2021年安徽省中考沪科版 中考复习-圆练习

2021安徽中考沪科版中考复习-圆
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( )
A.35°
B.42°
C.43°
D.44°
2.已知☉O的半径是5 cm,则☉O中最长的弦长是( )
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm
3.如图,☉O的半径为2,A为☉O上一点,OD⊥弦BC于点D.如果∠BAC=60°,那么OD的长是( )
A.2
B.√3
C.1
D.√3
2
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠D=100°,CE⊥AB交☉O于点E,连接OB,OE,则∠BOE的度数为( )
A.18°
B.20°
C.25°
D.40°
5.如图,☉O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB.已知∠DOB=72°,则∠E 等于( )
A.36°
B.30°
C.26°
D.24°
6.如图,将边长为3的正方形铁丝框ABCD(面积记为S1)变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(面积记为S2),则S1与S2的关系为( )
A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.无法确定
7.已知☉O的半径为3,△ABC内接于☉O,且BC=3√3.则∠A的度数为( )
A.60°
B.120°
C.60°或120°
D.不能确定
8.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,C是优弧AB上一点(不与点A,B重合),则cos C的值为( )
A.3
5 B.4
5
C.√3
3
D.√3
2
9.小颖同学在制作手工时,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为( )
A.8√3 cm
B.6√3 cm
C.4√3 cm
D.2√3 cm
10.如图,☉O的半径是5,A是圆周上一定点,点B在☉O上运动,且∠ABM=30°,AC⊥BM,垂足为C,连接OC,则OC的最小值是( )
A.3−√3
2 B.√3
2
C.√3
3
D.5√3−5
2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.如图是一个扇形纸扇,扇长AB为36 cm,它完全打开后BC的长为26π cm,则纸扇的最大张角(∠BAC)是°.
12.如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为.
13.如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,连接AC,CD,DB,BC,过点C作CE⊥AB于点
E,CD∥AB,CD=BD.若☉O的直径为2,则CE的长为.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是半径为4的☉A上一个动点,M是CD的中点,则BM的最大值是.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,四边形ABCD的顶点都在☉O上,∠ABC=135°,AC=4,求☉O的半径长.
16.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,CD=6,求BE的长.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在△ACE中,AC=CE,☉O经过点A,C,且与边AE,CE分别交于点D,F,B是劣弧AC上的一点,且BC=DF,连接AB,BC,CD.求证:△CDE≌△ABC.
18.如图,☉O是△ABC的外接圆,CA=CB,连接BO并延长交AC于点D.
(1)求证:∠C=2∠CBD;
,则☉O的半径为.
(2)若AB=6,sin C=3
5
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AO平分∠BAC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)当OA=4,AB=6,求边BC的长.
20.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在圆的半径r的长.
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?
21.如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA.
(2)求OE的长.
七、(本题满分12分)
22.如图,已知AB,CD为☉O的直径,过点A作弦AE垂直直径CD于点F,B恰好为DE的中点,连接BC,BE.
(1)求证:AE=BC;
(2)若AE=2√3,求☉O的半径;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
23.如图,AB是☉O的直径,过☉O上一点C作☉O的切线,交AB的延长线于点E.过点A作CE 的垂线,垂足为D,AD交☉O于点F,设∠ABC=α(0°<α<90°).
(1)用含α的代数式表示∠DAC;
,求AD的长;
(2)若AB=10,sin α=4
5
(3)若α=60°,AB=10,求图中阴影部分的面积.
答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.如图是一个扇形纸扇,扇长AB为36 cm,它完全打开后BC的长为26π cm,则纸扇的最大张角(∠BAC)是130°.
【解析】设∠BAC=α°.根据弧长公式得36π·α
=26π,解得α=130.
180
12.如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为69°.
【解析】∵△ABC内接于☉O,BD是☉O的直
径,∴∠BCD=90°.∵∠CBD=21°,∴∠A=∠D=90°-21°=69°.
