高三数学专题讲座复习(高考一轮复习 必修一)

必修一专题讲座复习目录
第一讲集合 (1)
第二讲求值域十二法..............................................................................(2-4) 第三讲函数的单调性和奇偶性 (4)
第四讲指数函数....................................................................................(4-5) 第五讲巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域.............................................(5-6) 第六讲指数,对数函数 (6)
第七讲关于函数的对称性和周期性……………………………………………………(7-8) 第八讲函数问题中的4种错……………………………………………………………(8-11)
第一讲 集合
1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为个 2．设集合{}0
62=+-=mx x x M ，则满足{}M M =⋂6,3,2,1的m 的取值X 围是
3．已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x A ,6sin π，则A 的非空真子集个数有个
4．设集合
}4|||{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合{A x x ∈|且B A x ∉}=。

5．设集合}2|||{<-=a x x A ，}12
1
2|{<+-=x x x B ，且B A ⊆，则实数a 的取值X 围是。

6．函数
n y x =的x 、n 都属地集合{1,2,3,4,9}且x n ≠，若以所有的函数值为元素作为集合M ，则
M 中元素的个数为。

7.（2009年某某卷理）已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取
值X 围是。

8.（2009某某卷文）若{U n n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数}，{B n U n =∈是
3的倍数}，则
()U
A B =．
9.（2009某某卷理）若{}3A x R x =
∈<，{}21x B x R =∈>，则A B =．
10.（2009某某卷文） 已知集体A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值X 围
11.（2009文）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立
元”的集合共有个. 12
（
2009
某
某
卷
文
）
设
全
集
{}
1
lg |*<∈=⋃=x N x B A U ，若
{}4,3,2,1,0,12|=+==⋂n n m m B C A U ，则集合B= 。

13．已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝2
2{|0}(1)
x a
x x a -<-+． ⑴当a ＝2时，求A B ；
⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值X 围．
14.
}019|{22=-+-=a ax x x A }065|{2=+-=x x x B ,}082|{2=-+=x x x C ． （1）B A B A =，求a 的值； （2）φ≠B A ，且φ=C A ，求a 的值； （3）φ==C A B A ，求a 的值；
15.}034|{2=+-=x x x A ,}01|{2=-+-=a ax x x B ,}01|{2
=+-=mx x x C ，且A B A = ，C C A = ，求a ，m 的值.
16．已知下列集合： （1）{}5,,121≤∈+==k N k k x x A ；
（2）{}5,,22≤∈==k N k k x x A ；
（3）{}3
,,14,143≤∈-=+==k N k k x k x x A 或
(4){}N y N x y x y x A ∈∈=+=,,6),(4
问：（Ⅰ）用列举法表示上述各集合； （Ⅱ）对集合
1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与
1A 的关系．
17．（1）设
{}24<≤-=x x A ，{}4
2≥-<=x x x B 或．求B A ，B A ，A B C
R
)(．
必修一
（2）设集合{}21<≤-=x x M
，{}3+≤=k x x N ，若φ≠N M ．求k 的取值X 围．
第二讲 求值域十二法
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。

原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。

本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。

一、 基本知识
1． 定义：因变量y 的取值X 围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2． 函数值域常见的求解思路：
⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数
()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值
域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0
y 一定为0x 对应的函数值。

从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有
解的
y 得取值X 围。

特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。

⑸．其他。

3． 函数值域的求法
在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：
⑴．观察法；⑵．最值法；⑶．判别式法；⑷．反函数法；⑸．换元法；⑹．复合函数法；⑺．利用基本不等式法；⑻．利用函数的单调性；⑼．利用三角函数的有界性；⑽．图象法；⑾．配方法；⑿．构造法。

二、 举例说明
⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数()1y x =≥的值域。

)+∞
例2：求函数
y = [)1,+∞
⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

例3：求函数
2x y =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
例4：求函数2
256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。

例5：求函数
22122x y x x +=
-+的值域。

()1,1,2⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。

例6：求函数
2332x y x +=
-的值域。

22,,33⎛⎫⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例7：求函数ax b y cx d +=+，0,d c x c ⎛⎫≠≠- ⎪⎝⎭的值域。

