弗赖登塔尔数学教育思想在“情境——问题”教学中的应用探索

弗赖登塔尔数学教育思想在“情境——问题”教学中的应用探索
1、引言
汉斯•弗赖登塔尔（Hans·Freudentha1905-1990）是荷兰著名数学家、数学教育家，21世纪国际数学教育权威，曾为国际数学教育作出极大贡献。

鉴于他在数学教育方面的巨大贡献，人们把他和伟大的几何学家F·克莱因相提并论，认为对于数学教育，在20世纪上半叶是F.克莱因做出了不朽的功绩；在下半叶则是弗赖登塔尔做出了卓越的成就。

本文将在简要介绍其思想的基础上，展开对其思想在数学“情境——问题”教学中应用的一些探讨。

2、弗赖登塔尔数学教育思想简述
弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学本质、今日数学特征、数学教育的用处、目的和任务的特殊认识而产生的。

在他看来,数学教育具有以下特征[4] P166情境问题是教学的平台；
数学化是数学教育的目标；
学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；
“互动”是主要的学习方式；
学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可概括为------数学现实,数学化,再创造,具体如下:
2.1 数学现实（Realistic mathematics）
弗赖登塔尔认为：“数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实”[1]。

数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结，是由于现实世界的实际
需要而形成，是“现实的数学”。

他强调数学应该属于所有人，必须将数学教给
所有人，而每个人都有自己的“数学现实”，即“每个人都有自己生活、工作和
思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学知识。

”[3]P201其中既
含有客观世界的现实情况,也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的
认识。

为此数学教育应以这些不同的数学现实为基础构建课程体系,并通过这些
课程不断地扩展每个人的“数学现实”,使每个人在数学上都获得最大的发展。

２.２数学化（Mathematization）
弗赖登塔尔认为：数学化就是数学地组织现实世界的过程。

即人们在观察现
实世界时，运用数学的方法分析研究各种具体现象，并加以整理组织的过程。

数
学化的对象有两大类，一类是现实客观事物，另一类是数学本身。

关于数学化的
过程，运用Treffers和Coffree的理论可将数学化分为水平和垂直两种成分。

其
中水平数学化是让学生从生活世界走进符号世界的过程，垂直数学化是让符号语
言得以在数学范畴中塑造、被塑造，以及被操作的过程。

可图示如下：
水平数学化过程：从背景中识别数学图式化形式化寻关系和规律识别本质对应到已知的数学模型（现实的，经验的）垂直数学化过程：猜想公式证明一些规则完善模型调整综合模型形成新的数学概念一般化过程（现实的，构造的）即水平数学化：从“生活”到“符号”的转化过程。

垂直数学化：“水平数学化后的数学化”，从低层数学到高层数学的数学化过程。

通常在数学化的过程中，两方面的作用错综复杂地纠缠在一起，不能截然分开。

对于“数学化”思想，他的经典名言是：“与其让学生学习数学，不如让学生学习“数学化”；与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。

”[1]
２.３反思（Reflective thinking）
关于“反思”思想，他认为：从别人那里反射自己，就像白天和黑夜，自己反射自己，就是反省或反思，并强调在现实的数学化过程中，反思是一个关键环节，是数学活动的核心和动力。

2.4 再创造(Recreation)
弗赖登塔尔强调：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，并指出每个人都应该在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。

数学学习不应该是一个被动接受的过程，而应是以已有知识和经验为基础主动建构的过程，是客观世界和学生头脑中的“数学现实”互相作用融为一体的过程，是不断丰富和提高学生所拥有的“数学现实”的过程。

他强调：教数学不是教数学活动的结果，而应是教数学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要。

他反对传统的数学教育方式，称之为“违反教学法的颠倒”，认为它阻碍了学生的“再创造”。

对于“再创造”理论，他指出：再创造的核心是数学过程的再现（有超越的再现），基础是学生的“数学现实”，手段和方法是“数学化”。

同时给出了以下三点教育学方面的合理根据：一，通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的符号理解透彻，掌握得快，同时也善于使用他们，一般还可以保持较长久的记忆；二，发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能引起学生的兴趣，从而使学生的学习具有动力；三，通过“再创造”的方式可以进一步促进人们对于数学教育是一种人类活动的看法。

[3]P217
3、数学“情境——问题”教学简述
为促进基础教育数学课程改革，实施数学教育的创新，贵州师范大学的吕传汉及汪秉彝两位教授，在对中小学数学教育教学现状深入观察与调查分
析的基础上，于2000年提出了中小学“数学情境与提出问题”的教学模式，（简称数学“情境——问题”教学），并以此开展了五年多的教学实验研究。

