桂电信号与系统作业参考答案

第一章
1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。

其中X （0-）为系统的初始状态。

（2）()()2f t y t e = （5）()()cos2y t f t t = （8）()()2y t f t = 解：（2）()()2f t y t e = ① 线性： 设 ()()()()1122,
f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,
f t f t y t e y t e ==
那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t e
e e +⎡⎤⎣⎦
+→==，显然，
()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以是非线性的。

② 时不变性
设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,
f t t f t
y t e y t t e -=-=
设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t
y t e y t t -==-，所以是时不变的。

③ 因果性
因为对任意时刻 t 1，()()121f t
y t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是
因果的。

（5）()()cos2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos2,cos2y t f t t y t f t t ==
那么
()()()()()()()112211221122cos2cos2cos2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,
显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。

② 时不变性
设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos2,
cos2y t f t t y t t f t t t t =-=--
设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos2y t f t t t y t t =-≠-，所以是时变的。

③ 因果性
因为对任意时刻 t 1，()()111cos2y t f t t =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

（8）()()2y t f t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()11222,2y t f t y t f t ==
那么
()()()()()()()1122112211222222a f t a f t y t a f t a f t a f t a f t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,
显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。

② 时不变性
设()()11,f t y t →则 ()()()()1110102,
2y t f t y t t f t t =∴-=-⎡⎤⎣⎦
设()()102,f t t y t -→则()()()210102y t f t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。

③ 因果性
因为对任意时刻 t 1，()()112y t f t =，当 10t >时，112t t <，即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。

第二章
2.12 （a ）已知信号f （t ）如图所示，试分别画出下列信号的波形。

（1）f （1-t ） （2）f （2t+2）
（3）f （2-t/3） （4）[f （t ）+f （2-t ）]U （1-t ）
解：（1）先将f （t ）向左移1得f （t+1）（见图（a ））：
然后反折即得 f （1-t ）（见图（b ））。

（2）首先 f （t ）向左移2得f （t+2）（见图a ）：
然后将f （t+2）的波形压缩为1/2即得f （2t+2）的波形（见图b ）。

图(a) 图(b)
图(a) 图(b)
(3) 首先 f （t ）向左移2得f （t+2）（见图a ）：
然后将f （t+2）的波形扩展3倍即得f （2+t/3）的波形（见图b ）。

最后将f （2+t/3）进行反折即得f （2-t/3）的波形（见图c ）：
(4) 先作出f （2-t ）的波形 和U （1-t ）的波形（见图a 和图b ）：
然后作出f （t ）+f （2-t ）的波形（见图c ）： 最后乘以U （1-t ）后的波形如图d 。

图(b)
图(a)
图
(c)
图(a) 图(b)
2.16 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式：
（2）()()3t
d f t
e t dt
δ-⎡⎤=⎣⎦ （8）()()()3241f t t t dt δ∞-∞=+-⎰
（10）()()()t
f t e t t dt δδ∞
--∞
'=
+⎡⎤⎣⎦⎰
（14）()()1232
t n f t e t n dt δ∞
--
=-∞=-∑⎰
解：（2）()()()0
d f t
e t t dt δδ'⎡⎤=
=⎣
⎦ （8）因为 ()()11t t δδ-=-， 所以 ()()()()()()
3331
2412412410t f t t t dt t t dt t δδ∞
∞-∞
-∞
==
+-=+-=+=⎰
⎰
（10）()()()()0
2t t t t t f t e t t dt e e δδ∞
---=-∞
=''=
+=-=⎡⎤⎣⎦⎰
（14）冲激串
()n t n δ∞
=-∞
-∑ 中只有 两个：δ（t ）和δ（t+1）落在积分区间
[-3/2 1/2]之中，因此
()()()()11
1
22332
2
11t t n f t e
t n dt e t t dt e δδδ∞
----
-=-∞=-=++=+⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰
2.25 已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。

（1）()()()()()
,02,00y t y t f t y y --''''+=== （3）()()()()()()
32,01,00y t y t y t f t y y --''''++===
解：（1）特征方程为：210λ+=，特征根为 12,i i λλ==-，因此，y x （t ）为：
()1
20it
it x y t Ce C e t -=+≥，代入初始条件并求解，有：
图(d)
图(c)
1212122
10
C C C C iC iC +=⎧⇒==⎨
-=⎩，所以()2cos 0it it x y t e e t t -=+=≥ （3）特征方程为：2320λλ++=，特征根为：121,2λλ=-=-，
因此，y x （t ）为 ：()21
20t
t x y t Ce C e t --=+≥ ；代入初始条件并求解，有： 1211221
2201C C C C C C ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨
--==-⎪⎩⎩
，所以()220t t x y t e e t --=-≥ 2.26 系统框图如图2-58所示，试列出系统的微分方程，求单位冲激响应。

解：（1）如图，加法器的输出方程为：
()()()y t f t y t '''=-，整理后即得系统的微分方程为：()()()y t y t f t '''+=
（2）求h （t ）
特征方程为20λλ+=，特征根为：121,0λλ=-=，因此，h （t ）为：
()()()12t h t C e C U t -=+，微分方程中令f （t ）=δ（t ），并将h （t ）代入，
得：
()()()()()()()()1112112t t
C e U t C t C C t C e U t C C t t δδδδ--'⎡⎤⎡⎤-+++-++=⎣⎦⎣⎦
比较两边冲激函数的系数，得：
1212201
11C C C C C ⎧+==-⎧⎪⇒⎨
⎨==⎪⎩⎩
，所以 ()()()1t h t e U t -=-
f
(t)
2.33 已知信号如图2-61所示，试分别画出()()12*f t f t 的波形。

