初中数学竞赛辅导讲义：第13讲-怎样求最值(含习题解答)

第十三讲 如何求最值
在生活实践中，人们常常面对带有“最”字的问题，如在必定的方案中，花销最低、耗费最少、产值最高、赢利最大等；解数学题时，我们也常常遇到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要议论的最值问题，求最值问题的方法概括起来有以下几点：
1．运用配方法求最值；
2．结构一元二次方程，在方程有解的条件下，利用鉴别式求最值；
3．成立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不平剖析法求最值．
注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实质中所表现出来的就是最优化思 想，所谓
最优，就是我们所希望的目标量能达到最大或最小．
一次函数、反比率函数并没有最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处获得； 定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的极点处取
-得．即：
对于 y
ax 2 bx c （ a 0 ）
(1)若 a>0，则当 x b 时， y 最小值
4ac b
2
；
4a
2a
(2)若 a<0，则当 x
b 时， y
最大值 4ac
b 2 ．
4a
2a
【例题求解】
【例 1】 设 a 、b 为实数，那么 a 2
ab b 2
a 2
b 的最小值是
．
思路点拨
将原式整理成对于 a 的二次多项式从配方法下手；亦可引入参数设
a 2 a
b b 2 a
2b t ，
将等式整理成对于
a 的二次方程
a 2
( b 1) a ( b 2 2 t ) 0
，利用鉴别式求最小值．
b
【例 2】若 x
1 y 1
z
2
，则 x 2
y 2 z 2 可获得的最小值为 ()
2 3
A ． 3
B ．
59
C ．
9
D ．6
14 2
思路点拨
设 x y 1 z 2 k ，则 x 2 y 2 2
可用只含 k 的代数式表示，经过配方求最小值．
1 2 3 z
【例 3】 设 x 1 、 x 2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实根，当 m 为什么值时， x 1 2
x 2 2 有最小值，
并求这个最小值．
思路点拨
由韦达定理知 x 1
2
x 2 2 是对于 m 的二次函数，是不是在抛物线的极点处获得最小值，就要看
自变量 m 的取值范围，从鉴别式下手．
注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情况：
(1)当抛物线的极点在该区间内，极点的纵坐标就是函数的最值；
(2)当抛物线的极点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两头点处获得．
【例 4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向 A 、 B、 C 三个农贸市场供给同品种蔬菜，按签署的合同规定向
A 供给 45 吨，向
B 供给 75 吨，向
C 供给 40 吨．甲基地可安排60 吨，乙基地可安排100 吨．甲、乙与 A 、 B 、C 的距离千米数如表，设运费为 1 元／ (千米·吨 )．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．
思路点拨设乙基地向0 x y 100 0，0x A 供给x吨，向 B 供给 y 吨，这样总运费便可用含
45 ，因此问题转变为在拘束条件下求多元函数的最值．
x ，y 的代数式表示；由于
A B C
甲105 6
乙4815
【例 5】某单位花50 万元买回一台高科技设施，依据对这类型号设施的追踪检查显示，该设施投入使
用后，若将保养和维修的花费均派到每天，则有结论：第x 天对付的保养与维修费为[ 1 (x
1) 500 ] 4
元．
(1) 假如将该设施从开始投入使用到报废共付的保养与维修费及购置该设施花费的和均派到每天，叫做每日的均匀消耗，请你将每日的均匀消耗 y (元 )表示为使用天数x (天 )的函数； (2)依据此行业的技术和
安全管理要求，当此设施的均匀消耗达到最小值时，就应当报废，问该设施投入使用多少天应当报废? 思路点拨在解此题时可能要用到以下数学知识点：对于确立的正常数 a 、 b 以及在正实数范围内取值
的变量 x ，必定有a
x 2 ax 2
a
，即当且仅当 a x 时， a
x
有最小值 2 a ．x b xb b x bx b b
注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：
(1) a2 0 ；(2) a 2 b 2 2ab ；（3）若a 0 ，b 0 ，则a b 2 ab ； (4)若 a 0 ，b 0 ，x 0 ，则
a x 2 a
．
x b b
以上各式等号当且仅当 a b (或a x
)时成立．x b
学历训练
1．当 x 变化时，分式
3x
2
6 x
5
的最小值为
．
1 x 2
x 1
2
2．如图，用 12 米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光芒最多，选择窗子的长、宽
各为 、 米． 3．已知实数 a 、 b 、 c 知足 a
b c
， a 2
b 2
c 2 6
，则 a 的最大值为 ．
4．已知 x 、 y 、 z 为三个非负实数，且知足 3x 2y
z 5 ， x y z 2 ，若 s
2 x y z ，则 s 的最大
值与最小值的和为 (
)
A ．
1
B ．
5
C ． 1
D ．36
2
8
5．已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 订交于点 O ，若 S △ AOB =4，S △ COD =9，则四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD 的最小值为 (
)
A ． 2l
B ．25
C ． 26
D ．36
6．正实数 x 、 y 知足 xy 1 1
1
的最小值为 (
)
，那么
4
4 y 4
x
A ．
1
B ．
5
C ． 1
D ．
5
E ． 2
2
8
4
7．启明企业生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万件．为了获取更好的
效益，企业准备取出必定的资本做广告．依据经验，每年投入的广告费是 x (万元 )时，产品的年销售量
将是原销售量的 y 倍，且 y
x
2
7 x 7
，假如把利润看作是销售总数减去成本费和广告费：
10
10
10
(1)试写出年利润 S (万元 )与广告费 x (万元 )的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，企业获取的年 利润最大，最大年利润是多少万元 ?