（1）基本教学模式
（2）教学宗旨：培养学生创新意识和实践能力
（3）教学核心：把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为数学教学活动的起点和归宿。

（4）内在联系：设置情境是前提，提出问题是核心，解决问题是目的，注重应用是归宿。

（5）基本理念：重视数学情境的创设；重视问题意识的培养；重视学生的“数学获得”（包括“双基”的获得和学习情感体验的获得）；重视创新意识的培养；重视探究精神的培养，让学生在探究中学习，在学习中探究。

简言之，数学“情境——问题”教学就是以情境为基础，以问题为纽带的教学。

4、弗赖登塔尔数学教育思想在数学“情境——问题”教学中的应用
4.1“数学现实”思想在情境创设中的应用
情境设置是数学“情境——问题”教学展开的前提，对学生开展探究起着思维定向，激发动机的作用，直接影响着学生后继学习的展开和成效。

所谓设置数学情境，就是呈现给学生刺激性数学信息，以引起学生学习的兴趣、启发其思维、激发其好奇心、发现欲，让其产生认知冲突，诱发质疑猜测，唤醒强烈的问题意识，从而使学生发现、提出问题，分析、探讨问题，运用所学知识解决问题。

在数学“情境—问题”教学中，数学情境作为教学的第一平台。

通常认为它的创设效果取决于学生主体对它的熟悉程度。

因为当学生面对与已有知识有联系，但凭借已有知识又不能完全解决的问题情境（知识的生长点）时，其认知冲突最强，最能进行积极思考。

依据“数学现实”观点，不同的人生存和思考着不
同的客观世界，有不同的数学现实基础。

这就决定了不同的学生对数学有不同的认识、感悟，在数学上会有不同的发展。

为此，就要求教师在创设情境时应严格以学生当前的“数学现实”为依据，尽量创设与学生的“数学现实”密切联系的、有一定发展空间的、充满现实意义的情境，让学生在其中能依据自己的生活经验，调整自己的想法，采用自己的方法提出问题、解决问题，进行最佳的数学学习、活动和思考，实现最优的数学发展。

在实际教学中，教师们常考虑通过以下途径创设恰当的数学情境：
（1）从学生身边熟悉的生产、生活实际中选取素材。

如云南石林民中的沈云龙老师在进行《点到直线距离》教学时，针对学生上体育课都有立定跳远项目这一现实，将学生带到他们熟悉的立定跳远场，让学生观察，引导他们提出问题。

（2）从现实社会中人们关注的热点问题或地方、民族文化特色中选取素材。

如云南师大附小的赵光萍老师在进行六年级数学《工程问题》教学时针对昆明风景如画，但交通拥挤这一特点，首先播放录像：美丽的春城风光，西站至黄土坡的路面、交通情况，尔后引导学生从情境中概括数学信息，提出问题。

让学生在熟悉的情境中，形成对比，产生求知需求。

（3）从学生熟知的趣味性故事、典故中选取素材。

如沙朗中学李尧老师在进行《因式分解》教学时针对学生熟知的司马光砸缸的故事创设了以下情境：一天一群小朋友到公园玩耍，正在他们玩得高兴的时候，一位小朋友不小心掉入了大水缸，其它小朋友都着急地跑去找大人了，司马光没去，他待在原地想了想，然后用身边的石块砸破了大水缸。

等其它人赶到时，水流了出来，小朋友得救了，人们都夸司马光最聪明，那司马光聪明在那里呢？然后引导学生展开对因式分解——多项式相乘逆过程的学习，让学生在熟悉的、有趣的故事中进行智力活动，体会逆向思维这一实质。

（4）从例题、习题、升学题、竞赛题、中外名题、数学史实中选取素材。

如贵州省龙安县第二中学的杨锟老师在进行《一元二次方程的应用》教学时，就以数学史实为依据创设了以下情境：1275年我国南宋数学家杨辉提出：“直田积（矩形的面积）八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？”然后引导学生提出问题，展开学习。

（5）从与数学有关的其它学科知识中选取素材。

如沙朗中学李雄伟老师在进行《字母能表示什么》教学时针对学生刚学习了字母歌这一现实先让学生齐唱字
母歌，尔后以问题：字母在英语中可用于表示单词，在数学中又可用于表示什么？为主线引导学生展开学习。

让学生在熟悉的情境中产生认知需求，激发兴趣，体会知识间的联系。

依据“数学现实”思想，我们可以认为以上情形教师都是从学生的“数学现实”出发创设情境。

具体地，（1）（2）两种情形，教师是考虑从学生接触到的含有数学知识的客观世界中选取素材，而（3）、（4）、（5）三种情形，教师则是考虑从学生已有的与数学有关的知识中选取素材。