（c ）
（b ）
-1
1 (1) f 2(t)
t
(1)
0 （a ）
解：（a ）()()()()()()()12111**1111f t f t f t t t f t f t δδ=++-=++-⎡⎤⎣⎦,故波形如下：
（b ）()()()()()()()()()1
12120
**221*
t f t f t f t f t t t e d U t τδδτ--'==--⎡⎤⎣⎦⎰
()()()()
()
()()1212110
2101
211t t t
t e U t e U t t e t e e t -----=----⎧<⎪
=-<<⎨⎪->⎩
波形见（b ）
（c ）()()()()()()()()
()1112122**2121*f t f t f t f t t t f t δδ--'==+--⎡⎤⎣⎦
()()()()11222121f t f t --=+--，而 ()()1
2f t - 的波形是一个等腰三
角形，因此 卷积的波形为：
2（a ）
（b ）
（e ）
(e)
()()()()()()
()()11210
*sin *11sin *1f t f t t U t U t U t d f t t π
πττδ-=--+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰
()()1
321f t -=+-,
其中 ()()()()1
10
0sin 1cos 02t t f t U U d t t t τττπτππ--∞
<⎧⎪=--=-<<⎡⎤⎨⎣⎦⎪>⎩⎰ 所以，()()122
1*3cos 1141t f t f t t t t ππ<⎧⎪
=-<<+⎨⎪>+⎩
卷积的波形见（d ）
2.49 已知LTI 系统的框图如图2-72所示，三个子系统的冲激响应分别为
()()()()()()()1231,,h t U t U t h t U t h t t δ=--==，求总系统的冲激响应h(t)。

（d ）
解：由图可知，总的冲激响应为
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()
2311
**1111111t
t h t h t h t h t U t t U t U t d U t d U t U t U t tU t t U t U t U t t U t U t U t δττ-=+=+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=
--+--=---+--=--+⎡⎤⎣⎦⎰⎰
2.52 求下列系统的零输入响应，零状态响应和全响应。

（1）()()()()()()()()
32,2,01,02t y t y t y t f t f t e U t y y ---''''++==-== 解：特征方程为：2320λλ++=，特征根为：121,2λλ=-=-， （1）求零输入响应
由特征根得()x y t 为：()21
20t t x y t Ce C e t --=+≥ ；代入初始条件并求解，有： 1211221
4223C C C C C C ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨
--==-⎪⎩⎩
，所以()2430t t x y t e e t --=-≥ （2）求冲激响应h （t ）
由特征根及微分方程的阶数可知：()()
()21
2t
t h t Ae A e U t --=+，在原微分方程中令f （t ）=δ（t ），并将h （t ）代入，得：
()()()()()()()()()()()()()22121212121221
242322t t t t
t
t Ae A e U t A A t A A t Ae A e U t A A t Ae A e U t t δδδδ------⎡⎤⎡⎤'++--+++--++⎣⎦⎣⎦
++=比较两边冲激函数的系数，得：
12112201
211
A A A A A A ⎧+==⎧⎪⇒⎨
⎨+==-⎪⎩⎩，所以 ()()()2t t h t e e U t --=- （3）求零状态响应
()()()()()()()()()()()
()()()()
220
2*2*2
2
22t t t
f t
t
t t t t t y t f t h t e U t e U t e U t e e d U t e e d U t te U t e e U t ττττττ------------⎡⎤==--=
⎣⎦=-+=-+-⎰
⎰
因此全响应为：
()()()()()()()()()()
2224322625t t t t t x f t
t
t
y t y t y t e e U t te U t e e U t e te e
U t --------=+=--+-=--
2.54 一LTI 系统，初始状态不详。

当激励为f （t ）时全响应为
()()32sin 2t
e
t U t -+，当激励为2f （t ）时全响应为()()32sin 2t e t U t -+。

求
（1）初始状态不变，当激励为f （t-1）时其全响应，并指出零输入响应和零状态响应。

（2）初始状态是原来的两倍，激励为2f （t ）时其全响应。

解：设系统的零输入响应为()x y t ，f （t ）产生的零状态响应为()f y t ，因为系统是LTI 系统，由题设可得
()()()()()()()()
332sin222sin2t
x f t
x f y t y t e t U t y t y t e t U t --⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩，解此方程，得
()()()()()
333sin2t x t
f y t e U t y t e t U t --⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ （1） 由时不变性，此时的零状态响应为()1f y t -，而零输入响应不变，故全
响
应
为
：()()()()()
()()
31313sin 211t t x f y t y t y t e U t e t U t ---⎡⎤=+-=+-+--⎣⎦，
其
中 ：
零输入响应为 ()33t e U t -，零状态响应为 ()
()()31sin 211t e t U t --⎡⎤-+--⎣⎦
（2） 根据线性性质，此时系统的零输入响应和零状态响应均为原来的两倍，
故全响应为：()()()()32242sin 2t
x f y t y t y t e t U t -⎡⎤=+=+⎣⎦，其中：
零状态响应为()36t e U t -，零状态响应为()
()322sin 2t e t U t --+
第三章
3.10 已知周期电压 ()()()()
22cos 45sin 245cos 360u t t t t =++-+++ ，试画出其单边、双边幅度谱和相位谱。

