【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1 变化的快慢与变化率名师课件 北师大版选修1-1

理解概念不透彻致误 物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若当Δ t 趋于 0 时，s（1＋Δ Δt）t－s（1）趋于 9.8 m/s， 那么下列说法中正确的是( ) A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率 B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δ t)s 这段时间内的速率 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率 D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δ t)s 这段时间内的平均速 率
函数的平均变化率
对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数
值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为
．通
常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作 ，函数
值的变化 f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作 ．这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
课时作业（十二）
甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如图所 示，试比较两人的速度哪个快？
【思路探究】 比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程 的平均变化率的大小即可得出结果．
【规范解答】 在 t0 处，s1(t0)＝s2(t0)， 但 s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)， 故s1（t0）－Δs1（t t0－Δt）<s2（t0）－Δs2（t t0－Δt），
y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8
(1)试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快．
(2)如何刻画体温变化的快慢？ 【提示】 (1)从 20 min 到 30 min 变化快． (2)用平均变化率．
【错解】 B 【错因分析】 对平均变化率和瞬时变化率的理解不透 彻，导致出现错误． 【防范措施】 理解透彻平均变化率和瞬时变化率的概 念可以防止错误的发生． 【正解】 平均变化率是函数值的变化量Δy 与自变量的 改变量的比值，而瞬时变化率是当Δt→0 时，ΔΔst趋向固定常 数值．故应选 C. 【答案】 C
【解】 设这辆汽车在 t＝0 附近的时间变化量为Δt， 则位移的增量 Δ s＝[2(0＋Δt)2＋3]－(2×02＋3)＝2(Δt)2， 则ΔΔst＝2Δt. 当Δt 趋于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 0. 所以，这辆车在 t＝0 时的瞬时速度为 0.
求瞬时变化率
已知函数 y＝f(x)＝2x2＋1. (1)求函数 y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δ x]上的平均变化率； (2)求函数 y＝f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数 y＝f(x)在 x＝2 处的瞬时变化率． 【思路探究】 函数 y＝f(x)＝2x2＋1→ 函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)→ 函数的平均变化率Δ Δyx→Δx 趋于 0→Δ Δyx趋于常数．
已知函数 y＝5x2 求 x＝3 处的瞬时变化率？ 【解】 令 f(x)＝5x2，在 x＝3 处取自变量的增量Δx， 即 3≤x≤3＋Δx(Δx>0) Δ y＝f(3＋Δx)－f(3)＝5×(3＋Δx)2－5×32 ∴Δ Δyx＝5Δx（Δ6＋x Δx）＝30＋5Δx 当Δx→0 时，ΔΔxy→30. 即函数 y＝5x2 在 x＝3 处的瞬时变化率为 30.
【自主解答】 (1)由已知，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴Δ Δyx＝2Δx（2Δx0x＋Δx）＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx， 当 x0＝2，Δ x＝0.01 时， ΔΔxy＝4×2＋2×0.01＝8.02.
求平均变化率
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化 率，取Δ x 都为31，哪一点附近平均变化率最大？
【思路探究】直接代入公式ΔΔxy＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0） 计算平均变化率，比较大小即可．
【自主解答】 在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝f（1＋ΔΔx）x－f（1）＝（1＋ΔΔxx）2－1＝2＋Δx； 在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔΔx）x－f（2）＝（2＋ΔΔxx）2－22＝4＋Δx； 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔΔx）x－f（3）＝ （3＋ΔΔxx）2－32＝6＋Δx.
1. 求瞬时变化率，要先确定平均变化率，结合定义， 当Δx 趋于 0 时，得到的值即为瞬时变化率．
2. 应注意将Δ Δyx变形，再由Δx 趋于 0 求瞬时变化率．
(3)在 x＝2 处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－ (2·22＋1)＝ 2(Δx)2＋8Δx. ∴Δ Δyx＝2Δx＋8，当Δx 趋于 0 时，Δ Δyx趋于 8，即函数 y ＝f(x)在 x＝2 处的瞬时变化率为 8.
(1)限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗？ (2)瞬时速度与平均速度有区别吗？ (3)王先生在该路段平均速度为 60 km/h，是否可能超速行 驶？
【提示】 (1)不是，是指瞬时速度． (2)瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢，平均 速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢． (3)有可能．
质点运动规律 s＝21gt2，求质点在时间段[3，3＋Δ t]内 的平均速度．
【解】 Δs＝21g×(3＋Δt)2－21g×32＝21×10×[6Δt＋ (Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，
v＝ΔΔst＝30＋5Δt.
求瞬时速度
一辆汽车按规律 s＝2t2＋3 做直线运动，求这辆 车在 t＝2 时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
【思路探究】 设时间变化量Δt → 求位移增量Δs → 求平均速度ΔΔst Δ―t―趋―于―0→时 结论
【自主解答】 设这辆车在 t＝2 附近的时间变化量为Δ t，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋ 2(Δt)2，
则ΔΔst＝8＋2Δt. 当Δt 趋于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8. 所以，这辆车在 t＝2 时的瞬时速度为 8 m/s.