综上，不难发现无论是在理论层面还是在实践层面，“数学现实”思想在“情境——问题”教学的情境设置中都有所应用。

4.2 “数学化”思想在问题提出、问题解决及注重应用中的应用
“数学化”思想是弗赖登塔尔数学教育思想的核心，是人们数学地组织现实世界的过程，是从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的过程，是学习者从一个具体情境问题开始到得到一个抽象数学概念的过程，是学生对数学“再发现”、“再创造”的过程。

而问题提出作为数学“情境——问题”教学的核心，是培养学生问题意识和创造能力的窗口和有效切入点，是学习者对情境信息进行观察、概括，发现情境中的数学成分，并对这些成分做抽象化、符号化处理的过程，实质就是一个数学化的过程。

为此，在进行提出问题教学时，教师需引导学生充分挖掘、分析隐藏于情境中的数学信息，了解知识间联系，并据此大胆猜想、探究，让学生在独立自主、合作交流中提出有价值的问题、建立相应的模型，进行初步的数学化，以便帮助学生在数学化的过程学会问问题，学会学习。

问题解决作为数学“情境——问题”教学的目的，是指学习者从问题情境开始，运用已有的知识经验，克服认知矛盾冲突，积极主动地寻求和达到问题结果的一个创造性活动过程。

通常认为它是一种创造性的高级心理活动，核心是思考和探究，实质是运用已有的知识经验，通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的目的状态的过程，目的是帮助学生学会数学地思维。

根据美国数学教育家舍费尔德的观点，数学地思维包括：（1）用数学家的眼光看世界；（2）构造模型、符号化、抽象化等；（3）具有成功地实行数学化的能
力。

在数学“情境——问题”教学中，问题解决教学也必然是让学生具有以上三种能力，但学生要学会数学化就必需真正经历过数学化。

为此，在进行问题解决教学时教师应该也必需，引导学生继续在更高层次的数学化过程中解决问题，让学生从中学会数学地思维，真正实现数学教育的目标。

问题的解决不是问题的终结，而是下一个问题的开始或是知识进入流通应用的起点。

爱因斯坦说过：“提出一个问题，比解决一个问题更重要”。

为此，在进行问题解决教学时，教师同样还要注重创设思维空间，鼓励学生大胆质疑，诱发学生发现问题、提出问题，以便形成良好的学习链。

相反地，当学生带着经历逐步数学化得到的知识和能力进入流通应用时，相信更进一步的数学化不可能就此停止，为此在注重应用阶段教学时数学化同样应给以相应的重视。

4.3 “再创造”思想在数学“情境——问题”教学中的应用
数学是人们常识的系统化，是最容易创造的科学。

弗赖登塔尔认为：一个聪明的学生在学习的过程中可以自己“再创造”很多的数学，一般的学生在给以一定指导的情况下也可以做到这一点。

为此，数学教育方法的核心是学生的“再创造”，是学生“做数学”（doing mathematics），是教师精心设计、创造问题情境，引导学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织学习的过程，是有指导的再创造活动。

这种活动意味着师生要在创造的自由性和指导的约束性之间，在教的强迫性与学的自由性之间，在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙而和谐的平衡。

“再创造”必须贯穿于数学教育的整个体系，而实现“再创造”方式的前提，是把数学教学作为一个活动过程来加以分析。

数学“情境——问题”教学在很大程度上已把数学教学作为一个活动过程来加以考虑，为此它具备实现“再创造”的前提。

在实际的教学中，许多教师正在进行着实践，他们一方面让学生自己提出问题，另一方面让学生自己思考，亲自动手实践解决问题，这些在一定程度上都是让学生从事一种有超越的再创造学习。

4.4 “反思”思想在数学“情境——问题”教学中的应用
反思是认知主体自觉地对数学认知活动进行考察、分析、总结、评价、调节的过程，是认知过程正确强化自我意识，进行自我监控、自我调节的主要形式，是学生元认知能力发展的有效保障。

许多教学实践表明，教师在进行教学时，必
须给学生留下反思的时空，正所谓“画留空白，课留思地”。

大量研究也表明只有当学习者对自己的学习行为进行深入的反思时，真正的学习才开始。

在弗雷登塔尔看来，只有以反思为核心的数学教育才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的实质。

为此，在数学“情境——问题”教学中，反思必然也会有其适当的地位。

5、结语
新的探索诱发新的思考，思考在深入，新的问题又刺激着我们作新的探索和尝试。

也许，当前我们的探索和思考还不够深入，但我们深信，随着数学“情境——问题”教学的不断完善和弗雷登塔尔数学教育思想研究的不断深入，它们二者的融合将越来越完美，我们的探索和思考也将越来越深入。