最新市第一中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

2019届贵州省铜仁市第一中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若复数，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．方程2
2
123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是
A ． 30m -<<
B ． 32m -<<
C ． 34m -<<
D ． 13m -<<
4．若函数图象上点处的切线平行于直线，则
A ． ﹣1
B ． 0
C ．
D ． 1
5．已知实数x ，y 满足，则的取值范围为
A ． [2,5]
B ．
C ．
D ．
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为 A ． 121 B ． 81 C ． 74 D ． 49 7．已知函数与轴交点为，则 A ．
B ．
C ．
D ．
8．若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是 A ． B ． C ． D ． 9．下列选项中，说法正确的是 A ． 命题“，”的否定为“，” B ． 命题“在中，，则”的逆否命题为真命题
此卷只装订不密封
班
级
姓
名
准考
证
号
考场
号
座位
号
C ． 若非零向量
、满足，则与共线
D ． 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件
10．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象
A ． 向左平移个单位长度
B ． 向左平移个单位长度
C ． 向右平移个单位长度
D ． 向右平移个单位长度
11．设、 分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数，则使得成立的的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．计算=___________.
14．已知，则的最小值为__________．
15．已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
_____________.
16．设是定义在上以为周期的偶函数，在区间上是严格单调递增函数，且满足
，，则不等式的解集为_____________________ 三、解答题 17．已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 18．数列满足：，（） （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前999项和. 19．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,(0)F c c >到直线的距离为
32．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程； (2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 20．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围； （3）求证：.
21．在极坐标系中，已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴方向为轴正方向，
取与极坐标系相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为.
（1）写出圆的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）已知点，直线与圆交于、两点，求的值.
22．函数，其最小值为.
（1）求的值；
（2）正实数满足，求证：.
2019届贵州省铜仁市第一中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．A
【解析】 试题分析：解一元二次不等式，解得或，∴或， 又∵，∴，即.
考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.
2．B
【解析】
【分析】
根据复数的除法法则化简，求出z 的模，就是其共轭复数的模.
【详解】 因为，所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，复数的模及共轭复数的概念，属于中档题.
3．A
【解析】由题意知， ()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.
4．D
【解析】
【分析】 根据导数的几何意义知，，即可求出a.
【详解】 因为，切线与直线平行，所以，解得，故选D.
【点睛】
本题主要考查了导数的求导法则，导数的几何意义，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点A 或B
点时，的取值即可. 【详解】 由约束条件，画出可行域如图： 由图象可知，当直线过点A 时，z 有最小值2，当直线过点 时，z 的最大值为5，所以z 的取值范围为，故选A. 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划及利用几何意义求最值，属于中档题. 6．B 【解析】满足 ，第一次循环： ；满足 ，第二次循环： ；满足 ，第三次循环： ；满足 ，第四次循环：
；满足 ，第五次循环： 。

故选B 。

7．D 【解析】 【分析】 由函数与x 轴交点为，代入可求出m ，然后直接求即可. 【详解】
因为与轴交点为，所以，
，因此
，所以
，选D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，对数函数，属于中档题.
8．B
【解析】
【分析】
根据所给关系式，分析的取值范围即可通过排除法选出答案.
【详解】
由知,可排除选项C,D,又因为,所以，即，排除选项A，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，及利用特殊点区分图象，属于中档题.
9．C
【解析】
【分析】
根据命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，逐一验证各选项.
【详解】
对于A,命题的否定需要把存在性量词改成全称量词，故A选项错误，对于B,当时，若存在，则错误，故B选项错误，对于C，由可得：，化简得，所以与共线正确，对于D ，当时，若首项是负数，则数列不是递增数列，故选项D错误.
【点睛】
本题主要考查了命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，属于中档题.
10．B
【解析】
【分析】
由五点作图法求出函数的表达式，再由平移变换知识得到结果.
【详解】
, ，
, , ,
解得：
，所以，
，
，
根据平移原则，可知函数向左平移个单位，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
11．D
【解析】
【分析】
求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P、Q两点间的最大距离.
