高二上学期开学考试数学试题解析版

根据三角函数定义得到：
sin 1 5 , cos a 2 2 5 ， tan 1 ；
55
55
2
故选 A.
【点睛】本题考查三角函数的定义.
sin 2
5.
已知 sin
1 ，则 3
sin
2
（
）
A. 2 3
B. 4 2 3
2
C.
3
D. 4 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数诱导公式由所给等式求出 sin ，再次利用三角函数诱导公式及二倍角公式化简所求等式即可得解.
故答案为： 2 ； 2 【点睛】本小题主要考查等比数列前 n 项和公式的基本量计算，属于基础题.
13. 已知 为锐角，且 sin cos 2 ，则 sin 2 ___________， tan ___________.
3
【【答案】
7
(1).
9
(2). 9 4 2 7
【解析】
分析】
所给等式同时平方展开化简利用二倍角公式即可求得 sin 2 ，求出 sin cos 2 即可求得 sin cos 4 ，与题目所给等式联立求出 sin 、cos ，即可
3 12
3 2 12
4
7 3
，
e1 e2 2a 2 a e2 的最小值为 7 4 3 7 . 43
故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积运算、小马饮水问题，涉及数量积的运算律、向量模长的求解、两点间的距离公式，属于较难题.
人教版高中数学试题
人教版高中数学试题 11
人教版高中数学试题
二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分 11. 已知直线 l1 的方程为 3x 4y 2 0 ，直线 l2 的方程为 6x 8y 1 0 ，则直线 l1 的斜率为___________，直线 l1 与 l2 的距离为___________.
b2
6 时等号成立，此时 a 1 2
6，
a 2b 5 2 6 ，即 a 2b 的最小值为 5 2 6 .
故选：A
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
10.
已知
e1
，
e2
是平面内两个夹角为
2 3
单位向量，若 a 2te1 2 2t e2 t R ，则 e1 e2 2a 2 a e2 的最小值为（
【详解】直线方程为 x 3y 1 0
令 x 0 ，得 y 1 3
所以直线在 y 轴上的截距是 1 . 3
故选 C.
【点睛】本题考查直线的的基本性质，属于基础题.
x 1
3.
若实数
x，y
满足约束条件
y
0
，则 z 2x y 的最大值等于（
）
x y 2
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
3 12
2
t
1 4
2
3 12
2
，
记d
t
1 2
2
3 12
2
t
1 4
2
3 12
2
，几何意义表示点 t,0
到点
1 2
,
3 12
与点
1 4
,
3 12
的距离的和，
点
1 2
,
3 12
关于
x
轴的对称点坐标为
1 2
,
3 12
，
dmin
1 2
1
2
4
) 3 ，则 sin(
35
3
)
（
）
33
A.
65
B. 33 65
63
C.
65
56
D.
65
【答案】B
【解析】 【分析】
由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出 sin
、
cos
3
，
3
记为
3
，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即
可.
【详解】
，
均为锐角， cos(
)
5 13
0 ，
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一、选择题：每小题 4 分，共 40 分
1. 不等式 x2 1 0 的解集是（ ）
A. 1,1
B. , 1
2020 学年山水联盟高二上开学考
C. ,1
D. ,1 1,
【答案】D 【解析】 【分析】 由一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为 x2 1 0 ，
【答案】
【解析】 【分析】
3
(1).
4
(2). 3 10
直线 l1 的一般方程化为截距式方程即可求得斜率，判断出两直线平行，利用平行直线间的距离公式进行求解.
【详解】直线 l1
的方程为 3x
4y
2
0
即为
y
3 4
x
1 2
，斜率为
3 4
.
因为直线 l2
的方程为
6x
8y
1
0
即为 3x
4y
1 2
0，
所以直线 l1 与 l2 平行，则直线 l1 与 l2 的距离为
）
的 A. 3
B. 7
C. 2
D. 13
【答案】B
【解析】 【分析】
根据数量积的定义求出 e1 e2 ，用 e1、e2 表示 e1 e2 2a 、a e2 ，求出 e1 e2 2a 2 、a e2 2 即可求得 e1 e2 2a 、a e2 从而用 t 表示出 e1 e2 2a 2 a e2 ，
7. 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S1 a ， S3 b ， S5 c ，则（ ）
A. a c 2b
B. a c b2
C. 15a 3c 10b
D. 3a 15c 10b
【答案】C
【解析】 【分析】
设等差数列an的公差为 d ，根据等差数列前 n 项和公式可得 b 3a+3d ， c 5a+10d ，代入验证可得选项.
根据几何意义利用对称性可求得最小值.
【详解】由题意知
e1
1 ， e2
1 ， e1 e2
11 cos 2 3
1， 2
a 2te1 2 2t e2 t R
10 人教版高中数学试题
e1
e2
2a
2
1
4t e1
4t
3e2 2
1
4t 2
2
e1
2 1
4t 4t
3e1
e2
4t
32
2
e2
48t2 48t 13 ，
【详解】 sin 1 sin ，sin 1 ，
3
3
sin 2
sin 2
2 sin
cos
2 sin
2
sin
2
cos
cos
3.
人教版高中数学试题
人教版高中数学试题 5
故选：C 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，点 F 是 AE 的中点，则 BF （ ）
3 求得 tan .
2
【详解】
sin
cos
2
2 3
即1 2sin cos 2 ， 9
13 人教版高中数学试题
sin 2 2sin cos 7 . 9
sin cos 2 1 2sin cos 16 ，
9 又 为锐角，则 sin cos 0 ，sin cos 4 ，
4. 已知角 的终边经过点 P(2,1) ，则（ ）
A. sin 5 5
B. sin 2 5 5
C. cos 5 5
【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义求解.