解：()()()()
22cos 45sin 245cos 360u t t t t =++-+++ ()()()
22cos 45cos 2135cos 360t t t =++++++
所以令 01ω=，即有 01121332,2,45,1
,135,1,60,A A A A ϕϕϕ=======
因此单边幅度谱和相位谱如下：
根据单双边谱之间的关系得：
312451356000112233
1112,,0.5,0.5222
j j j j j j F A F Ae e F A e e F A e e ϕϕϕ±±±±±±±±±========
由此的双边谱如下：
ω
0ω 02ω
03ω
2 1
A n ω
0ω 02ω
03ω 3π/4 π/3 n ϕ
π/4
3.12 已知连续周期信号f （t ）的波形如图3-58所示。

（1）求指数型与三角型傅里叶级数； （2）求级数1111 (357)
S =-+-+ 之和。

解：（1）有图易知022,T T
π
ωπ===。

三角型：
()11100002111cos 0,sin 1cos 220
n n n a dt a n tdt b n tdt n n n n πππππ⎧⎪
======-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数
所以 ()()()[]1121sin 2121sin3sin5 (2212)
n f t n t t t n ππππ∞==+-=++++-∑；
指数型：
()()0011,3,5, (111)
,1cos 2220
n n n n F a F a jb n n n otherwise
ππ
π⎧=±±±⎪===-=-=⎨⎪⎩
ω
0ω 02ω
03ω
3π/4 π/3 π/4
0ω-
02ω-
3ω-
n ϕ
所以 ()()()21211221j n t n f t e n ππ⎡⎤
∞--⎢⎥⎣
⎦
=-∞=+-∑ （2）在三角型级数中令12
t =，得
112131512111sin sin ...1...223252235f ππππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤
=++++=+-++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
，因
112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以
2111111...1 (352354)
π
π⎡⎤-++=⇒-++=⎢⎥⎣⎦，即 S = π／4. 3.30 求下列信号的傅里叶变换
（2）()/21U t - (4) ()2jt e t δ--
（6）()()21
1t e t δ--- （8）()()1U t U t --
解：（2）因为 ()()/212U t U t -=-，所以 ()()21/21j U t e j ω
πδωω-⎡⎤-↔+
⎢⎥⎣⎦
（4）因为 ()()222jt j e t e t δδ---=-，所以，()()21
2j jt e t e ωδ-+--=↔ （6）因为 ()()()2111t e t t δδ---=-，所以，()()21
1t j e t e ωδ----↔
（8）因为 ()()()110.5U t U t g t --=-，所以()()0.512j U t U t Sa e ωω-⎛⎫--↔
⎪⎝⎭
3.31 已知信号()1f t 和()2f t 的带宽分别为1ω和2ω，并且12ωω>，求下列信号的带宽。

（1）()()12f t f t （2）()()12f t f t * （3）()()122f t f t + （4）()()212*f t f t （5）()()1221f t f t - （1）()()()()()121
21
*2f t f t F j F j F j ωωωπ↔=
，根据卷积的性质可知()F j ω 带宽为12ωω+；
（2）因为()()()()()1212f t f t F j F j F j ωωω*↔=，所以()F j ω的带宽为2ω； (3)因为()()()()()121222f t f t F j F j F j ωωω=↔=+，所以()F j ω的带宽为1ω；
（4）因为()()()()()()1221121*2f t f t F j F j F j F j ωωωωπ⎡⎤
*↔=⎢
⎥⎣⎦
，所以()F j ω的带宽为2ω；
（5）因为 ()()()()12121121*222j f t f t F j F j F j e ω
ωωωπ-⎡⎤⎛⎫⎡⎤-↔=
⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣⎦ ，所以()F j ω的带宽为122ωω+。

3.32 利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换
（2）()()()
sin211t f t t ππ-=- （4）()1
f t t π=
解：（2）()()
()
()sin212211t f t Sa t t πππ-=
=-⎡⎤⎣⎦-， 因为()2g t Sa τωττ⎛⎫↔
⎪⎝⎭
，令 4τπ=，
()()442g t Sa πππω↔，根据对称性，得 ()()()()4442222Sa t g Sa t g πππππωπω↔-⇒↔，再由时移性质得： ()()4j f t g e ωπω-↔
（4）因为 ()2sgn t j ω↔，根据对称性，有()2
2sgn jt
πω↔-，因此
()1
sgn j t
ωπ↔- 3.33 已知()()f t F j ω↔，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换
（1）()35f t - （7）()d t
f t dt （8）()0j t d
e f t dt
ω- （9）()5t f d ττ+-∞⎰ （11）()1*d f t dt t
π （15）()cos2f t t
解：（1）()53
13533j f t F j e ω
ω-⎛⎫-↔ ⎪⎝⎭
（7）由时域微分性质有
()()d
f t j F j dt
ωω↔，再由频域微分性质，得 ()()()()d d d
jt f t j F j jF j j F j dt d d ωωωωωωω
-↔=+⎡⎤⎣⎦，所以 ()()()d d
t f t F j F j dt d ωω
ωω
↔--
（8）由时域微分性质有 ()()d
f t j F j dt
ωω↔，再根据频移性质即得 ()()()011j t
d
e f t j F j dt
ωωω-↔++⎡⎤⎣⎦ （9）由积分性质有
()()
()()0t
F j f d F j ωττπδωω
-∞
↔
+⎰
，再根据时移性质，得
()()()
()()5
5055t F j f d F j ωττπδωω+-∞
+⎡⎤⎣⎦↔
+++⎰
（11）由时域微分特性，有
()()d
f t j F j dt
ωω↔ ，由对称性可得 ()1
sgn j t ωπ↔-，最后根据卷积定理，得 ()()()()1
*sgn d f t j F j j F j dt t ωωωωωπ↔-=⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦ （15）因为 ()()cos222t πδωδω↔++-⎡⎤⎣⎦，根据频域卷积定理，得
()()()(){}
()()111
cos2*2222222f t t F j F j F j ωπδωδωωωπ
↔
++-=++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3.44 已知系统的微分方程如下：
（a ）()()()()43y t y t y t f t '''++=； （b ）()()()()()56y t y t y t f t f t ''''++=+ （1）求系统的频率响应H （j ω）和冲激响应h （t ）； （2）若激励()()2t f t e U t -=，求系统的零状态响应()f y t 。