(2)把 (1) 中的最大利润留出 3 万元作广告，其他的资本投资新项目，现有
6 个项目可供选择，各项目每
股投资本额和估计年利润以下表：
项目 A B C D E F 每股 (万元 ) 5
2 6 4 6 8 利润 (万元 )0． 55
0． 4
0． 6
0． 5
0． 9
l
假如每个项目只好投一股，且要求所有投资项目的，利润总数不得低于 1． 6 万元，问有几种切合要求
的投资方式 ?写出每种投资方式所选的项目．
8．某市 20 位下岗员工在近郊承包 50 亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需员工数和产值展望以下表：
作物件种
每亩地所需员工数
每亩地估计产值
初中数学比赛指导讲义：第13讲-如何求最值(含习题解答)
1 蔬菜
1100 元 2
1 烟叶
750 元
3
1 小麦
600 元
4
请你设计一个栽种方案，使每亩地都种上农作物， 20 位员工都有工作，且使农作物估计总产值最多．
9．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙 (墙的最大可用长度 a 为 l0m) ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花园，设花园的宽为 xm ，面积为 sm 2． (1) 求 s 与 x 的函数关系式；
(2) 假如要围成面积为 45m 2 的花园， AB 的长是多少米 ?
链
(3) 能围成面积比 45m 2 更大的花园吗 ?假如能，恳求出最大面积，并说明围法；假如不可以，请说明原因．
10 ．设 x 1 、 x 2 是对于 x 的一元二次方程 x 2 ax a
2
的两个实数根，则 (x 1 2x 2 )( x 2 2x 1 ) 的最大值
为
．
11．若抛物线 y x 2
( k 1)x k 1 与 x 轴的交点为 A 、 B ，极点为 C ，则△ ABC 的面积最小值为
12 b
a 2 a
b b 2
1
，且 t ab a 2
b 2
，则 t 的最大值为 ，最小值为 ．
．已知实数 a 、 知足
13 ．如图， B 船在 A 船的西偏北 45°处，两船相距
10 2 km ，若 A 船向西航行， B 船同时向南航行，
且 B 船的速度为 A 船速度 2 倍，那么 A 、B 两船的近来距离为
km ．
14．销售某种商品，假如单价上升 m ％，则售出的数目就将减少 m
，为了使该商品的销售金额最大，
150
那么 m 的值应当确立为
．
15．某租借企业拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为
3000 元时，可所有租出；当每辆车的月租金每
增添 50 元时，未租出的车将会增添一辆．租出的车每辆每 月需要保护费 150 元，未租出的车每辆每个月
需要保护费 50 元．
(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出
辆车 (直接填写答案 )；
(2)设每辆车的月租金为 x(x ≥ 3000)元，用含 x
的代数式填空：
(3) 当 未租出的车辆数 租出的车辆数 每 辆 车 的 月 租 所有未租出的车
租出的车每 金 定 为 多 少 元
时，租借 辆每个月的保护费 辆的月利润
公 司 的
月 收 益
最大 ?最
大 月 收
益是多少元 ?
16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获取的利润挨次是
p
(万元 )和 q
(万元 )，它们与投入资本
x
(万元 )的关系有经验公式 p
1
x ， q 3 x ．
5
5
初中数学比赛指导讲义：第13讲-如何求最值(含习题解答)
今有 3万元资本投入经营甲、乙两种商品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资本投入分别应为
多少 ?能获取多大的利润 ?
链接
17．如图，城市 A 位于一条铁路线上，而邻近的一小镇 B需从 A 市购进大批生活、生产用品，假如铁路运费是公路运费的一半．问该如何从 B修建一条公路到铁路边，使从 A 到 B 的运费最低 ?
18 ．设 x1， x2 ，x n是整数，并知足：
（1） 1 x i 2 ， i 1,2, n ；
（ 2）x1 x 2 x n 19 ；
（ 3） x12 x22 x n2 99 ．
求 x 3 x 3 x 3 的最大值和最小值．
1 2 n
参照答案。