D. tan 2
人教版高中数学试题
人教版高中数学试题 4
【详解】角 的终边经过点 P(2,1) ,
所以 P 到原点的距离为 5
对于 B 选项： a c a5a+10d 5a2 +10ad ， b2 3a+3d 2 9a2 +18ad +9d 2 ，所以 a c b2 不成立，故 B 选项不正确；
人教版高中数学试题
7 人教版高中数学试题
人教版高中数学试题
对于 C 选项：15a 3c 15a+35a+10d 30a+30d ，10b 103a+3d 30a+30d ，所以15a 3c 10b 成立，故 C 项正确；
2
,
，
sin 1 cos2 12 ，
13
均为锐角，
3
3
,
5 6
，则
cos
3
1 2
,
1 2
，
8 人教版高中数学试题
人教版高中数学试题
cos
3
1
sin2
3
4 5
或
4 5
（
4 5
1 2
，舍去），
sin(
3
)
sin
3
sin
cos
3
cos
2
1 2
3
.
33 42 10
故答案为： 3 ； 3 4 10
【点睛】本题考查直线的斜率、平行直线间的距离公式，属于基础题.
12. 已知等比数列 an 的公比为 q(q>0)，前 n 项和为 Sn .若 S2 6, S4 30 ，则 a1 ________，q=________.
【答案】 【解析】
【详解】设等差数列an的公差为 d ，
因为 S1
a
，
S3
b，
S5
c
，所以 a1
a
，
S3
3a1 +
3 2 2
d
3a+3d
b
，
S5
5a1 +
54 2
d
5a+10d
c
，
所以 b 3a+3d ， c 5a+10d ，
对于 A 选项： a c a+5a 10d 6a+10d ， 2b 23a+3d 6a+6d ，所以 a c 2b 不成立，故 A 选项不正确；
所以 (x 1)(x 1) 0 ，
所以 x 1或 x 1，
不等式的解集为 ,1 1, ，
故选：D 【点睛】本题主要考查了不含参数一元二次不等式的解法，属于容易题.
2. 直线 x 3y 1 0 在 y 轴上的截距是（ ）
A. 3
B. 3
C. 1 3
1
D.
3
【答案】C
【解析】
【分析】
求直线与 y 轴的交点即可得出结果.
则 e1 e2 2a 4
3
t
1 2 2
3 12
2
，
a
e2
2
2te1
1
2t e2 2
4t 2 e1 2
4t 1
2t e1
e2
1
2t 2
2
e2
12t2
6t
1，
则 a e2 2
3
t
1 2 4
3 2 12
，
e1 e2 2a 2 a e2 4
3
t
1 2
2
D. 9
【答案】A
【解析】 【分析】
由所给等式可用 b 表示 a，代入 a 0 进一步求出 b 的范围，用 b 表示 a 2b ，通过配凑然后利用基本不等式即可求得其取值范围，得解.
【详解】由 2a b ab 1得 ab 2 b 1，
若 b 2 ，则 ab 2 b 1不成立，故 b 2 ，
因为点 E 是边 CD 的中点，所以 DE 1 DC 1 AB ，
2
2
所以 BF AF AB ,
1 AE AB , 2
人教版高中数学试题
人教版高中数学试题 6
1 (AD DE) AB , 2
1 (AD 1 AB) AB ,
2
2
3 AB 1 AD , 42
故选：B
【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题.
sin
3
12 13
4 5
5 13
3 5
33 65
.
故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.
9. 已知 a 0 ， b 0 ，且 2a b ab 1，则 a 2b 的最小值为（ ）
A. 5 2 6
B. 8 2
C. 4 2 6
对于 D 选项： 3a 15c 3a+155a+10d 78a+150d ，10b 103a+3d 30a+30d ，所以 3a 15c 10b 不成立，故 D 选项不正确，
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，属于基础题.源自8.已知 ，
均为锐角， cos(
) 5 ， sin( 13
【解析】 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，根据平移法即可求出．
人教版高中数学试题
人教版高中数学试题 3
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
因为 z 2x y ，即 y 2x z ，所以直线越往上移， z 越大．
当直线经过点 B2,0 时， zmax 2 2 4 ．
故选：D． 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法应用，属于基础题．
9 人教版高中数学试题
人教版高中数学试题
a b 1 1 3 0 ，解得 b 2 或 b 1（舍去）， b2 b2
a 2b 1 3 2b 1 3 2b 2 4 ，
b2
b2
b 2，
3 0 ，1 3 2b 2 4 5 2
b2
b2
3 2b 2 5 2
b2
6 ，当且仅当 3 2b 2 ，即 b 2
A. 3 AB 1 AD 42
C. 1 AB 3 AD 24
【答案】B
B. 3 AB 1 AD 42
D. 1 AB 3 AD 24
【解析】 【分析】
把向量 AB ， AD 作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解.
【详解】解：因为 F 是 AE 的中点，所以 AF 1 AE ， 2
(1). 2
(2). 2
12 人教版高中数学试题
人教版高中数学试题
【分析】
将已知条件转化为 a1, q 的形式列方程组，解方程组求得 a1, q .
详解】若
q
1
，则
24aa11
6 30
，无解，故
q
1
.
a1
1 q2
6
当
q
0
且
q
1
时，
1 q
a1 1 q4
1 q
，解得 a1 2, q 2 . 30