解：（a ）
（1）由微分方程可知系统的频率响应为
()()2
111121343H j j j j j ωωωωω⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭
，因此冲激响应为()()()312
t t
h t e e U t --=
- （2）设 ()()()(),f f f t F j y t Y j ωω↔↔，则()1
2
F j j ωω=
+，由频域分析()()()(
)()()111
212343f Y j F j H j j j j j j j ωωωωω⎡⎤===⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦ 可令()312123
f A A A
Y j j j j ωωωω=
+++++ ，其中
()()()()1111
11232
f j j A j Y j j j ωωωωωω=-=-=+=
=++
()()()()222
1
2113f j j A j Y j j j ωωωωωω=-=-=+==-++
()()()()3331
13122
f j j A j Y j j j ωωωωωω=-=-=+=
=++
即 ()1/211/2
123
f Y j j j j ωωωω-=
+++++，因此零状态响应为 ()()231122t t t f y t e e e U t ---⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
（b ）
（1）由微分方程可知系统的频率响应为
()()2
112
2356
j H j j j j j ωωωωωω+-=
=+++++，因此冲激响应为()()()232t t h t e e U t --=-+
（2）设 ()()()(),f f f t F j y t Y j ωω↔↔，则()1
2
F j j ωω=
+，由频域分析()()()()()()
22
111
25623f j j Y j F j H j j j j j j ωωωωωωωωωω⎡⎤++===⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦ 可令()()312
2
23
2f A A A Y j j j j ωωωω=
+++++ ，其中 ()()
()
2
12
2
1213f j j j A j Y j j ωωωωωω=-=-+=+==-+
()()()()2
22
2
2
2
12
2233f j j j d j A j Y j d j j j ωωωωωωωωω=-=-=-'⎛⎫+⎡⎤=+==
= ⎪⎣⎦++⎝⎭
()()()32
33
1322f j j j A j Y j j ωωωωωω=-=-+=+=
=-+
即 ()()2
122122
232232f d Y j j j j d j j j j ωωωωωωωω⎛⎫---=
++=-++ ⎪++++++⎝⎭
，
因此零状态响应为
()()()22322t t t f y t te e e U t ---=-+-
3.46 已知LTI 系统的频率响应如图3-75所示，其相频特性()0φω=。

求当输入为()0/2jn t
jn n f t e
e
ωπ∞
-=-∞
=
∑，其中01/rad s ω= 时的输出y （t ）。

解：因为 ()111j t
j t
Ae
AH j e ωωω→ 且 ()0/2jn t
jn n f t e
e
ωπ∞
-=-∞
=
∑，所以
()()()02
/2
/202
2222
112sin 2cos2jn t
jn jn jnt
n n j
j
j j t
jt
jt j j t
y t e
H jn e
e H jn e e e e e e e e e t t
ωπππ
πππω∞
--=-∞
=-----=
==++++=+-∑∑
3.50如图3-78所示系统，已知输入信号f （t ）的频谱为F （j ω），H 2（j ω）= ()6g ω，试画出x （t ）和y （t ）的频谱。

解：设()()x t X j ω↔，又设第一个乘法器的输出为()()11f t F j ω↔，则
()()1cos5f t f t t =，根据频域卷积定理，有：()()()()()()1111
*5555222F j F j F j F j ωωπδωδωωωπ
=
++-=++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由频域分析可知，()()()11X j F j H j ωωω=，其波形如图a 所示：
类似地，()()()()211
3322Y j X j X j H j ωωωω⎧⎫=++-⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩
⎭
，其波形如图b 所示。

3.61已知系统的微分方程和激励如下，求系统的稳态响应。

（1）()()()()1.5,
cos2y t y t f t f t t ''+==
（2）()()()()()22,cos23y t y t f t f t f t t ''+=-+=+
解：（1）系统频响为 () 1.5
j H j j ω
ωω=
+，当ω=2时，频响
()36.92
20.82 1.5
j j H j e j =
=+ ，因此稳态响应为
()()()()()2cos 220.8cos 236.9ss y t H j t t φ=+=+
图
a
图b
2
-2
（2）系统频响为 ()2
2
j H j j ωωω-+=
+，设 ()()12cos2,3ss ss t y t y t →→， 因为 ()222222
j j H j e j π
--+==+，()020102j H j j -+=
=+，所以 ()()()()12cos 22cos 2sin22ss y t H j t t t πφ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭，
()()2033ss y t H j ==
最后，总的稳态响应为 ()()()12sin23ss ss ss y t y t y t t =+=+
3.63 已知某理想高通滤波器的频率特性如图3-86所示，求其冲激响应。