【详解】
设椭圆上点Q ，则，因为圆的圆心为，半径为，所以椭圆上的点与圆心的距离
为，
所以P、Q 两点间的最大距离是.
【点睛】
本题主要考查了圆与椭圆，两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的最值，属于中档题.
12．C
【解析】
【分析】
函数在R上为偶函数，由知当时，，所以函数在上是增函数，所以原不等式转化为即，即可求出.
【详解】
因为,
所以函数为偶函数，又
知当
时，，
所以函数在上是增函数，所以原不等式转化为即，所以，解得，故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，含绝对值的不等式，属于中档题.
13．
【解析】原式=
14．
【解析】
【分析】
根据知，且，所以，
故
，化简后利用均值不等式即可求解.
【详解】
因为知，又，所以，而
，经检验等号成立,故填.
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属于中档题.
15．
【解析】若函数有个零点，即方程有个解
与有个交点，记
则过原点作的切线，切线斜率为
则实数的取值范围是
点睛：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题。

本
题中根据题意可知，原问题等价于与有个交点，这个是解决问题的关键，属中档题
16．
【解析】
【分析】
根据周期性可知，因为，，所以关于的对称点为，且，，因此不等式的解为.
【详解】
根据函数周期为2且为偶函数知，
，因为
，且根据对称性知函数在上单调递减，所以的解为，故填.
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，单调性，及变形推理能力，属于难题.
17．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即
可得到（2）由x 的范围可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域.
【详解】
（1）f(x)＝2sinx(sinx ＋cosx)＝
＋ sin2x＝sin(2x －)＋.
函数f(x)的最小正周期为T＝π
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z
（2）当x∈[0，]时，2x －∈[－， ]， sin(2x －)∈[－，1]，
f(x)∈[0，1＋]．所以当x∈[0，]时，函数f(x)的值域为[0，1＋]．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式及函数的单调性和值域，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）方程两边减3后，取倒数可化简得，即可证明（2
）化简
，相加相消求和即可. 【详解】
（1）数列满足：，（）
，
所以，，
即，数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，解之得：；
所以，
于是，
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.
19．(Ⅰ) 24
x y
= (Ⅱ)
00
220
x x y y
--= (Ⅲ)
9
2
【解析】试题分析：（1）设拋物线C的方程为24
x cy
=，利用点到直线的距离,求出1
c=,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线,
PA PB的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般
式,找出共同点,得到直线AB的方程；（3）由拋物线定义可知
12
1,1
AF y BF y
=+=+，联立直线与抛物线方程,消去x,得到一个关于y的一元二次方程,由韦达定理求得1212
,
y y y y
+的值,还有00
2
x y
=+,将AF BF
⋅表示成
y的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线C的方程为24
x cy
=，
2
=0
c>，
解得1
c=，所以拋物线C的方程为24
x y
=.
（2）拋物线C的方程为24
x y
=，即2
1
4
y x
=，求导得
1
2
y x
'=，
设()()
1122
,,,
A x y
B x y (其中
22
12
12
,
44
x x
y y
==)则切线,
PA PB的斜率分别为
12
11
,
22
x x，
所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即2
1
1
122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，
同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=， 2002220x x y y --=， 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解，
所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.
（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+，
联立方程002220
{ 4x x y y x y --==，消去x 整理得()222
00020y y x y y +-+=.
由一元二次方程根与系数的关系可得22
12001202,y y x y y y y +=-=， 所以()22
1212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+
又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+， 所以2
22200000019
21225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭， 所以当01
2y =-时， AF BF ⋅取得最小值,且取得最小值为9
2.
考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.
【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PA PB 的方程,得出直线AB 的方程;第三问先用抛物线定义把,AF BF 的值表示出来,联立直线AB 与抛物线方程,得到1212,y y y y +的值, 将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.