,,a a c c ⎛⎫⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑸．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。

例8：求函数
y x =- 1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
⑹．复合函数法：对函数(),()y f u u g x ==，先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域，从而求出()y f u =的值域的方法。

例9：求函数
212
log (253)y x x =-++的值域。

49,8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
⑺．利用基本不等式求值域：
例10：求函数
1
y x x =+
的值域。

(][),22,-∞-⋃+∞ 例11：求函数21
2y x x
=+(0)x >的值域。

[)3,+∞
⑻．利用函数的单调性：
例12：求函数
11y x x =+-
提示：11
y x x =++-1x ≥，1,1x x +-故11
y x x =+-是减函数，因此当1x =时，max 2y =0y >，∴(
2y ∈。

例13：求函数12y x x =--
略解：易知定义域为
1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦，而
12y x x
=--在
1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦上均为增函数，∴
11112222y --=≤，故y ∈1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
⑼．利用三角函数的有解性：
例14：求函数
2cos 13cos 2x y x +=
-的值域。

[)1,3,5⎛
⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦ 例15：求函数2sin 2sin x y x -=+的值域。

1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常
用此方法）。

例16：求函数
31y x x =--+的值域。

[]4,4-
求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。

要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧。

,可以利用配方法求函数值域。

例17：求函数22y x x =-++的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由2
20x
x -++≥,可知函数的定义域为x ∈[－1，2]。

此时
221992()0,244x x x ⎡⎤
-++=--+∈⎢⎥⎣⎦
∴2
2x x -++302,函数的值域是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

⑿．构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例18：求函数
224548y x x x x =+++-+
解：原函数变形为
222
()(2)1(2)2f x x x =+++-+ 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD 正方形。

设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +22
(2)2x -+,
2(2)1x ++。

由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。

当A 、K 、C 三点共
线时取等号。

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。

第三讲 函数的单调性和奇偶性
[例1] 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求a 的取值X 围。

[例2] 判断函数
a x x f +-=3)(（R a ∈）在R 上的单调性
[例3 ] 已知函数)(x f ，)(x g 在R 上是增函数，求证：)]([x g f 在R 上也是增函数。

[例4] 求函数x
x y 1
+=的单调区间
[例5] 判断下列函数是否具有奇偶性 （1）2)1(3)1()(23++-+=x x x f （2）3
2)(x
x f =
（3）11)(-+-=x x x f
（4）2
211)(x x x f -⋅-=
（5）
x
x
x x f -+-=11)
1()( [例6] 函数)(x f 在),(∞+-∞上为奇函数，且当]0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(∞+∈x 时，求)(x f 的解析式。

[例7] 设)(x f 为奇函数，且在定义域)1,1(-上为减函数，求满足0)1()1(2
<-+-a f a f 的实
数a 的取值X 围。

[例8] 设)(x f 是定义在),0(∞+上的增函数，1)2(=f 且)()()(y f x f xy f +=，求满足不等式
2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值X 围。