13.如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,连接AC,CD,DB,BC,过点C作CE⊥AB于点
E,CD∥AB,CD=BD.若☉O的直径为2,则CE的长为√3
.
2
【解析】连接
OC.∵CD∥AB,∴∠DCB=∠CBA,∴BD=AC.∵CD=BD,∴CD=BD,∴AC=CD=DB,∴∠AOC=60°.∵OA=OC,∴∠CAB=60°.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴AC=1
AB=1.在△ACE
2
.
中,∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴CE=AC·sin ∠CAB=√3
2
14.如图,在Rt△ABC 中,∠ABC =90°,AB =8,BC =6,D 是半径为4的☉A 上一个动点,M 是CD 的中点,则BM 的最大值是 7 .
【解析】如图,取AC 的中点N ,连接MN ,BN ,AD.∵∠ABC =90°,AB =8,BC =6,∴AC =10.∵N 为AC 中点,∴BN =1
2AC =5.∵M 是CD 的中点,∴MN =1
2AD =2,∴BM ≤BN +NM =7,即BM 的最大值是7.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,四边形ABCD 的顶点都在☉O 上,∠ABC =135°,AC =4,求☉O 的半径长.
解:∵四边形ABCD 的顶点都在☉O 上,∠ABC =135°, ∴∠D =180°-∠ABC =45°,∴∠AOC =2∠D =90°. ∵OA =OC ,AC =4,
∴OA =OC =√2
2AC =2√2,即☉O 的半径长为2√2.
16.如图,AB 是☉O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E.若AB =8,CD =6,求BE 的长.
解:连接OC.∵弦CD ⊥AB 于点E ,CD =6,
∴CE =ED =1
2CD =3,∠OEC =90°. 在Rt△OEC 中,OC =OB =1
2AB =4,
∴OE =√42−32=√7,∴BE =OB -OE =4-√7. 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在△ACE 中,AC =CE ,☉O 经过点A ,C ,且与边AE ,CE 分别交于点D ,F ,B 是劣弧AC 上的一点,且BC
=DF ,连接AB ,BC ,CD.求证:△CDE ≌△ABC.
证明:∵BC
=DF ,∴∠DCE =∠BAC. ∵四边形ABCD 内接于☉O ,∴∠ABC +∠ADC =180°. ∵∠CDE +∠ADC =180°,∴∠CDE =∠ABC. 又∵CE =AC ,∴△CDE ≌△ABC.
18.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,CA =CB ,连接BO 并延长交AC 于点D. (1)求证:∠C =2∠CBD ;
(2)若AB =6,sin C =3
5,则☉O 的半径为 5 .
解:(1)连接CO ,AO. ∵CA =CB ,OA =OB ,OC =OC ,
∴△COA ≌△COB ,∴∠ACO =∠BCO. ∵OC =OB ,∴∠BCO =∠CBD ,∴∠C =2∠CBD.
(2)提示:如图,作☉O 的直径AK ,连接BK ,∴∠ABK =90°,∠ACB =∠K.∵AB =6,sin C =3
5,∴sin
K =35=6
AK ,∴AK =10,∴☉O 的半径为5.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AO平分∠BAC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)当OA=4,AB=6,求边BC的长.
解:(1)连接OB,OC.∵OA=OB=OC,OA平分∠BAC, ∴∠OBA=∠OCA=∠OAB=∠OAC.
在△OAB和△OAC中,{∠OBA=∠OCA,∠OAB=∠OAC, AO=AO,
∴△OAB≌△OAC(AAS),∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
(2)延长AO交BC于点H.∵AH平分∠BAC,AB=AC,
∴AH⊥BC,BH=CH.
设BH=CH=a,OH=b.
∵BH2+OH2=OB2,BH2+AH2=AB2,OA=4,AB=6,
∴{a2+b2=16,
a2+(b+4)2=36,解得{
a=3√7
2
,
b=1
2
,
∴BC=2a=3√7.
