单位圆巧解匀速圆周运动摩擦力变化情况

(２)我们可查得木星的质量为Ｍ＝１.９０ˑ１０２７ｋｇꎬ其相对于太阳的轨道速率ｕ０＝１３.０６ｋｍ/ｓꎬ而地球的质量ｍ
＝５.９７ˑ１０２４ｋｇꎬ相对于太阳迎向木星的速率ｖ０＝１０.４ｋｍ/ｓꎬ则由于 弹弓效应 ꎬ地球绕过土星后沿与原来速度相反的方向离去ꎬ求地球离开木星后相对太阳的速率增加了多少?
(３)若地球飞向木星时其速度ｖ０与土星的速度ｕ０同方向ꎬ则是否仍能产生使地球速率增大的 弹弓效应 ꎬ简要说明理由.
解析㊀(１)通过分析ꎬ 弹弓效应 就其实质而言ꎬ可等效于力学中的碰撞模型ꎬ满足动量守恒和能量守恒.以ｕ０方向为正方方向ꎬ由动量守恒和能量守恒可得
－ｍｖ０＋Ｍｕ０＝ｍｖ＋Ｍｕ１２ｍｖ２０＋１２Ｍｕ２０＝１２ｍｖ２＋１２
Ｍｕ２上述两式联立求解ꎬ有:ｖ＝(Ｍ－ｍ)ｖ０ｍ＋Ｍ＋
２Ｍｕ０
ｍ＋Ｍ
由题意可知ｍ≪Ｍ㊀ʑｖ＝ｖ０＋２ｕ０
(２)地球的质量与木星的质量之比为ｍＭ＝５.９７
１９００
＝
０.００６ꎬ满足ｍ≪Ｍ
ｖ＝(Ｍ－ｍ)ｖ０ｍ＋Ｍ＋２Ｍｕ０ｍ＋Ｍʈｖ０
＋２ｕ０
地球离开木星后相对太阳的速率增加
Δｖ＝ｖ０＋２ｕ０－ｖ０＝２ｕ０＝２ˑ１３.０６ｋｍ/ｓ＝２６.１２ｋｍ/ｓ(３)不能.理由如下:若ｖ０方向与题中图示方向相反ꎬ则第(１)中的动量守恒方程应改为:ｍｖ０＋Ｍｕ０＝ｍｖ＋Ｍｕ
１２ｍｖ２０＋１２Ｍｕ２０＝１２ｍｖ２＋１２
Ｍｕ２上述两式联立求解ꎬ有:ｖ＝－(Ｍ－ｍ)ｖ０ｍ＋Ｍ＋
２Ｍｕ０
ｍ＋Ｍ
把ｍ≪Ｍ代入上式ꎬ则可得:ｖ＝－ｖ０＋２ｕ０
由于ｖ０>ｕ０ꎬ由此便可得:ｖ＝ｖ０－２ｕ０<ｖ０ꎬ即不能使探测器速度增大.㊀㊀
参考文献:
[１]高亚军.例析四类推进器的物理原理[Ｊ].物理教师ꎬ２００７(４):６８－６９.
[责任编辑:颜卫东]
单位圆巧解匀速圆周运动摩擦力变化情况
叶庆峰㊀王㊀云
(安徽省滁州中学物理组㊀２３９０００)
摘㊀要:在高中分析匀速圆周运动中摩擦力的变化情况ꎬ对于许多学生是一个难点ꎬ平时老师在教学过程多数是通过列方程求解ꎬ讨论角度的变化ꎬ从而分析摩擦力的变化情况ꎻ如果以向心力Ｆｎ为半径做单位圆ꎬ来解决相关问题中摩擦力的变化情况ꎬ就会使问题变得简单清晰.
关键词:单位圆ꎻ向心力Ｆｎꎻ摩擦力
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００６１－０２收稿日期:２０１９－０９－０５
作者简介:叶庆峰(１９８１.９－)ꎬ男ꎬ安徽省皖潜山人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.
王云ꎬ安徽省铜陵人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.
基金项目:１.安徽省电教馆省级课题«数字化视域下物理教学转型的实证研究»ꎬ课题立项号ＡＨ２０１９２９３ꎻ２.安徽省教育科学规划院课题ꎬ«物理教育物理核心素养视域下从 解题 向 解决问题 转变实证研究»ꎬ项目编号ＪＫ１９０７７.
㊀㊀在一般圆周运动中ꎬ质点的速度大小和方向都在改变ꎬ亦即存在着加速度ꎬ在自然坐标系中ꎬ我们可以把加速度分解成切向加速度和法向加速度ꎬ切向加速度只是改变速度的大小而不改变速度的方向ꎻ显然ꎬ匀速圆周运动速度大小不变而方向时刻变化的圆周运动ꎬ那么匀速圆周运动加速度只剩下法向加速度了ꎬ在高中教学中我
们把这个加速度称为向心加速度ａｎꎬ即ａ＝ａｎ＝ｖ２
ｒ
ꎬ所以
在分析匀速圆周的向心力时ꎬ会发现向心力Ｆｎ大小不变而是方向时刻在变化的力.如果以圆心固定点ꎬ向心力Ｆｎ
为半径的做一个圆ꎬ这里我把这个圆称为 单位圆 ꎬ在分析匀速圆周运动中力的变化情况尤为方便ꎬ下面通过两道例题阐述以向心力Ｆｎ为半径做单位圆ꎬ如何来解决相关问题中摩擦力的变化情况
.
实例分析一㊀倾斜面内物体做匀速圆周运动ꎬ向心力Ｆｎ来源于重力的分力与摩擦力
例题１㊀如图１所示ꎬ一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动ꎬ盘
１６
面上离转轴距离２.５ｍ处有一个小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为
３
２
(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)ꎬ盘面与水平面的夹角为３０ʎꎬｇ取１０ｍ/ｓ２.则ω的最大值为多大?