第四讲 指数函数
例1 求函数y ＝(12
)x 2
－2x
的单调增区间和单调减区间．
解：令y ＝f (x )＝(12)x 2
－2x ，则函数f (x )可以看作函数y ＝(12
)t 与函数t ＝x 2
－2x 的复合函数．
因为y ＝(12)t
在(－∞，＋∞)上是减函数，
函数t ＝x 2－2x ＝(x －1)2
－1在(－∞，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上单调增函数，
所以函数f (x )＝(12
)x 2
－2x
的单调增区间是(－∞，1]；单调减区间是[1，＋∞)．
注：(1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的． (2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明．
(3)本题可进一步研究：函数f (x )＝(12
)x 2
－2x
的值域如何求？
由上面的结论可知：
t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，
所以0＜f (x )≤2，当且仅当x ＝1时，f (x )＝2，
因此，函数f (x )＝(12
)x 2
－2x
的值域为(0，2]．
注意：必须注意f (x )＝(12)x 2
－2x
＞0．
例2 判断函数f (x )＝a x ＋a －x
(a ＞0，且a ≠1)的奇偶性，并证明之． 解 函数f (x )的定义域是R ． 由于对定义域内任意x ，都有
f (－x )＝a －x ＋a x ＝f (x )，
所以函数f (x )＝a x ＋a －x
是偶函数．
解：(1)因为对人任意x ∈R ，3x
＋1≠0， 所以函数f (x )的定义域是R ．
(2)因为y ＝f (x )＝3x
－13x +1＝1－2
3x +1
设t ＝3x
，则y ＝g (t )＝1－2t+1
(t ＞0)．
设0＜t 1＜t 2，则
y 1－y 2＝2t 2+1－2t 1+1＝2(t 1－t 2)
(t 1+1)(t 2+1)
＜0，
所以函数y ＝g (t )是(0，＋∞)上的增函数．
所以y ＞1－2
0+1
＝－1．
所以f (x )的值域是(－1，＋∞)．
注意：可画出函数y ＝g (t )(t ＞0)的图象，由图象得y ＞－1．
(安排此问题是为了让学生通过3x
－13x +1，1－2
3x +1这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫)
(3)提问：计算f (－x )应该用3x
－13x +1，1－2
3x +1
哪一种形式计算更为方便呢？
对于任意x ∈R ，都有
f (－x )＝3－x －13－x +1＝1－3x 1＋3x ＝－3x －1
3x
+1
＝－f (x )， 所以f (x )＝3x
－1
3x +1
是奇函数．
(4)提问：计算f (x 1)－f (x 2)应该用3x
－13x +1 ，1－2
3x +1
哪一种形式计算更为方便呢？
对于R 上任意两个值x 1，x 2，设x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝(1－23x 1＋1)－(1－2
3x 2＋1)
＝
2
3x 2
＋1－2
3x 1＋1＝2(3x 1－3x 2
)
(3x 1＋1)(3x 2
＋1)
，
因为x 1＜x 2，y ＝3x
是单调增函数，
所以3x 1＜3x 2，所以3x 1－3x 2
＜0．
又因为 3x 1
＋1＞0，3x 2
＋1＞0， 所以 f (x 1)－f (x 2)＜0， 即 f (x 1)＜f (x 2)，
所以f (x )＝3x
－1
3x +1
是R 上的单调增函数．
总结对于f (x )＝a x －1
a x +1
(a ＞0，且a ≠1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析．
第五讲 巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域
有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。

现在介绍一种简便的方法供同学们参考。

一、 求复合函数的解析式
1、 已知f(2x －1)=3x 2
-4x+3,求f(x+3)的解析式
一般的方法是先利用换元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。

解：设2x-1=t,则x=
21+t ,所以f(t)=3(21+t )2
-4·21+t +3=4
7
21432+-t t , f(x+3)=47)3(21)3(432
++-+x x =744
32++x x
巧解：令2x-1=t+3,则x=
24+t ,所以f(t+3)=3(24+t )2
-4·24+t +3=744
32
++t t
所以f(x+3)=
744
32
++x x 2、 已知f(x 21-)=5-3x,求f(x+1)的函数解析式
解：设x 21-=t,所以x=212t -(t>0),f(t)=5-3·
2
12
t -=
2
7232+t f(x+1)=2
7)1(232
++x (x>-1)
练习：(1)已知：f(3x+8)=3x 2
+6x+9,求f(1-3x)的函数解析式 （2）已知f(43-x )=9x+8,求f(3x-8)的函数解析式
二、求函数的定义域 1、已知函数y=f(
2
3
5-x ) 的定义域为（3，13），求y=f(3x －8)的定义域 学生对这样的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是3x －8的
取值X 围，根据函数的定义域的概念：是使函数有意义的x 的值X 围，所以这题正确解法如下： 一般解法：解：依题意3<x<13，6<235-x <31,所以6<3x-8<31,解得133
14
<<x ，所以函数f(3x-8)的定义域为｛x|
13314
<<x ｝. 巧解：令235-x =3t －8,5136-=t x ,因为3<x<13,3<5136-t <13,解得133
14
<<t ，所以函数
f(3x-8)的定义域为｛x|13314
<<x ｝
练习：（1）已知y=f(3
26x
-)的定义域为（3，8），求y=f(8x －3)的定义域。