解：系统的频率响应为
)()()()()555442122j j j j H j H j e g e
e g e φωω
ωωππωωωω---==-=-⎡⎤⎣⎦ 因为 ()5252j t e ωδ--↔，由对称性及时移性质可求得
()()544252j Sa t g e ωππω--↔⎡⎤⎣⎦
，因此 冲激响应为 ()()()25425h t t Sa t δπ=---⎡⎤⎣⎦
3.66 如图3-89所示系统，已知()()()sin 2,sgn t
f t H j j t
ωωπ==，求输出y(t).
解：如图，()()()12y t y t y t =+，因此 ()()()12Y j Y j Y j ωωω=+ 由对称性求得 ()()()4f t F j g ωω↔=，因为 ()()1cos4y t f t t =，所以
()()()()()14
4
1111
44442222Y j F j F j g g ωωωωω=++-=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而
()()()()(){}
()()()()()()()()24
441
*4421sgn *44211
4sgn 44sgn 422
Y j F j H j j g g g ωωωπδωδωπωωδωδωωωωω=
+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+++-- 因此 ()()()()()()()122212855Y j Y j Y j g g g g ωωωωωωω=+=++-=-（此结果需借助图形才比较容易得到，即 将()()12,Y j Y j ωω的波形画出并相加）
因为
()()128sin6sin 4,t t g g t t
ωωππ↔↔ 所以 ()()sin6sin 42sin cos52
cos5t t t t y t Sa t t t t t ππππ
=-== 3.52 已知基带信号()1f t 带限于1ω，信号()2f t 带限于2ω，求对下列信号进行理想抽样时，所允许的最大抽样间隔T 。

（1）()()12f t f t （2）()()12f t f t + （3）()()12f t f t * （4）()21f t （5）()13f t （6）()()115f t f t --
解：（1）因为 ()()()()()121
21
*2f t f t F j F j F j ωωωπ↔=
，根据卷积的性质可知()F j ω 带限于12ωω+，因此最大抽样间隔为()
12T π
ωω=
+；
（２）因为 ()()()()()1212f t f t F j F j F j ωωω+↔=+，易知()F j ω 带限于
()12max ,ωω，因此最大抽样间隔为()
12max ,T π
ωω=
；
（３）因为 ()()()()()1212*f t f t F j F j F j ωωω↔=，易知()F j ω 带限于
()12min ,ωω，因此最大抽样间隔为()
12min ,T π
ωω=
；
（４）因为 ()()()()2
1111
*2f t F j F j F j ωωωπ
↔=
，根据卷积的性质可知()F j ω 带限于12ω，因此最大抽样间隔为1
2T πω=
（５）因为 ()()11333f t F j F j
ωω⎛⎫
↔= ⎪⎝⎭
，根据尺度变换的性质可知()F j ω 带限于13ω，因此最大抽样间隔为1
3T π
=； （６）因为()()()()()5111115*2j f t f t F j F j e F j ωωωωπ
⎡⎤--↔=
-⎣⎦ ，由尺度变换及卷积的性质可知，()F j ω带限于12ω，因此最大抽样间隔为1
2T π=；
第四章
4.4 求下列信号的拉氏变换，并注明收敛域。

（1）()t e U t -- （3）()()2t t e U t δ-- （5）()22t e U t -++ 解：（1）()()()[]0
11
,Re 11
s t t
st
F s e U t e dt e dt s s ∞
-+---∞
-∞
=-==-
<-+⎰
⎰ （3）()()()[]211,Re 22
t st
F s t e U t e dt s s δ∞
---∞⎡⎤=-=->-⎣⎦+⎰ （5）()()()()
[]2212
22
2,Re 11
s s t
t st
e F s e
U t e dt e
e
dt s s +∞
∞-+-+--∞
-=
+==>-+⎰
⎰
4.5 求下列信号的单边拉氏变换。

（2）()()723t t e U t δ-- （4）()()()2
2t t e U t e U t -----
（6）()
()1t e U t -- （8）()()()212U t U t U t --+- （10）()()11t U t -- （12）()()1cos t t e U t βα-- 解：（2）()()7321723277
t s t e U t s s δ-+-↔-=++ （4）()()
()222112111
s s
t t
e e e U t e
U t s s s --------↔-=+++
（6）()
()()
111
111t e U t s s s s --↔-
=++
（8）()()()()()
2
211
21212s s s e U t U t U t e e s
s
------+-↔
-+=
（10）()()211s
e t U t s
---↔
（12）()()()22
11cos t s t e U t s s ββ
αββα-+-↔
-
+++ 4.10 求下列函数的拉氏逆变换f(t)。

（2）()()
321
12s s s s ++++ （4）42
15s e s -- （6）
()()
24s
s s ++ （8）
()
2
5
25s s s s +++
（10）
()()
3
3
21s s s +++ 解：（2）首先，()()()()
32145
21212s s s s s s s s +++=-+
++++， 然后令
()()12451212
A A s s s s s +=+++++，其中 121245451,321s s s s A A s s =-=-++====++
因此 ()()
32113
21212s s s s s s s ++=-++
++++，于是 ()()()()()223t t f t t t e U t e U t δδ--'=-++
（4） 因为 ()21
155tU t s ↔，由时移特性即得 ()()()()11
4455
f t tU t t U t =---
（6）令
()()
122424A A s
s s s s =
+++++，其中1224
1,242s s s s
A A s s =-=-==-==++ 因此
()()
122424
s
s s s s -=
+++++，从而 ()()()422t t f t e e U t --=- （8）令 ()()()()2312222215
251212A s A A s s s s s s s ++=++
++++++，其中 1205125s s A s s =+=
=++，因此 ()()23222151251212
A s A s s s s s s s ++=++++++++，通分后得 ()()()()
222322
1255
2525A s A A s s s s s s s s ++++++=++++，比较分子的各项系数，得 231,0A A =-=，故
()()()222
151
2512s s s s s s s ++=-
++++，从而 ()()()1cos2t f t e t U t -=-
（10）令
()()()()2312122332
3
21
2111A A A A s s s s s s s +=+++++++++，其中
()()()1213
1
2
2221
1
233
1
1
33
1,
2
21311
22131
1
222s s s s s s s s A A s s s A s s s A s s =-=-=-=-=-=-++=
=-==++'+-⎛⎫==
=- ⎪
+⎝⎭
+''+⎛⎫==
=
⎪+⎝⎭
+
所以
()()()()332
31211
21
2111s s s s s s s +--=+++++++++，从而 ()()()()221t t f t e U t t t e U t --=-+-+
4.16由时域卷积定理求下列信号的卷积。

