内蒙古呼伦贝尔市大杨树二中2015-2016学年高一上学期期末数学模拟试卷 含解析

2015-2016学年内蒙古呼伦贝尔市大杨树二中高一（上)期末数学
模拟试卷(2）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

把答案填在答题卡上
1．已知集合S={x｜x≤﹣1或x≥2｝，P={x｜
a≤x≤a+3｝,若S∪P=R，则实数a的取值集合为( ）A．｛a｜a≤0}B．｛a|0≤a≤1｝C．{a|a=1｝D．｛a｜a=﹣1｝
2．设函数f(x)=则f(f(2)）=（)
A．0 B． C．1 D．2
3．下列命题正确的是（）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4．函数的定义域为（）
A．｛x|x≥﹣1｝B．{x|x≠2}C．［﹣1,2）∪(2，+∞) D．(﹣1，2)
5．直线3x+2y+6=0和2x+5y﹣7=0的交点坐标为（）
A．（﹣4，﹣3）B．（4,3）C．（﹣4,3）D．（3，4）
6．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的侧面积为（)
A．πB．2πC．3πD．4π
7．已知点（3，M）到直线x+y﹣4=0的距离等于1，则m等于（)
A．B．﹣C．﹣D．或﹣
8．已知，则a、b、c之间的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
9．已知过点（﹣1，3），（2，a）的直线的倾斜角为45°，则a的值为（）
A．6 B．4 C．2 D．0
10．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）
A．8：27 B．2:3 C．4：9 D．2：9
11．三次函数f（x）=x3﹣3x+1的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
12．若f(x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时，f(x）=，那么当x＜0时，f（x)=( ）
A．﹣ B．C．﹣D．
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上。

13．幂函数y=f(x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．
14．2log510+log50.25= ．
15．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于
16．如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形,则在下列命题中正确的有．(填上所有正确命题的序号）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°．
三、解答题:(本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡上作答17．已知集合A=（2,4),B=（a，3a）
（1）若A⊆B,求实数a的取值范围;
（2)若A∩B≠∅,求实数a的取值范围．
18．已知直线l过点A（﹣3，4）
（1）若l与直线y=﹣2x+5平行，求其一般式方程；（2)若l与直线y=﹣2x+5垂直,求其一般式方程；（3）若l与两个坐标轴的截距之和等于12，求其一般式方程．
19．已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和．
（1）求该圆台母线的长；
（2）求该圆台的体积．
20．已知f(x）=，若f(a﹣2）+f（a)＞0,求a 的取值范围．
21．某商品在近30天内每件的销售价格P(元）与时间t（天）的函数是：P=
该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是：Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N*），求这种商品的日销售金额的最大值．
22．如图所示，M、N、K分别是正方体ABCD﹣
A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证:
（1）AN∥平面A1MK；
(2）MK⊥平面A1B1C．
2015-2016学年内蒙古呼伦贝尔市大杨树二中高一(上）
期末数学模拟试卷(2）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

把答案填在答题卡上
1．已知集合S=｛x｜x≤﹣1或x≥2｝，P=｛x｜
a≤x≤a+3}，若S∪P=R，则实数a的取值集合为（) A．｛a｜a≤0}B．{a|0≤a≤1} C．｛a|a=1｝ D．｛a｜a=﹣1｝
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】数形结合;不等式的解法及应用；集合．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵集合S=｛x|x≤﹣1或x≥2},P={x｜a≤x≤a+3},S∪P=R，
∴，解得a=﹣1．
∴实数a的取值集合为{a|a=﹣1｝．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．设函数f（x）=则f（f（2）)=（）A．0 B． C．1 D．2
【考点】函数的值．
【专题】函数思想;定义法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式代入即可．
【解答】解：∵f(2）=，f（)=2×﹣1=1﹣1=0，∴f（f(2））=0,
故选:A．
【点评】本题主要考查函数值的计算,根据分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键．比较基础．
3．下列命题正确的是（）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C 正确;利用面面垂直的性质可排除D．
【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；
C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a,故C正确；
D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交,排除D．
故选C．
【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．
4．函数的定义域为（）
A．｛x｜x≥﹣1} B．{x｜x≠2｝C．[﹣1，2）∪(2，+∞）D．（﹣1，2）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】对应思想;定义法;函数的性质及应用．
【分析】根据函数f(x）的解析式，列出方程组,求出解集即可．
【解答】解:∵函数，
∴，
解得x≥﹣1或x≠2，
∴f(x)的定义域为［﹣1，2)∪(2,+∞)．
故选：C．
【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
5．直线3x+2y+6=0和2x+5y﹣7=0的交点坐标为（)
A．（﹣4，﹣3）B．(4，3) C．（﹣4,3）D．（3，4）【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】方程思想;综合法;直线与圆．
【分析】直接联立两直线方程组成的方程组求解两直线的交点坐标．
【解答】解：由题意得：
,
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为( ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个圆锥，代入圆锥侧面积公式，可得答案．
【解答】解:由已知中的三视图可得该几何体是一个圆锥，
圆锥的底面直径为2,故底面半径为1，
圆锥的母线长为2，
故圆锥的侧面积S=πrl=2π，
故选:B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
7．已知点（3，M）到直线x+y﹣4=0的距离等于1,则m等于( ）
A．B．﹣C．﹣D．或﹣
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】直线与圆．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：∵点（3，m）到直线x+y﹣4=0的距离等于1，
∴=1，
解得m=或﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
8．已知，则a、b、c之间的大小关系为( ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵利用对数函数，指数函数的图象可得：log＞=1＞0.20.5＞0＞lg0。