第六讲 指数,对数函数
1．(2005某某)函数
x
e x
f -=
11
)(的定义域是．
2.（2007某某理）函数3
)
4lg(--=x x y 的定义域是
3.（2007全国Ⅰ文、理）函数y=f(x)的图像与函数y=log 3x(x>0)的图像关于直线y=x 对称， 则f(x)=
4．(2005某某理、文)若函数
)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a=．
5.（2007某某理）若函数f(x) = 1222--+a
ax x 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 6．（2007某某理）设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 7．（2004某某文科）若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a>0,且a ≠1)的图象有两个公共点， 则a 的取值X 围是
8.（2001某某理科）设函数f(x)=(]⎩⎨⎧+∞∈∞∈-)
,1(x ,x log ,1-x ,281x ，则满足f(x)=41
的x 值为____________.
第七讲 关于函数的对称性和周期性
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。

在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，某某、某某两省的高考题均出现大题和小题。

下面我们就一些常见的性质进行研究。

一、函数的对称性 1、函数
()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2
a b
x +=的
对称点（1a b x +-，y 1），当1
x a b x =+-时，11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数
()y f x =图象上。

由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b
x +=对称。

（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。

） 2、函数
()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（
2
a b +，2c
）对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点 （2
a b +，2c
）
的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-，即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。

由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（2
a b +，2c ）对称。

（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。

） 3、函数
()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2
b a
x -=
对称。

证明：在函数()y f a x =+上任取一点（x 1，y 1）
，则11()y f a x =+，点（x 1，y 1）关于直线2
b a x -=对称点（
1b a x --，y 1）。

由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=，故点
（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。

由点（x 1，y 1）是函数()y f a x =+图象上任一点，因此
()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2
b a
x -=对称。

二、周期性
1、一般地，对于函数
()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

2、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。

证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--= ∴函数()y f x =的一个周期为2A 。

3、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1
(A)()
f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：略。

4、对于非零常数A ，函数
()y f x =满足1
()()
f x f x =-
，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：略。

三、对称性和周期性之间的联系
1、函数()y f x =有两根对称轴x =a ，x =b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。

已知：函数()y f x =满足
()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-（a ≠b ）
，求证：函数()y f x =
是周期函数。

证明：∵()()f a x f a x +=
-得()(2)f x f a x =-
()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =- ∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

2、函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=（a ≠b ）时，函数()
y f x =是周期函数。

（函数
()y f x =图象有两个对称中心（a ，
2c ）、（b ，2
c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。

）
证明：由()()f a x f a x c ++-=⇒
()(2)f x f a x c +-=
()()f b x f b x c ++-=⇒()(2)f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是以2b －2a 为周期的函数。

3、函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =）（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。

证明：略。

四、知识运用
2005高考中，某某、某某两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且某某卷的12题是一个错题。

现一并录陈如下，供大家参考。

1、（2005·某某理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解：()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，由(3)()f x f x +=
得(3)0f =，(2)0f =(5)0f ⇒=
(2)0f =(1)0(1)0f f ⇒-=⇒=∴(4)0f = ∴x =1，2，3，4，5时，()0f x =
这是答案中的五个解。

但是 (15)(153)(15)f f f -⋅=
-⋅+=⋅又 (15)(15)f f -⋅=-⋅ 知 (15)0f ⋅=而
0(15)(153)(45)f f f =⋅=⋅+=⋅ 知 1.5, 4.5,()0x x f x ===也成立，可知：在（0，6）内的解的
个数的最小值为7。

2、（2005·某某 19）设函数
()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。

⑴试判断函数()y f x =的奇偶性；
⑵试求方程()0f x =在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

解：⑴由(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+得函数()y f x =的对称轴为2x =，7x =。

