数解析式 【详解】
解：（1）由题意可设y 1=k 1（x-1），y 2=
2k x （k 1≠0，k 2≠0）， ∴y=y 1+y 2=k 1（x-1）+2k x
． 把x=2，y=5；x=-2，y=-9代入可得：2121(21)52(21)92k k k k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪---=-⎪⎩
， 解得12
26k k =⎧⎨=⎩， ∴y 关于x 的函数解析式为y=2（x-1）+6x
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．
13．（1）2y x
=-
；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6） 【解析】
【分析】
（1）将点A 坐标代入2y x =-中，求a 的值，然后用待定系数法求反比例函数解析式；（2）根据正比例函数和反比例函数关于原点对称的性质求点B 的坐标；（3）设点C 的坐标为（0，y ），数形结合，根据三角形面积公式列方程求解.
【详解】
解：（1）把A 点的坐标（a ，-2）代入2y x =-中 22a -=-
解得：a=1
∴A 点的坐标是（1，-2） 设反比例函数解析式为：k y x
= 将A 点的坐标（1，-2）代入k y x =
中 2k =- ∴反比例函数的解析式为：2y x
=- （2）∵正比例函数和反比例函数关于原点对称且它们的图像交于点A 、B
∴点A 、B 关于原点对称
∴B 点坐标为：（-1，2）
（3）存在，设点C 的坐标为（0，y ），连接AC ，BC
1111622
ABC OBC OAC S S S y y y =+=⨯+⨯== ∴6y =±
∴点C 的坐标为（0,6）或（0，-6）
【点睛】
本题考查反比例函数和正比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合思想解题是本题的解题关键.
14．（1）
43；（2）当﹣3＜x ＜﹣1时，443y -<<-；（3）x ＜﹣2． 【解析】
【分析】
（1）首先把2y =－代入直线的解析式，求得交点坐标，然后用待定系数法求得反比例函数的解析式，再把3x =代入求值；
（2）先求得当3x =-和1x =-时y 的值，然后根据反比例函数的性质求解.
（3）根据两个函数的图象及它们的交点坐标即可求得.
【详解】
（1）把y ＝2代入y ＝x ，得x ＝2，
把x ＝2，y ＝2代入k y x
=，得22k =，解得k ＝4， ∴反比例函数的解析式为4y x =
， 当x ＝3时4y x ==43
．
（2）当x ＝﹣3时，4y x ==-43
， 当x ＝﹣1时，4y x
==-4， 因为k ＝4＞0，所以当﹣3＜x ＜﹣1时，4y x =
中y 随x 的增大而减小， 所以当﹣3＜x ＜﹣1时，443
y -<<- ． （3）由图象可知：正比例函数y ＝x 的值小于反比例函数4y x =
的值的x 取值范围是：2x <-或02x <<,
∴不等式x ＜
k x
＜0的解集是：x ＜﹣2． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的增减性，用待定系数法确定函数的解析式，是一种常用的方法，需要熟练掌握.
15．（1）y ＝12-
x +7 （2）(0，5)或(0，9)． 【解析】
【详解】
解：(1)把点A (2，6)代入y ＝m x
，得m ＝12，则y ＝12x ． 把点B (n ，1)代入y ＝12x
，得n ＝12，则点B 的坐标为(12，1)． 由直线y ＝kx +b 过点A (2，6)，点B (12，1)得26121k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得127
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 则所求一次函数的表达式为y ＝12
-
x +7． (2)如图所示，
直线AB 与y 轴的交点为P ，设点E 的坐标为(0，m )，连接AE ，BE ，
则点P 的坐标为(0，7)．∴PE ＝|m －7|．
∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝10，∴12
×|m －7|×(12－2)＝10． ∴|m －7|＝2．∴m 1＝5，m 2＝9．
∴点E 的坐标为(0，5)或(0，9)．
16．（1）26y x =-；（2）(3,0)C ，(0,6)D -；（3） 1；
【解析】
【分析】
（1）把A ，B 两点代入反比例函数解析式就能求得完整的坐标，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式即可；
（2）结合（1）中所求的函数解析式，当x ＝0时，可得D 的坐标，当y ＝0时，可得C 的坐标；
（3）根据点的坐标求出1S 和2S 即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵A （4，m ），B （−1，n ）在反比例函数8y x =
上， ∴m ＝2，n ＝−8，
∴A （4，2），B （−1，−8），
设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，
则428
k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：26k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为：y ＝2x−6；
（2）在y ＝2x−6中，
当x ＝0时，y ＝−6，
当y ＝0时，x ＝3，
∴C（3，0），D（0，−6）；
（3）∵A（4，2），B（−1，−8），C（3，0），D（0，−6）；
∴
11
323 2
S=⨯⨯=，
21
613 2
S=⨯⨯=，
∴1
21
S
S
=．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键．
17．（1）反比例函数解析式为y＝﹣12
x
．一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）（6，﹣14）或（﹣12，22）【解析】
【分析】
（1）将点B的坐标代入y＝k
x
可得反比例函数解析式，据此求得点A的坐标，再根据A、
B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）设点M的坐标为（m，-2m-2），过M作ME⊥AC于E．根据S△AMC=3S△AOC，列出方
程1
2
×4×|m+3|=18，解方程即可．
【详解】
解：（1）将点B（2，﹣6）代入
k
y
x
=，得：k＝2×（﹣6）＝﹣12，
则反比例函数解析式为y＝﹣12
x
．
∵反比例函数
k
y
x
=的图象过A（m，4），
∴4＝﹣12
m
，∴m＝﹣3，
∴A（﹣3，4），
将点A（﹣3，4）、B（2，﹣6）代入y＝kx+b，
得：
34
26
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，解得：
2
2
k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
则一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）设点M 的坐标为（m ，﹣2m ﹣2），过M 作ME ⊥AC 于E ．
∵y ＝﹣
12x
， ∴S △AOC ＝12×|﹣12|＝6， ∴S △AMC ＝3S △AOC ＝18，
∴12AC •ME ＝12
×4×|m +3|＝18， 解得m ＝6或﹣12．
当m ＝6时，﹣2m ﹣2＝﹣14；
当m ＝﹣12时，﹣2m ﹣2＝22，
∴点M 的坐标为（6，﹣14）或（﹣12，22）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数的解析式．
18．（1）k=3；（2）S △AOB =
356
． 【解析】
分析：（1）先求出B 点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，再求出即可．
详解：(1)点(),6B n -在直线35y x =-上,。