视频 20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数导数，分三种情况进行讨论即可（2）由导数几何意义可求出,写出 ，在区间上总不是单调函数知在上有解即可（3）构造函数证明在上成立，进而可得，即可证得结论. 【详解】 （1）已知函数， 当时，，的单调递增区间是，的单调递减区间是 ②当时，，的单调递增区间是，的单调递减区间是 ③当时，恒成立，不具备单调性. （2）得， 在区间上总不是单调函数且 由题意知：对于任意的，恒成立 所以 ，解得. （3）当时，，，， 所以，的单调递增区间是，的单调递减区间是， 所以，时，取极小值.即 ，即，即 （）
所以；；；......；
叠乘得
则. 即证.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属于难题.运用函数的单调性最值等构造不等式是解决证明不等式的关键，是此类问题的核心.
21．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，及消参即可得出直角坐标方程和普通方程（2）将直线方程代入圆，结合参数的几何意义，利用根与系数的关系求解.
【详解】
（1）由得，化为直角坐标方程为，
所以圆的直角坐标方程为：.由（为参数），消去参数得，所以直线的普通方程为.
（2）显然直线经过点，将代入并化简得
，由韦达定理得.
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的转化，直线的参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题.
22．（1）3；（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得的最小值，即可求解的值；
（2）根据柯西不等式，即可作出证明.
试题解析：
（1），当且仅当取等，所以的最小值
（2）根据柯西不等式，
.
高难拉分攻坚特训(一)
1．已知椭圆M：
x2
a2＋y
2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C 在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则
k1
k2的取值范围为()
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
答案 D
解析由于椭圆M：
x2
a2＋y
2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以⎩
⎨
⎧a2>6－a2，
6－a2>1，
解得3<a2<5.设椭圆M：
x2
a2＋y
2＝1与圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为
x0x
a2＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－
x0
y0，k2＝－
x0
a2y0，
k1
k2＝a
2，所以
k1
k2∈(3,5)，故选D.
2．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝4－
4
a n，且f(n)＝(a1－2)(a2－2)＋(a2－2)(a3－2)
＋(a3－2)(a4－2)＋…＋(a n－1)(a n
＋1
－2)，若∀n≥3(n∈N*)，f(n)≥m2－2m恒成立，则实数m的最小值为________．
答案－1
解析∵a1＝4，a n
＋1
＝4－
4
a n，∴
2
a n＋1－2
＝
2
4a n－4
a n－2
＝
a n
a n－2
＝1＋
2
a n－2
，又
2
a1－2
＝
1，∴数列
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎭⎪
⎬
⎪⎫
2
a n－2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴
2
a n－2
＝1＋n－1＝n，a n－2＝2
n，令b n＝(a n－2)(a n＋1－2)＝
2
n·
2
n＋1
＝4
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
n－
1
n＋1，
∴f(n)＝(a1－2)(a2－2)＋(a2－2)(a3－2)＋(a3－2)·(a4－2)＋…＋(a n－2)(a n
＋1
－2)＝b1
＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1
.
若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m .
易知f (n )＝4n
n ＋1在[3，＋∞)上是增函数，
∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.
3．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，
所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，32， 所以直线AM 的方程是y －3
2＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 2
3＝1，
消去y ，得(3＋4k 2
)x 2
＋(12＋8k )kx ＋(4k 2
＋12k －3)＝0， 所以x 1＝
－4k 2
－12k ＋3
3＋4k 2
，
将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋3
3＋4k 2，
所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]
x 1－x 2
＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－8k 2
＋63＋4k 2
＋2－24k 3＋4k 2
＝－12，
所以直线MN 的方程是y ＝－1
2x ＋d ，
代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，
又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋3
2>d ⇒d <1，
所以－2<d <1.
4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；
(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．
当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；
当0<a <1
2时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点； 当a ＝1
2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；
当a >1
2时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点．
综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠1
2时，f (x )有2个极值点；当a ＝1
2时，f (x )没有极值点．
(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.
当x>0时，e x－x2－ax－1≥0，
即a≤e x－x2－1
x对任意的x>0恒成立．
设g(x)＝e x－x2－1
x，
则g′(x)＝(x－1)(e x－x－1)
x2.
设h(x)＝e x－x－1，则h′(x)＝e x－1.
∵x>0，∴h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>h(0)＝0，即e x>x＋1，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。