由
前面的知识可知函数的一个周期为T=10。

因为函数()y f x =在[0，7]上只有(1)(3)0f f ==
可知
(0)0f ≠，(7)0f ≠
又 (3)0,(3)(310)(7)f f f f ==-=-且 ∴(7)0f -=
而 (7)0f ≠且(7)0f -≠，则(7)(7)f f -≠，(7)(7)f f -≠- 因此，函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数。

⑵由(3)(1)0f f ==，可得(11)(13)(7)(9)0f f f f ==-=-= 故函数()y f x =在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足()0f x =；从而可知函数()y f x =在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。

所以，函数()y f x =在[－2005，2005]上共有802个解。

第八讲 函数问题中的4种错
函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：
一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错
例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造
单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池
无盖）（1）、写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指
出其定义域.
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
错解：（1）污水处理池的长为x米，则宽为200
x
米，总造价
200200
400(22)248280200 y x
x x
=+⨯+⨯⨯+⨯
=
324
800()16000(016) x x
x
++<≤
（2
）
324
800()160008001600044800
y x
x
=++≥⋅=，当且仅当
324
x
x
=，
即18
x==
最低造价为44800元.
错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域016
x
<≤是不严格的，应由已知条件进一步缩小X围：12.516
x
≤≤.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为18
x=，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.
正解：（1）
324
800()16000,
y x
x
=++
200
16,12.5
x
x
≤∴≥，则定义域为[]
12.5,16
（2）长和宽分别为16米，12.5米时，总造价最低且为45000元.
二、由于对实际问题理解不全面而致错
例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：/
km小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l（单位：m），且当车速为50(/
km小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？
⎛⎫
⎪
⎝⎭
车速
车流量=
车距+车身长
错解：2
d kv l
=，将50,
v d l
==代入得
1
2500
k=，2
1
2500
d v l
∴=，又将
1
2
d l
=代入得
v=2
1
(
2500
d v l v
=≥，
将
2
10001000
(
(1)
2500
v v
Q v
v
d l
l
==≥
+
+
，
100025000
1
()
2500
v l
l
v
≤=
+
25000
50
v
l
∴==
max
当且仅当时,Q
综上所知：50(/)
v km h
=时,车流量Q取取最大值.
错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即
虽然车速要求不低于()/
km h，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.
正解：依题意，得21
(2
1 (2500l v d v l v ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，
则2
1000(310002
1000((1)2500v
v l v Q v d l v v l ⎧≤⎪⎪
⎪==⎨+⎪
>⎪+⎪⎩
，显
然，当v ≤时，Q 是v 的增函
数，
v ∴=
max 1000332
v Q l l =
=，
当
v >时
，
100025000
1()2500v l l v ≤=
+，当且仅当
50
v =时，
max 25000
Q l
=
，综上所述，当50(/)v km h =时车流量Q 取到最大值. 三、结果与事实不符而致错
例3、WAP 手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。

假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。

WAP 手机上网不收通话费和漫游费。

（1）写出上网时间x 分钟与所付费用y 元之间的函数关系式； （2）12月小王WAP 上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP 上网费，那么他上网的时间是多少？
错解：1）设上网时间为x 分钟，由已知条件所付费用y 关于x 的函数关系式为
（2）当12006020=⨯=x
分钟，500>x ，应付0.151200180y =⨯=元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。

错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100分钟，与事实不符.
正解：（1）设上网时间为x 分钟，由已知条件所付费用y 关于x 的函数关系式为 （2）当12006020=⨯=x 分钟，500>x ，应付135)5001200(15.030=-+=y 元， （3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。