（1）()()()()212,t f t tU t f t e U t -== （4）()()()()121,3f t tU t f t U t =-=+ （7）()()()()()124,sin f t U t U t f t tU t π=--= 解：（1）设()()()()1122,f t F s f t F s ↔↔，则 ()()12211
,2
F s F s s s ==+,由卷积定理，()()()()()
12122
1
*2f t f t F s F s s s ↔=
+，作部分分式展开，有 ()11122221
22
A A A s s s s s =++++，其中
()11122
00
22
2
11111,
2224
2114
s s s s A A s s s A s ====-'-⎛⎫====
=-
⎪
++⎝⎭
+=
=
因此，
()2211/21/41/4
22
s s s s s -=++++，所以
()()()()()212111
*244
t f t f t tU t U t e U t -=-+
（4）设 ()()3f t U t =,记()()()()()()1213*,*f t f t f t y t f t f t ==，那么
()()3f t y t =+。

下面先求()y t 。

设 ()()()()1133,f t F s f t F s ↔↔，则 ()()()132
11
,
s s e F s F s s s
-+==,由卷积定
理，()()()()133
32111s s s y t F s F s e e s s s --+⎛⎫↔=
=+ ⎪⎝
⎭
， 因为
()()2321112t U t tU t s s +↔+,所以 ()()()()()2
111112
y t t U t t U t =--+--，从而 ()()()()()()()221
322222
13422f t y t t U t t U t t t U t =+=
+++++⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
（7）记 ()()()12*f t f t f t =，设 ()()()()1132,f t F s f t F s ↔↔，则
()()41322
1,s e F s F s s s ππ--==+，由卷积定理可知
()()()()()()412221s e f t F s F s F s s s ππ--↔==+，令()
2
222
A Bs C
s s s s πππ+=+++，则 2
20
1
s A s π
π
π
==
=+，将上式右边通分，有
()()()()()
22
2
222222
11
B s Cs s s Bs
C s s s s s s π
πππππππ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭==+++，比较分子的各项系数，得 1
,0B C π
=-=，因此()()422
111s
s F s e s s ππ-⎛⎫=
-- ⎪+⎝⎭
，于是 ()()()()()()00111
1cos 1cos 441cos 0404t f t t U t t U t t t t ππππππ
<⎧⎪⎪=-----=-<<⎡⎤⎨⎣⎦⎪>⎪⎩
4.20 已知某LTI 系统的阶跃响应()()t g t e U t -=，若系统的输入
()()2f t tU t =-，求该系统的零状态响应()f y t 。

解：设()()g t G s ↔，则()11G s s =
+，易知()()1
G s H s s
=，因此系统函数
()()1
s
H s sG s s ==
+；又设()()()(),f f f t F s y t Y s ↔↔，因为()()()()()22222f t tU t t U t U t =-=--+-，所以()2221
s s F s e s
-+=，故
()()()()22211111s s
f s Y s F s H s e e s s s s --+⎛⎫==
=+ ⎪++⎝⎭
，因此 ()()()212t f y t e U t --⎡⎤=+-⎣⎦
4.27已知系统的微分方程为 ()()()()()323y t y t y t f t f t ''''++=+，求在下列两种情况下系统的全响应。

（1）()()()(),
01,02f t U t y y --'=== （2）()()()()3,01,02t f t e U t y y ---'===
解：（1）
设()()()(),f t F s y t Y s ↔↔，则()1
F s s
=,对微分方程两边取拉氏变换，有
()()()()()()()()2003023s Y s sy y Y s y Y s s F s ---
⎡⎤'--+-+=+⎣⎦，代入初始条件
与()F s 并解此代数方程，得：
()()
22
53
3232s s Y s s s s s s ++=
+++++，作部分分式展开，得 ()35
22212Y s s s s =+-++，所以全响应为 ()()235222t
t y t e e U t --⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （2）此时()1
3
F s s =
+，将它和新的一组初始条件代入上面关于象函数的代数方程中，解得：()26
32
s Y s s s +=++，作部分分式展开，得
()54
12
Y s s s =-++，所以全响应为()()()254t t y t e e U t --=-
4.30 如图4-32所示电路，求 （1）系统的单位冲激响应h(t)；
（2）欲使系统的零输入响应()()Cx u t h t =,系统的初始状态；
（3）欲使系统在单位阶跃信号激励下，全响应为()()C u t U t =，系统的初始状态。

解：先画出电路的复频域模型如下：
(1) 先求系统函数。

在复频域模型中令()()
00,00L C i u --==，此时由分压公式，得()()1/21/C s U s F s s s =
++，因此()()()()
2
211
211C U s H s F s s s s ===+++ 所以冲激响应为 ()()t h t te U t -=
（2）在复频域模型中，令()0F s =，此时由分压公式，得
()()()()()2001/10021/21C C Cx L L u u s U s i i s s s s s s --
--
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
-=-++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，要使 ()()Cx U s H s =，则应有()()01,00L C i A u --==
（3）此时()1
F s s
=，由复频域模型可得
f ()C u t
()C s
()()()()()()()222
01102121001121C C Cx Cf L L C u U s U s U i F s s s s s s si u s s s -
--
-
⎡⎤⎢⎥=+=-+++++⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
-+⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦
要使()1
C U s s
=，应有()()00,01L C i u V --==。