4，
∴a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,属于基础题．
9．已知过点（﹣1，3），（2,a）的直线的倾斜角为45°，则a的值为（）
A．6 B．4 C．2 D．0
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】方程思想;定义法；直线与圆．
【分析】根据直线的倾斜角求出斜率,再利用两点的坐标求出斜率，列出方程求出a的值．
【解答】解：过点（﹣1，3），(2，a)的直线的倾斜角为45°，
所以直线的斜率为k=tan45°=1,
即=1;
解得a=6．
故选：A．
【点评】本题考查了直线斜率的计算问题，是基础题目．
10．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）
A．8：27 B．2:3 C．4：9 D．2：9
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】据体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论．
【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方,可知两球的半径比为2：3,
从而这两个球的表面积之比为4:9．
故选C．
【点评】本题是基础题,考查相似比的知识，考查计算能力,常考题．
11．三次函数f（x）=x3﹣3x+1的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用;导数的综合应用．
【分析】求导f′(x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）,从而判断函数的单调性，从而结合零点的判定定理求解即可．
【解答】解：∵f(x）=x3﹣3x+1，
∴f′(x）=3x2﹣3=3（x+1)（x﹣1），
∴f(x）在（﹣∞,﹣1），（1，+∞)上是增函数,在（﹣1,1）上是减函数；
而f（﹣1）=﹣1+3+1=3＞0，f（1）=1﹣3+1=﹣1＜0，故f（x）在(﹣∞，﹣1），(1，+∞），（﹣1，1)上各有一个零点,
故三次函数f（x）=x3﹣3x+1的零点个数为3，
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用．
12．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）=，那么当x＜0时，f（x)=（）
A．﹣ B．C．﹣D．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解:若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=，
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当﹣x＞0时，f（﹣x)==﹣f（x），
则f（x)=﹣，x＜0，
故选:C
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质利用转化法进行求解是解决本题的关键．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上。

13．幂函数y=f(x)的图象过点（2,），则f（x)的解析式为．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由题意设幂函数y=f（x）=x a，从而解得a．【解答】解：设y=f(x）=x a,
则2a=，
故a=﹣,
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的性质应用，属于基础题．
14．2log510+log50。

