高考数学(新课标通用版,文)一轮复习课件+备考训练：选修44+坐标系与参数方程+(6份)141(2)

开卷速查 规范特训
课时作业 实效精炼
开卷速查(01) 坐标系
一、填空题
1．设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为__________．
解析：∵点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6， ∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，
又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，
∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3， 即3x －y －2＝0，
∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，
可整理为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－θ＝1或 ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－4π3＝1. 答案：ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π6＝1或3ρcos θ－ρsin θ－2＝0或 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－4π3＝1. 2．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是__________．
解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ
＝1，ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π3(k ∈Z )，故点P 的极坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫2，2k π－π3(k ∈Z )． 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，2k π－π3(k ∈Z ) 3．在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于
A 、
B 两点，则|AB |＝__________.
解析：注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x ＝1，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，圆心(2,0)到直线x ＝1的距离等于1，因此|AB |＝2
4－1＝2 3.
答案：2 3
4．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为__________．
解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心，以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4.
答案：4
5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________．
解析：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.
答案：ρ＝2cos θ
6．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是
__________．
解析：圆ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ化为直角坐标为x 2＋(y －2)2＝4，直线θ＝π6也就是过原点且斜率为tan θ＝tan π6＝33的直线，方程为y ＝33x ，圆心到直线的距离为d ＝|2|1＋13
＝ 3. 答案： 3
7．在极坐标系中，与极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为__________．
解析：圆方程为x 2＋y 2＝16，圆心到直线l 的距离为d ＝16－4＝2 3.又直线l 与极轴垂直相交，故直线l 的普通方程为x ＝23，极坐标方程为ρcos θ＝2 3.
答案：ρcos θ＝2 3
8．在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2到曲线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝322上的点的最短距离为__________．
解析：将极坐标系中的点和曲线化为直角坐标为P (0,1)，l ：x －y －3＝0，则所求最短距离为点P 到直线l 的距离，为2 2.
答案：2 2
9．极坐标系下，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2与圆ρ＝2的公共点个数是__________．
解析：直线方程为x ＋y ＝2，圆的方程为x 2＋y 2＝2，圆心到直线的距
离d ＝22
＝2＝r ，故直线与圆相切，只有一个公共点． 答案：1
10．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，π2，半径为5，直线θ＝α⎝ ⎛⎭
⎪⎫0≤α≤π2，ρ∈R 被圆截得的弦长为8，则α的值等于__________． 解析：圆C 的方程为x 2＋(y －6)2
＝25，设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，ρ∈R 为y ＝kx ，则圆心到直线的距离d ＝
6
1＋k 2＝3，解得k ＝3，故α＝π3. 答案：π3 11．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为__________．
答案：3
12．在极坐标系下，M 为曲线ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12上任意一点，点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫23，2π3，则|PM |的最小值为__________． 答案：43＋12
13．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为__________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫233，π6 14．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是__________．
解析：圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4.
直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为
x ＋y －7＝0.
圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－7|2
＝42， 所以圆上的动点到直线的距离的最大值为42＋2.
答案：42＋2 二、解答题
15．已知圆的极坐标方程为：ρ2
－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x 2＋y 2的最大值和最小值．
解析：(1)圆的极坐标方程化为：
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.
直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.
(2)由(1)知圆心(2,2)，半径r ＝2，圆心到原点O 的距离d ＝22，|OP |max ＝32，|OP |min ＝2，
所以x 2＋y 2的最大值为18，最小值为2.
16．[2014·唐山市期末]已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；
(2)P是l上点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解析：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为
(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则
由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22.
，
又ρ2＝2，p1＝2
cosθ＋sinθ
所以2ρ
＝4，
cosθ＋sinθ
故点Q轨迹的极坐标方程为
ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．。