4.36 如果LTI 因果系统H （s ）的零极点分布如图4-35所示，且H （0）=1，求 （1）系统函数H （s ）的表达式 （2）系统的单位阶跃响应。

解：（a ）
（1）由零极点图可设系统函数为 ()()
()()
261A s H s s s +=+-，由
()013H A =⇒=-，故()()
()()3261s H s s s -+=
+-
（2）设()()g t G s ↔，则()()()
()()
32161s G s H s s
s s s -+==
+-，做部分分式展开，得
()()()3212/79/76161s s s s s s s -+=+-+-+-，所以阶跃响应()()62917
7t t g t e e U t -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （b ）
（1）由零极点图可设系统函数为 ()()()()()
1521A s H s s s s -=+++，由
()0110H A =⇒=-，故()()
()()()
101521s H s s s s --=
+++
（a ） （b ）
（2）设()()g t G s ↔，则()()()
()()()
1011521s G s H s s
s s s s --==+++，做部分分式展
开，得
()()()()1011155
521521s s s s s s s s s ----=+++
++++++，所以阶跃响应()()()52155t t t g t e e e U t ---=-+-
4.41 系统框图如图4-40所示，试求：
（1）系统的传输函数H （s ）和单位冲激响应； （2）描述系统输入输出关系的微分方程；
（3）当输入()()32t f t e U t -=时，系统的零状态响应； （4）判断系统是否稳定。

解：（1）如图设最后一个积分器的输出为()x t ，写两个加法器的输出方程，得
()()()()()()()322x t f t x t x t y t x t x t '''=--⎧⎪⎨'=+⎪⎩
，在零状态条件下取俩式的拉氏变换，得 ()()()()()()
23221F s s s X s Y s s X s =++=+，因此 ()()()221
32
Y s s H s F s s s +=
=++ 做部分分式展开，得()1312
H s s s -=
+++，因此 ()()()23t t h t e e U t --=- （2）由系统函数可知微分方程如下 ()()()()()322y t y t y t f t f t ''''++=+
（3）()()()()()()()
2
2212165
,3123332f s F s Y s F s H s s s s s s s s +--=
===+++++++++ 所以 ()()
()2365t t t f y t e e e U t ---=-+-
（4）系统函数的两个极点均在复平面的左半平面，因此系统是稳定的（此处将
系统视作因果的）。

4.44 已知某LTI 系统，当
（1） ()()t f t e U t -=时全响应 ()()
()t t y t e te U t --=+； （2）()()2t f t e U t -=时全响应 ()()
()22t t y t e e U t --=- 求系统的零输入响应以及当()()f t U t =时系统的全响应。

解：设()()y t Y s ↔，则 ()()()()()()x f x Y s Y s Y s Y s F s H s =+=+……①,在（1）中，()()()()
22
1112
,1111s F s Y s s s s s +=
=+=++++，代入①式，得 ()
()()2
21
11x s Y s H s s s +=+++……② 在（2）中，()()()()
1213
,21212s F s Y s s s s s s +=
=-=+++++，代入到①式中，得 ()()
()()31122x s Y s H s s s s +=++++……③
解②③式组成的方程，得
()()1111x Y s s H s s ⎧
=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
所以()()t x y t e U t -=；
当输入()()f t U t =时，()()()()()11111x Y s Y s F s H s s s s s
=+=+=++ 所以 全响应()()y t U t =
第五章
5.4利用()U n 和()n δ来表示图5-18所示各个序列。

解：（1）()()()114f n U n U n =--- （2）()()21f n U n =+
（3）()()()314f n n U n U n =+--⎡⎤⎣⎦
（4）()()()()()121325f n n n U n U n δδ=+-+---⎡⎤⎣⎦ （5）()()()11
12
f n n U n =
+ 5.5 离散信号()f n 的波形如图5-19所示，试画出下列信号的波形。

（2）()1f n - （4）()2f n （6）()()11f n f n +- （8）()()1f n U n -- （10）()()11f n U n ---+
-1
1
2
3
n
1 ()1f n
-1
1
2
…
n
1
()2f n
-2
-1
1 2
3
n
1
()3f n
-2
2 3 4 -1
1
2
3
n
()4f n
-1
2 3 5 1 4
1
2
3 n
-1
1
3/2 2 1/2 …
()5f n
解：（2）将原信号波形左移1然后反折即得()1f n -的波形，如图（a ）所示；
（4）因为 ()()()231201
00f n f n f n otherwise -==-⎧⎪
===⎨⎪⎩，所以波形如图（b ）所示。

（6）因为()()133
111224
00n f n f n n otherwise ⨯==-⎧⎪
+-=⨯==⎨⎪⎩
，所以波形如图（c ）所示。

-2
1
n
1
-3
2 3 2
-1
()f n
2
3
n
1
-1
2 3 4
1
()1f n -
图（a ）
-2
1
n
1
3
-1
()2f n
图（b ）
-2
1
n
3
4 -1
()()11f n f n +-
图（c ）
1
n
1 2 3 2
-1 ()()1f n U n --
图 (d ）
-2
1
n
1
-3
2 3 2
-1
()()11f n U n ---+
图（e ）
(8)将原波形向右平移1然后反折得()1f n --的波形，最后与()U n 相乘即得
()()1f n U n --的波形，如图（d ）所示。