25= 2 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】根据对数运算法则nlog a b=log a b n和
log a M+log a N=log a(MN)进行求解可直接得到答案．【解答】解:∵2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，解题的关键是对对数运算法则的熟练程度，属于基础题．
15．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1,若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法;空间角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A1B与C1E所成角．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
则A1（0，0,2），B（2，0，0），C1(2,2，2）,E（0，1,0），=（2，0，﹣2），=(﹣2,﹣1，﹣2），
设异面直线A1B与C1E所成角为θ，
则cosθ===0，
∴θ=90°．
∴异面直线A1B与C1E所成角等于90°．
故答案为:90°．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
16．如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有①③④．（填上所有正确命题的序号）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°．
【考点】命题的真假判断与应用;异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．
【解答】解:在四面体ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN,PQ⊄平面ACD,MN⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC,∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．
∵PN⊥PQ,∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45°．由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴，，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．
综上可知：①③④都正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基础题．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请在答题卡上作答17．已知集合A=(2，4），B=(a,3a)
(1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】对应思想；定义法;集合．
【分析】（1)根据A⊆B时，满足，求出a的取值范围;
（2）根据A∩B≠∅时，满足2＜a＜4或2＜3a＜4，求出a的取值范围．
【解答】解：集合A=（2，4），B=（a，3a）；
（1）当A⊆B时,应满足，
解得≤a≤2，
所以实数a的取值范围是≤a≤2；
（2）当A∩B≠∅时，应满足2＜a＜4或2＜3a＜4，解得2＜a＜4或＜a＜,
即＜a＜4；
所以实数a的取值范围是＜a＜4．
【点评】本题考查了集合的基本运算与应用问题，是基础题目．
18．已知直线l过点A（﹣3，4）
（1）若l与直线y=﹣2x+5平行，求其一般式方程；（2)若l与直线y=﹣2x+5垂直，求其一般式方程; (3）若l与两个坐标轴的截距之和等于12,求其一般式方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想;直线与圆．
【分析】(1）设直线l的方程为：y=﹣2x+m，把点A(﹣3，4）代入解得m即可得出．
（2）设直线l的方程为:y=x+n,把点A（﹣3,4）代入解得n即可得出．
（3)设直线l的方程为:=1,把点A（﹣3，4)代入可得+=1，与a+b=12联立解得a，b即可．
【解答】解：（1）设直线l的方程为：y=﹣2x+m，把点A（﹣3，4）代入可得：4=﹣2×（﹣3)+m，解得m=﹣2，可得直线l的方程为：2x+y+2=0．
（2)设直线l的方程为:y=x+n,把点A（﹣3，4）代入可得：4=×（﹣3)+n,解得n=，可得直线l的方程为：x﹣2y+11=0．
(3）设直线l的方程为：=1，把点A（﹣3，4)代入可得+=1，与a+b=12联立解得:,或．
可得直线l的方程为：x+3y﹣9=0或4x﹣y+16=0．【点评】本题考查了相互平行相互垂直的直线斜率之间的关系、直线的截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和．
(1）求该圆台母线的长；
（2)求该圆台的体积．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】(1）求出圆台的上底面面积,下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长；
（2）利用勾股定理求得圆台的高h，根据圆台的体积公式求出它的体积即可．
【解答】解：（1）设圆台的母线为l，则由题意得π（2+6）l=π•22+π•62，
∴8πl=40π，l=5．
∴该圆台的母线长为5；
（2)设圆台的高为h,由勾股定理可得，∴圆台的体积V=π×（22+62+2×6）×3=52π．
【点评】本题考查了圆台的侧面积和表面积公式、体积公式，考查计算能力,运算要细心．
20．已知f（x）=，若f（a﹣2）+f（a）＞
0，求a的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】先根据分段函数，得到函数的单调性与奇偶性，再根据单调性去掉“f”，解一元二次不等式可求出a的取值范围．
【解答】解：由题意，函数f(x）=在R上
单调递增,且为奇函数．
而f（a﹣2）+f（a）＞0，
则a﹣2＞﹣a，解得a＞1．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象及其性质，以及一元二次不等式的解法，解题的关键判定函数的单调性，属于基础题．
21．某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t(天）的函数是：P=
该商品的日销售量Q(件）与时间t（天）的函数关系是:Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N＊），求这种商品的日销售金额的最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题．
【分析】先设日销售金额为y元,根据y=P•Q写出函数y的解析式，再分类讨论:当0＜t＜25，t∈N+时，和当25≤t≤30,t∈N+时,分别求出各段上函数的最大值，最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可．
【解答】解:设日销售金额为y元，则y=P•Q
y=
当0＜t＜25，t∈N+时,
y=﹣t2+20t+800=﹣（t﹣10)2+900，
∴t=10时，y max=900元．
当25≤t≤30,t∈N+时，
y=t2﹣140t+4000=（t﹣70)2﹣900，
∴t=25时,y max=1125元．
综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元．【点评】本小题主要考查建立函数关系、分段函数等基础知识，解决实际问题的首要步骤：阅读理解，认真审题．本题的函数模型为分段函数,求分段函数的最
值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
22．如图所示，M、N、K分别是正方体ABCD﹣
A1B1C1D1的棱AB,CD，C1D1的中点．求证:
（1）AN∥平面A1MK；
(2）M K⊥平面A1B1C．
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想;数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）,要证明AN∥平面A1MK，只需证明AN 平行于平面A1MK内的一条直线，容易证明AN∥A1K，从而得证；
(2)，要证明平面A1B1C⊥MK，只需证明BC1⊥平面
A1B1C，BC1∥MK即可，从而问题得以解决．
【解答】证明:（1）连接KN，由于K、N为CD，C1D1的中点,
所以KN平行且等于AA1，
AA1KN为平行四边形⇒AN∥A1K，
而A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK，
从而AN∥平面A1MK．
（2）连接BC1，由于M、K为AB、C1D1的中点，所以：KC1与MB平行且相等,
从而：KC1MB为平行四边形，
所以:MK∥BC1，
而：BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1，
从而：BC1⊥平面A1B1C，
所以：MK⊥平面A1B1C．
【点评】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用，要注意其中的转化思想的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．。