20.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在圆的半径r的长.
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?
解:(1)连接OA.
由题意得AD=1
2
AB=30,OD=r-18.
在Rt△ADO中,由勾股定理得r2=302+(r-18)2,解得r=34,
即圆弧所在圆的半径长为34米.
(2)连接OA'.
由(1)知OP=34,∴OE=OP-PE=30.
在Rt△A'EO中,由勾股定理得A'E2=A'O2-OE2=342-302,
解得A'E=16,∴A'B'=32.
∵A'B'=32>30,∴不需要采取紧急措施.
六、(本题满分12分)
21.如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA.
(2)求OE的长.
解:(1)∵E是AD的中点,OC是半径,
∴AC=CD,∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∵AE=DE,∴OC⊥AD,∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB.
由(1)知∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA,
∴CE
AC =AC
AB
,即CE
6
=6
10
,解得CE=3.6.
∵OC=1
2
AB=5,∴OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
七、(本题满分12分)
22.如图,已知AB ,CD 为☉O 的直径,过点A 作弦AE 垂直直径CD 于点F ,B 恰好为DE
的中点,连接BC ,BE.
(1)求证:AE =BC ;
(2)若AE =2√3,求☉O 的半径;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
解:(1)连接BD.∵AB ,CD 为☉O 的直径,
∴∠CBD =∠AEB =90°.
∵B 恰好为DE
的中点,∴BD =EB ,∴∠A =∠C , ∴∠ABE =∠CDB ,∴AE
=BC ,∴AE =BC. (2)由题意知AC
=EC . ∵AE
=BC ,且B 为DE 的中点, ∴AC =BE =12AE ,∴∠A =12
∠ABE ,∴∠A =30°, 在Rt△ABE 中,AB =AE cos30°=4,∴☉O 的半径为2.
(3)连接OE.由(2)知∠A =30°,∴∠BOE =60°.
∵OB =OE =2,∴△BOE 是等边三角形,
∴S △BOE =12×2×2×√32=√3,
∴S 阴影=S 扇形BOE -S △BOE =
60π×22360-√3=2π3-√3.
八、(本题满分14分)
23.如图,AB 是☉O 的直径,过☉O 上一点C 作☉O 的切线,交AB 的延长线于点E.过点A 作CE 的垂线,垂足为D ,AD 交☉O 于点F ,设∠ABC =α(0°<α<90°).
(1)用含α的代数式表示∠DAC ;
(2)若AB =10,sin α=45,求AD 的长;
(3)若α=60°,AB =10,求图中阴影部分的面积. 解:(1)连接OC.∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB =90°. ∵OB =OC ,∴∠OCB =∠ABC =α,∴∠ACO =90°-α. ∵DE 切☉O 于点C ,∴OC ⊥DE.
∵AD ⊥CE ,∴AD ∥OC ,∴∠DAC =∠ACO =90°-α.
(2)在Rt△ABC 中,∵sin α=AC AB =45,AB =10,∴AC =8. 易得∠ACD =α,∴sin ∠ACD =sin α=45,即AD AC =45,∴AD =325.
(3)连接OF ,交AC 于点G.
∵∠DAC =90°-α=90°-60°=30°,
∴∠FOC =2∠DAC =60°.
∵OB =OC ,∠ABC =60°,∴△OBC 是等边三角形, ∴∠BOC =60°,∴∠AOF =60°.
∵OA =OF ,∴△OAF 是等边三角形,
∴AF =OF =OC ,∠AFO =60°.
在△AFG 和△COG 中,{∠AFG =∠COG,
∠AGF =∠CGO,AF =OC,
∴△AFG ≌△COG ,∴S △AFG =S △COG .
∵AB =10,∴☉O 的半径r =5,
∴S 阴影=S 扇形OFC =
60π·52360=25π6.。