分析㊀因为小物体与圆盘始终保持相对静止ꎬ所以小物体和圆盘一起做匀速圆周运动ꎬ对小物体重力分解如图２所示ꎬ在圆盘平面内ꎬ小物体向心力Ｆｎ由重力沿斜面向下的分力Ｇｓｉｎθ和静摩擦力ｆ的合力提供ꎬ如果我们用轴与圆盘交点Ｏ为圆心ꎬ以向心力Ｆｎ为半径做一个单位圆ꎻ在最低点Ａ时ꎬ对小物体受力分析如图３所示ꎬ根据牛顿第二定律知ꎬｆＡ－Ｇｓｉｎθ＝Ｆｎ.从单位圆中可以看出有向线段ｆＡ比有向线段Ｇｓｉｎθ要长ꎻ当小物体运动到达Ｂ点时ꎬ向心力Ｆｎ大小就等于单位圆的半径ꎬ方向指向圆心０点ꎬ如图４所示ꎻ根据力的分解ꎬ运用矢量三角形运算法则ꎬ求得静摩擦力ｆＢ的大小和方向ꎬ显然有向线段ｆＢ变短ꎬ即为静摩擦力变小ꎻ当小物体运动到达Ｃ点时ꎬ对小物体受力分析如图５所示ꎬ再次根据力的分解ꎬ运用矢量三角形法则ꎬ从单位圆中清晰的看到摩擦力ｆＣ有向线段变得更小了ꎻ显然ꎬ小物体运动到最高点摩擦力ｆ最小ꎬ利用单位圆图象结合三角形运算法则ꎬ就很清楚解决了这一问题中摩擦力的变化情况ꎻ
小物体和圆盘一起做匀速圆周运动在一周中ꎬ在最低点Ａ的静摩擦力最大ꎬ越向上静摩擦力越小ꎬ所以ꎬ当小物体转到圆盘的最低点ꎬ指向圆心静摩擦力如果达到最大μｍｇｃｏｓθ时ꎬ那么在其它位置静摩擦力一定小于最大值μｍｇｃｏｓθꎬ即此时角速度ω最大ꎻ
小物体在最低点Ａ点受力如图２所示ꎬ根据牛顿第二定律得:μｍｇｃｏｓθ－ｍｇｓｉｎθ＝ｍω２ｒꎬ代入数据解得ω＝１.０ｒａｄ/ｓ.
实例分析二㊀竖直面内物体做匀速圆周运动ꎬ向心力Ｆｎ来源于重力㊁弹力和摩擦力
例题２㊀(多选)如图所示６ꎬ木板Ｂ托着木块Ａ在竖直平面内逆时针方向从ａ到ｂ做匀速圆周运动ꎬ最低点为ａꎬ最高点为ｂꎬ不计空气阻力ꎬ则下列说法中正确的是(㊀㊀).
Ａ.Ｂ对Ａ的支持力越来越大
Ｂ.Ｂ对Ａ的支持力越来越小Ｃ.Ｂ对Ａ的摩擦力力越来越大
Ｄ.Ｂ对Ａ的摩擦力力先变大再变小
分析㊀此题两个物体在竖直平面内做匀速圆周运动ꎬ合力即为向心力ＦｎꎬＡ物体的向心力是由重力Ｇ和支持力Ｎ以及摩擦力ｆ合力提供ꎬ我们以Ｏ点为圆心ꎬ向心力Ｆｎ为半径做一个单位圆ꎬ来分析物体Ａ在各个位置受力变化情况ꎬ画出竖直面内三个位置Ａ物体的受力分析图ꎬ分别为图７㊁图８和图９ꎻ
结合单位圆可以直观的看出ꎬ从最低点到最高点的过程中ꎬＢ对Ａ的弹力Ｎ的有向线段一直在变小ꎬ摩擦力ｆ的有向线段从无到有再消失ꎬ经历了先变大在变小的过程ꎬ故答案选ＢＤ.
练一练㊀１.如图１０所示ꎬ一个半径为Ｒ的实心圆盘ꎬ其中心轴与竖直方向的夹角为θ.开始时ꎬ圆盘静止ꎬ其上表面覆盖着一层灰ꎬ没有掉落.现将圆盘绕中心轴旋转ꎬ其角速度由零缓慢增大至ωꎬ此时圆盘表面的灰有７５％被甩掉.设灰与圆盘间的动摩擦因数为μꎬ重力加速度为ｇꎬ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)ꎬ则ω的
值为多少?(答案ω＝
２ｇ(μｃｏｓθ－ｓｉｎθ)
Ｒ
)
２.游乐园的小型 摩天轮 上对称站着质量均为ｍ的８位同学ꎬ如图１１所示ꎬ 摩天轮 在竖直平面内逆时针匀速转动ꎬ若某时刻转到顶点ａ上的甲同学设法让一小重物做自由落体运动ꎬ并立即通知下面的同学接住ꎬ结果重物掉落时正处在ｃ处(如图１１)的乙同学恰好在第一次到达最低点ｂ处接到ꎬ己知 摩天轮 半径为Ｒꎬ重力加速度为ｇꎬ(不计人和吊篮的大
小).求:乙同学在最低点处接到小球前的一瞬间对地板的压力ＦＮ的大小是多少?(答案ＦＮ＝６４＋π２
６４
ｍｇ)
㊀㊀
参考文献:
[１]王新宁.匀速圆周运动中静摩擦力方向的一个实验[Ｊ].宁夏大学学报(自然科学版)ꎬ１９８６
(０２):６３.
[责任编辑:颜卫东]
２６。