（10）将原波形右移1后反折得()1f n --的波形；将()U n 的波形左移1后反折得()1U n -+，最后将两者相乘即得()()11f n U n ---+的波形，如图（e ）所示。

5.15 求下列系统的零输入响应()x y n ，已知激励()f n 在n=0时接入。

（1）()()()()()()6251212y n y n y n f n y y ++++=-=-=， （2）()()()()()()0.510.5220,11y n y n y n f n y y +---=-=-=， 解：（1）特征方程为 26510λλ++=，特征根 1211,32
λλ=-=-，所以
()1211032n n
x y n C C n ⎛⎫⎛⎫
=-+-≥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，代入初始条件，得
22
1211
12112
3211232C C C C ----⎧⎛⎫⎛⎫
-+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫
⎛⎫⎪-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩，解得：1224C C =⎧⎨=-⎩ 因此 ()1124032n n
x y n n ⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）特征方程为 20.50.50λλ+-=，特征根 121,0.5λλ=-=，所以
()1211032n n
x y n C C n ⎛⎫⎛⎫
=-+-≥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，代入初始条件，得
()()()()2
2
1211
1
210.5010.51C C C C ----⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：122316C C ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因此 ()()12
110.5036
n n x y n n +=
-+≥ 5.17 求下列差分方程所描述的系统的单位样值响应。

（1）()()()129
y n y n f n --=
（2）()()()()11
1248
y n y n y n f n +---= 解：（1）特征方程为 2109λ-=，特征根 1211
,33λλ=-=，所以
()()121133n n
h n C C U n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，因为 ()()()()110,01019h h h δ-==-+=，
所以
111212110
331C C C C --⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得：121212
C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因此 ()()111233n n
h n U n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（2）特征方程为 211048λλ+-=，特征根 1211
,24λλ=-=，所以
()()121124n n
h n C C U n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，因为
()()()()()11
10,0120148
h h h h δ-==--+-+=，所以
111212110
241C C C C --⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得：122313C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因此 ()()21113234n n h n U n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
5.20 求下列信号的卷积。

（2）()()2*2n n U n U n
（3）()()1*2n
U n U n ⎛⎫
⎪⎝⎭
（4）()()()()4*4U n U n U n U n ----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 解：（2）利用因果信号卷积和的性质知
()()()()()()002*2222112n n
n
n
m n m n n m m U n U n U n U n n U n -==⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑
（3）（2）利用因果信号卷积和的性质知
()()()()()()()1
11212102111*21221n n
m n n m U n U n U n U n U n ++=⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎡⎤===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦-⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
∑ （3）首先 原式 ()()()()()()*2*44*4U n U n U n U n U n U n =--+--；因为
()()()()()0*11n m U n U n U n n U n =⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
∑，根据时移特性，得
原式 ()()()()()()123478n U n n U n n U n =+---+-- 5.26 已知LTI 系统的差分方程为()()()0.51y n y n f n +-=； （1）求系统的单位样值响应()h n ； （2）求系统对于下列输入的响应 ()()()
()()()()0.5()0.51n
a f n U n
b f n n n δδ=-=+-
解：（1）特征方程为 0.50λ+=，特征根为 0.5λ=-，所以
()()()0.5n
h n C U n =-。

因为()()()00.5101h h δ=--+=，所以1C =，故
()()()0.5n
h n U n =-；
（2）（a ）
()()()()()()()()()()()()()
0*0.5*0.50.50.510.5n n
n
m n m n
f m y n f n h n U n U n U n n U n -=⎡⎤==--=--=+-⎢⎥⎣⎦
∑（b ）
()()()()()()()()()()()()
1
*0.5*0.510.50.50.51n
f n
n y n f n h n U n n n U n U n n δδδ-==-+-⎡⎤⎣⎦
=-+--=
5.27 已知LTI 系统的差分方程及初始条件为：
()()()()()()2312,01,12x x y n y n y n f n y y ++++===。

（1）绘出系统框图；
（2）求系统的单位样值响应；
（3）若()()1f n U n =+，求系统的全响应，指出零输入和零状态响应； （4）比较全响应在n=0，n=1的值与初始值，二者不同的原因是什么？ 解：（1）将原微分方程整理为 ()()()()2312y n y n y n f n +=-+-+，因此得系统的模拟框图如下
（2）特征方程为 2320λλ++=，特征根为121,2λλ=-=-，
先求系统()()()()2322y n y n y n f n +++=+的单位样值响应()1h n ,则易知原系统的单位样值为()()12h n h n =-。

根据上述特征根可知，
()()()()11212n n
h n C C U n ⎡⎤=-+-⎣⎦
，并有 ()()1110,01h h -==，代入后可得 ()()1211
121120C C C C --+=⎧⎪
⎨-+-=⎪⎩ 解得 1212C C =-⎧⎨=⎩，因此 ()()()
()
()2
2
121222n n h n h n U n --⎡⎤=-=--+--⎣⎦
（3）首先系统的零输入响应为 ()()()1212,0n
n
x y n A A n =-+-≥，根据初始条件，有
()()121
21122A A A A +=⎧⎨
-+-=⎩ 解得 124
3A A =⎧⎨=-⎩ 因此 ()()()4132,0n
n
x y n n =---≥；
其次零状态响应为
()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()
2
2
1100*1*12221122111121211(1)1(2)
11
212162311
212623n n f n n m m m m n n
n n n n y n f n h n U n U n U n U n U n U n U n U n ----==⎡⎤==+--+--⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
=---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
----=--+-----⎡⎤=+----⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+---⎢⎥⎣⎦
∑∑
因此全响应为。