四、时间间隔计算出错 例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是
a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率是多少？
错解：设第一年某月的产值为b ，则第二年相应月的产值是11
(1)b a +，依题意所求增长率是
1111(1)(1)1b a b
a b
+-=+-.
错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式(1)x y N p =+，对于x 往往指基数所在时间后跨过
时间的间隔数.
正解：不妨设第一年2月份的产值为b ，则3月份的产值为(1)b a +，4月份的产值为2
(1)b a +，依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12个月，故第二年2月份产值是12
(1)b a +，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相
0,010.5,16030,60500
300.15(500),500x x x y x x x <<⎧⎪≤<⎪
=⎨
≤≤⎪⎪+->⎩
应月的增长率为：
1212(1)(1)1b a b
a b
+-=+-. 函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
变式练习题
1、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，表达式为
解析：由A 到B 共用时15060 2.5÷=，停留1小时距离不变，由B 返回时距离逐渐减小，
60 (0t 2.5)150 (2.5<t 3.5)15050( 3.5) (3.5<t 6.5)t x t ≤≤⎧⎪
∴=≤⎨⎪--≤⎩
2、某种产品每件80元可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为
解析：设售出件数为
y 件，定价为x 元，则有8030x y =⎧⎨
=⎩或120
20x y =⎧⎨=⎩，设一次函数为y kx m =+，则有13080;20120,450
k k m k m m ⎧=-⎪
=+=+∴⎨⎪=⎩，因此一次函数为1504y x =-+.另因0y >，则
200x <，又0x >，因此可得0200x <<，即有1
504
y x =-+，()0,200x ∈.
3、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米(0<b<a)， 再前进c 千米，则此人离起点的距离y 与时间x 的关系示意图是( )．
解析：观察排除法.因“前进了a 千米后休息了一段时间”， 排除A ；接着“又原路返回b 千米(0<b<a)，”再排除B ，D ，应选C
4、开始时水桶甲中有16升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线
16kt y e -=⨯（k 是正常数），假设经过2分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟
时水桶甲的水剩余2升？ 解析：由题意，当2t
=时，8y =，即2816k e -⨯=⨯，故1
2
k e -=
，
设经过t 分钟时水桶甲的水剩余2升，则216kt
e -=⨯，11()28t =，13211
()()23
t =，6t = 答：经过6分钟时水桶甲的水剩余2升
第一讲 集合
1、12
2、5m =或7m =或(26,26)m ∈-
3、126
4、[1,3]
5、[0,1]
6、14
7.a ≤1 解析：因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

8
{}
2,4,8解法：1
{1,2,3,4,5,6,7,8}
U =，则
{1,3,5,7},{3,6,9},
A B ==所以
{1,3,5,7,9}A B =，所以
(){2,4,8}U
A B =
9.（0，3）解析：因为{}{}|33,|0,A x x B x x =
-<<=>所以(0,3)A
B =
10. a ≤1 解析：因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

11.6 解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与
k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：
{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.
12.{2，4，6，8} 解析：}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=⋃=B A U
}9,7,5,3,1{=⋂B C A U }8,6,4,2{=B
13． 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴A
B ＝（4，5）．
（2）∵B ＝（2a ，a 2
＋1），
当a ＜
1
3
时，A ＝（3a ＋1，2） 要使B ⊆A ，必须2231
12a a a ≥+⎧⎨+≤⎩
，此时a ＝－1；
当a ＝1
3时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在；
当a ＞1
3
时，A ＝（2，3a ＋1）
要使B ⊆A ，必须2
22
131
a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3．
综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值X 围为[1，3]∪{－1} 14．（1）因为B A B A =，此时当且仅当B A =，又因为}3,2{=B ，由韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立，即5=a ； （2）由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，因为φ≠B A ，且φ=C A ，故只可能3A ∈，所以01032=--a a ，也即5=a 或2=a ，由（1）可得2=a ；
（3）因为φ==C A B A ，此时只可能2A ∈，有01522
=--a a ，也即5=a 或3-=a ，由（1）可得3-=a ．
15.由题意:A={1,3}，A B A B A =∴⊆，又因为}0))1()(1(|{=---=a x x x B {1,1}{1}.(2)B a B a ∴=-==或时
当{
}1,1-=a B 时，有31=-a ，即4=a ；{}1=B 时，2=a ； A C C C A =∴⊆
当C φ=时,C 中方程无根，即2
4022m m ∆=-<⇒-<<;
当C φ≠时，若{
}1=C ，有011=+-m 即2=m ； 若{}3=C ，有0139=+-m 即310=m ；检验当310=m 时，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=31,3C ，不满足C C A = ，
故3
10=m 舍去
若{
}3,1=C 时，m 无解 由上述得：4=a 或2=a ；22<≤-m ． 16. (Ⅰ)⑴{}{}11,9,7,5,3,15,,121=≤∈+==k N k k x x A
⑵{}{}10,8,6,4,2,05,,22=≤∈==k N k k x x A ；
⑶{}
{}13,11,9,7,5,3,1,13,,14,143-=≤∈-=+==k N k k x k x x A 或；
⑷
{}{})0,4(),1,3(),2,2(),3,1(),4,0(,,6),(4=∈∈=+=N y N x y x y x A
（Ⅱ）对集合
1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A 、3A 所表示的集合都是奇数集；
2A 所表示的集合都是偶数集；31A A =．
当021=x x 时，1x 和2x 中必有之一不为0（∵21x x <）
∴02
22121>++x x x x
当021<x x 时，0)(212
21222121>-+=++x x x x x x x x 在上面讨论结合（1）和（2）有0)()(12<-x f x f
∴ 函数在R 上是减函数
[例3 ] 证：任取1x ，R x ∈2
且21x x <则因为)(x g 在R 上是增函数
所以)()(21x g x g < 又 ∵)(x f 在R 上是增函数 ∴)]([)]([21x g f x g f <∴)]([x g f 在R 上是增函数
结论：同增异减：)(u f y =与)(x g u =增减性相同（反），函数)]([x g f y =是增（减）函数。