－
Δ
t)(
Δ
t>0)
，
所
以
|
W1（t0）－W1（t0－Δt） Δt
|>|W2（t0）－ΔW2t（t0－Δt）|，所以工厂甲比工厂乙的治污效
率高．
1. 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量，Δ s＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度，v＝ΔΔst； (3)当Δt 趋于 0 时，平均速度ΔΔst趋于瞬时速度． 2. 在研究物体某一时刻的速度时，常用逼近思想，即 Δt 趋于 0 时，平均速度趋向于某一个常数．
本例中求 t＝0 时的瞬时速度．
若Δx＝13， 则 k1＝2＋31＝37， k2＝4＋13＝133， k3＝6＋13＝139. 由于 k1<k2<k3， ∴在 x＝3 附近的平均变化率最大．
1. 计算时要对 f(x2)－f(x1)进行合理的变形，以便化简． 2. 求平均变化率的步骤 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝f（x2）x2－ －fx（1 x1）＝f（x1＋ΔxΔ）x－f（x1）.
●重点难点 重点：函数的平均变化率与瞬时变化率． 难点：平均变化率与瞬时变化率的关系． 引导学生通过课本上的两个问题，不断地观察分析来理 解平均变化率及瞬时变化率，引导学生通过例题与练习的训 练进一步理解两者之间的关系，从而化解难点，强化重点．
●教学建议 本节内容是由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题， 为下一节学习导数作铺垫，在教学时引导学生从大量实际问 题着手，来认识平均变化率，进而过渡到瞬时变化率，以“平 均变化率与瞬时变化率的关系”为探究内容，让学生开展讨 论、总结．
§1 变化的快慢与变化率
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能：了解实际问题中平均变化率的意义，理 解函数的平均变化率的概念与函数的瞬时变化率的概念． 2．过程与方法：通过大量实例分析理解平均变化率与瞬 时变化率． 3．情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会变 化率在实际问题中的作用，提高学习兴趣．
C．4＋2Δ x
D．4＋2Δ x2
【解析】 Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4 Δx，
ΔΔxy＝2（ΔxΔ）x2＋4Δx＝2Δx＋4.
【答案】 C
2. 如果质点 A 按规律 s＝3t2 运动，则在 t＝3 时的瞬时
速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
【解析】 ΔΔst＝3（3＋ΔΔt）t 2－3×32＝18＋3Δt， 当Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 18.
●教学流程
演示结束
1. 理解函数平均变化率与瞬时变化率的概 念. 2. 会求给定函数在某个区间的平均变化 课标解读 率．(重点) 3. 会求函数在某点的瞬时变化率，并能根据 瞬时变化率判断函数在某点处变化的快 慢．(重点、难点)
平均变化率 【问题导思】 某病人吃完退烧药，他的体温变化如下： x(min) 0 10 20 30 40 50 60
所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如 图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．
甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W)与时 间(t)的关系如图所示，则治污效率较高的是________．
【解】 在 t0 处，虽然 W1(t0)＝W2(t0)，但是 W2(t0－Δ
t)<W1(t0
函数的瞬时变化率
对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程
中，若设Δ x＝x1－x0，Δ y＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是Δ Δ
xy＝f（x1）x1－ －fx（0 x0）＝
.当Δ x 趋
于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时
变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．
改变量之比，即
．我们用它来刻画函数
值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
瞬时变化率
【问题导思】 问题：王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因 是上月某周日在一限速 70 km/h 的路段超速行驶．王先生正 上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长 60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均 速度呢！”
率．
【解】 根据瞬时变化率的定义，得： ΔΔxy＝f（1＋ΔΔx）x －f（1） ＝a（1＋Δx）2＋b（1Δ＋xΔx）＋c－a－b－c ＝a（Δx）2＋Δ（x2a＋b）Δx＝aΔx＋2a＋b. ∵Δx 趋于 0 时，aΔx＋2a＋b 趋于 2a＋b， ∴函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c 在 x＝1 处的瞬时变化率为 2a ＋b.
【答案】 B
3. 已知 s(t)＝12gt2，则 t＝3 s 到 t＝3.1 s 的平均速度为 ________．(g 取 10 m/s2)．
【解析】 平均速度为ΔΔst＝21g（33..11－2－332）＝30.5(m/s)．
【答案】 30.5(m/s)
4. 求函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c 在 x＝1 处的瞬时变化
1. 平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δ x]上变 化的快慢．
2. 瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢． 3. Δ x 趋于 0 时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬 时变化率．
1. 函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1，1＋Δ x]上的平均变化率
Δ Δ
yx等于(
)
A．
B．4x