第05讲 子集

第5讲 子集
本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。

设a 表示任意元素，B A ,表示两个集合。

若B a A a ∈⇒∈ ，则
B A ⊆ ，即集合A 是集合B 的子集。

规定空集是任何集合的子集。

子集是由原集合中的部分元素构成。

对于由
n 个元素组成的集合，它的每一个子集中元素的构成，都是对这n 个元素进行选择的结果。

由
于对每一个元素的选择都有两种可能（选上或不选），因此，对这
n 个元素共有n 2种不同选择结果，即由n 个元素组成的集合共有n 2个不同子
集。

其中，不同的非空子集有
12-n 个，不同的真子集有n 2个。

A 类例题
例1 求集合}03|{2=++-∈=a ax x R x M 的子集的个数。

分析 欲求集合
M 的子集的个数，可先求出集合M 的元素的个数。

例2 求满足},,,,{},{e d c b a P b a ⊆⊆的集合P 的个数。

分析 本题要求的是集合
},,,,{e d c b a 中，必定含有元素b a ,的子集的个数，只要求出集合
},,{e d c 的子集数。

例3 已知集合}7,6,5,4,3,2{=A ，对A X ⊆，定义)(X S 为X 中
所有元素之和。

求全体)(X S 的总和S 。

分析 要求出全体
)(X S 的总和S ，只要求出每个元素出现的次数。

情景再现
1．设集合}14|),{(2+-==x x y y x A ，}12|),{(-==x y y x B 。

求集合B A 的子集的个数。

2．若数集},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ⊆⊆，则a 的值是_____。

3．设非空集合
}7,6,5,4,3,2,1{⊆A ，且当A a ∈时，必有A a ∈-8，问：这样的
A 共有多少个？
B 类例题
例4 在某次竞选中，各个政党共作出p 种不同的诺言)0(>p ，
任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。

试证明，政党的数目不多于
12-p 个。

（1972年加拿大数学竞赛）
例5 证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序，使得
任何两个相邻的子集仅相差一个元素。

（1972年波兰数学奥林匹克）
分析 本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部
子集给出一个排列方法，满足题设的要求。

为此，可从特殊情况入手进
行探索。

例6设M A N n n n M ⊆∈≤≤=,},19951|{，且当A x ∈时，
A x ∉15。

求||A 的最大值。

（1995
年全国高中数学联赛） 分析 由题意，x 与x 15不能同属于集合A 。

按照集合A 的这一本
质特征，构造具有最多元素的集合
A 。

情景再现
4．在一次IMO 竞赛中，k 个领队共使用n 种不同语言。

如果任
何两个领队至少使用一种共同语言，但没有任何两个领队使用的语言完
全相同。

求证：
12-≤n k 。

5．已知},,{321a a a B A = ，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不
同的对，则这样的
),(B A 对的个数有____________个。

6．设集合A 是整数集Z 的子集，其中的元素有正整数，也有负整
数，且若A b a ∈,（允许b a =），则A b a ∈+，求证：若A b a ∈,，则 A b a ∈-。

C 类例题
例7 对},,2,1{n 及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”：对每一个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替的减或加后继的数（例如，}9,6,4,2,1{的“交替和”是}5{;612469=+-+-的“交替和”是5）。

对7=n ，求所有这些“交替和”的总和。

分析 求所有这些“交替和”的总和的关键，在于每一个数字在“交替和”中出现的次数及符号。

例8 已知集合
S 中有10个元素，每个元素都是两位数。

求证：一定可以从S 中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素和相等。

分析 本题要求的是从集合
S 的子集中，找到两个元素和相等的子集。

这两个子集即使有公共元素，只要同时除去公共元素就可以满足题意。

情景再现
7．设集合
},101|{N n n n M ∈≤≤=。

现对M 的任意一个非空子集X ，令X a 表示X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的X a 的算术平均值为___________。

8．由前n 2个正整数组成的集合},21|{*∈≤≤∈=N n n m N m M ，
从中任取1+n 个元素组成M 的子集A ，求证：集合A 中必有两个数,,j i a a 使得A a a j i ∈+，或者i j a a 2=。

习题5
1． 若}12,3,2{|}1|,2{2-+⊆+a a a ，试确定a 的值。

2．已知集合
},101|{N n n n A ∈≤≤=，}5,4,3,2,1{=B ，若C 是A 的子集，且
φ≠C B ，则子集C 有多少个？ 3．若},121|{N m m n N n A ∈-≤≤∈⊆，且A a ∈时，必有A a m ∈-2，求证：这样的子集共有12-m 个。

4．已知集合},,
1|{N n k k n n X ∈≤≤=，对,X A ⊆ 将A 中所有元素的和记为)(A S ，将X 分为互不相交的两个子集B A ,且
X B A = ，若)(2)(B S A S =，求k 的所有值。

5．矩形城市的道路非常规则，恰好东西向、南北向的道路分别有n m ,条。

一位妇女住在城市的西南角，工作在东北角。

她每天步行去工作。

如果每个交叉路口不得经过两次，证明她所能选取的路线数目),(n m f 不大于mn 2。

6．已知集合},101|{N n n n ∈≤≤，求满足至少含有两个元素且任
意两个元素的差的绝对值大于
1的子集的个数。

7． 设集合},1001|{N x x x A ∈≤≤⊆且对任意的A y x ∈,，必有y x ≠2，则子集A 所含元素个数的最大值为___________________.
8．已知集合},,,{.}19971|{21k a a a A n N n S =≤≤∈=是S
的子集，且具有下述性质：“
A 中任意两个不同元素的和不能被117整除。

”试确定k 的最大值并证明你的结论。