[例4] 解：首先确定义域：
{}0≠x x ∴ 在)0,(-∞和),0(∞+两个区间上分别讨论
任取1x 、2
x ),0(∞+∈且21x x <
则2
12112112212)(1
1)()(x x x x x x x x x x x f x f -+-=--+=-
)1
1)((2
112x x x x --=
要确定此式的正负只要确定2
11
1x x -的正负即可
这样，又需判断2
11
x x 大于1还是小于1，由于21x x 的任意性。

考虑到要将),
0(∞+分为)1,0(与),1(∞+
（1）当)1,0(,21∈x x 时，01
12
1<-x x ∴0)()(12<-x f x f 为减函数 （2）当1x ,),1(2∞+∈x 时，01
12
1>-x x ∴0)()(2>-x f x f 为增函数 同理（3）当)0,1(,21-∈x x 时，为减函数
（4）当)1,(,21--∞∈x x 时，为增函数
[例5] 注：对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-成立，则称)(x f y =为偶函数。

对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-成立，则称)(x f y =为奇函数。

解：（1）函数与定义域为R x x x x x f 32)1(3)1()(323+=++-+= )(3)(3x f x x x f -=--=-∴)(x f 为奇函数
（2）函数的定义域为R
又 ∵
)()()(3
232x f x x x f ==-=-∴)(x f 为偶函数
（3）函数的定义域为{
}1∴)(x f 为非奇非偶函数 （4）函数的定义域为{}1,1-，此时0)(=x f ∴)(x f 既是奇函数又是偶函数
（5）由011≥-+x
x 得11<≤-x ，知定义域关于原点不对称
∴)(x f 既不是奇函数也不是偶函数
[例6] 解：设),0(∞+∈x 则)0,(-∞∈-x ∴)1()1)(()(+=---=-x x x x x f
又 ∵)(x f 在R 上为奇函数 ∴)1()()(+=-=-x x x f x f ∴ 当),0(∞+∈x 时，)1()(+-=x x x f ∴)1()(+-=x x x f
[例7] 解：由
)(x f 为奇函数知：)1()]1([)1()1(222-=--=--<-a f a f a f a f
由
)(x f 是减函数知：112->-a a ∴⎪⎩
⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1111111122
a a a a 解得10<<a [例8] 解：
)3()3()(2x x f x f x f -=-+
又)4()2()2()2(22f f f f =+==
∴2)3()(≤-+x f x f 化为)4()3(2
f x x f ≤-
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧>->≤-030432x x x x 解得43≤<x 第六讲 指数,对数函数
1．()0,∞-2．())4,3(3, ∞-3．x
34．225．[]0,1-6．[)+∞,5 7．⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,08． 3。