2020年高考模拟试卷黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（理科）（二）
一、选择题
1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．
4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）
A．20B．﹣20C．﹣15D．15
5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）
A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数
B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数
C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数
D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数
7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）
A．B．C．D．
8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）
A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．
9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）
A．B．C．D．
10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）
A．20%，14580元B．10%，14580元
C．20%，10800元D．10%，10800元
11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝．
14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．
15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．
16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：
有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.
17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，
F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．
20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．
21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
＝{x|﹣1＜x＜2}，
A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B．
2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用等差数列的求和公式表示出S n，整理后，得到等差数列的S n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S n的最大值，即为{S n}中的最大项；反之也然．
解：由等差数列的求和公式得：S n＝na1+d，
整理得：S n＝0.5dn2+（a1﹣d）n，
当d＜0，
∴等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，
∴S n有最大值；
反之，当数列{S n}有最大项时，则S n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d ＜0．
故选：A．
3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．
【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．
解：∵＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），
∴＝cos A cos B﹣sin A sin B＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，
∴，得cos C＝﹣．
∵0＜C＜π．
∴．
故选：B．
4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）
A．20B．﹣20C．﹣15D．15
【分析】利用定积分的定义求得a的值，求得展开式中的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
解：∵已知＝（lnx）＝1，∴＝，
它的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，可得r＝3，∴开式中的常数项为﹣＝﹣20，
故选：B．
5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．
解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．
∵所有棱长都为2，∴A，B（0，1，0），B1（0，1，2），
C1（0，﹣1，2）．
∴，
∴＝＝＝．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
故选：B．
6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）
A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数
B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数
C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数
D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数
【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）＝2sin（ωx﹣），由题意可得＝，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．
解：∵函数＝2[sin（ωx﹣cosωx]＝2sin（ωx ﹣），∴函数的周期为．
再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，可得＝，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）．
故f（x）＝2sin（2x﹣）的周期为＝π．
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选：C．
7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．
解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，
∴这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：
P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．
故选：C．
8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）
A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．
【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|＝|AB|，求得∠ABC，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，
依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，
|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，
∴∠ABC＝30°，||＝2p，＝4p×2p cos30°＝36，
解得p＝，
∴抛物线的方程为y2＝2x．
故选：D．
9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得＝2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ＝1，
①同理可得＝，由D、M、F三点共线，可得λ+μ＝1，②，
综合①②可得数值，作乘积即可．
解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）
故＝＝
＝（λ﹣μ）+μ＝2（λ﹣μ）+μ，
因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ＝1，即2λ﹣μ＝1，①
同理可得＝
＝＝，
因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）＝1，即λ+μ＝1，②
综合①②可解得λ＝，，故实数λ与μ的乘积＝
故选：B．
10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）
A．20%，14580元B．10%，14580元
C．20%，10800元D．10%，10800元
【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，
则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计
算可得m与a4的值，即可得答案．
解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，
则有，则有a2+a4＝32580，
则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，
则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，
即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，
故选：B．
11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）
【分析】依题意，可得m，n满足的约束条件，进而作出图形，利用图象即可得解．解：y′＝x2+mx+m+n，依题意，y′＝0的两个根为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），
∴，
平面区域D表示的图形如下图所示，
注意到直线m+n＝0与直线2m+n+1＝0的交点P（﹣1，1），当函数y＝log a（x+4）过
点P时，即log a3＝1，解得a＝3，
要使函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，由图可知，a＜3，又a ＞1，故实数a的取值范围为（1，3）．
故选：B．
12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．
【分析】求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y＝e x上的点关于y＝x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y ＝lnx上的点与上的点到直线y＝x的距离之和最小问题，而与y＝x平行的直线同时与曲线y＝lnx和切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍．
解：如图，
因为y＝e x的反函数是y＝lnx，两个函数的图象关于直线y＝x对称，
所以曲线y＝e x上的点P到直线y＝x的距离等于在曲线y＝lnx上的对称点P′到直线y ＝x的距离．
设函数f（x）＝lnx﹣1+，
＝，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）＝0，则当x＞0时，除（1，0）点外函数y＝lnx的图象恒在y＝1﹣的上方，在（1，0）处两曲线相切．
求曲线y＝e x上的点P与曲线y＝1﹣上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y＝lnx 上的点P′与Q点
到直线y＝x的距离的最小值的和，而函数y＝lnx与y＝1﹣在x＝1时的导数都是1，说明与直线y＝x平行的直线
与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍，
所以|PQ|的最小值为．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝﹣1．
【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．
解：∵复数z＝1+i，∴，
∴＝＝﹣1．
故答案为﹣1．
14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．
【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．
解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y＝x，
则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x＝，则P（，），则PF的中点（），
把中点坐标代入双曲线方程＝1中，整理求得＝，即离心率为
故答案为：．
15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则
△ABC的周长的取值范围是（2，3]．
【分析】由余弦定理求得cos C，代入已知等式可得（b+c）2﹣1＝3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c＝2b，
∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．
∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c时，取等号）．
故a+b+c≤3．
再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，
故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故答案为：（2，3]．
16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1]．
【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），
圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，
它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，
点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）＝，
当直线与x轴重合时，P（M）＝1；
直线的斜率范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.
17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，转化求解数列的通项公式即可．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．
解：（1）正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2…①
4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2…②
两式相减①﹣②可得4a n＝a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，
整理得a n﹣a n﹣1＝2…
又a1＝1，得a n＝2n﹣1…
（2）∵a n＝2n﹣1，
∴b n＝＝＝（﹣）．…
∴数列{b n}的前n项和T n＝（1﹣+…+﹣）＝…
18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率＝频数÷数据总和，计算可得答案．
（2）列出X的分布列，根据分布列利用随机变量的期望公式求出X的数学期望．
解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82，后三组频率为1﹣0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，
这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18＝180人
由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m＝7﹣m，又m+2＝2（7﹣m），所以m＝4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，
频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，
P（x＝0）＝，P（x＝0）＝，
所以X的分布列
X0123
P
…
EX＝…
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．
【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE ⊥平面BEF；
（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．
【解答】证明：如图，
（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F为CD的中点，
∴ABFD为矩形，AB⊥BF．
∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF＝F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）
平面BCD的法向量，
设平面EBD的法向量为，
由⇒，即，取y＝1，得x＝2，z＝
则．
所以．
因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，
所以cosθ∈，即．
由得：
由得：或．
所以a的取值范围是．
20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．
（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由已知，求得f（x）＝x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为
≥b．构造函数g（x）＝，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．
解：（1）∵f（1）＝2，∴a＝1，f（x）＝x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x⇔
≥b．
令g（x）＝，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝0，即b≤0．
（2）f′（x）＝2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，
令h（x）＝，当x＝e时，h（x）max＝
∴当时，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此时．函数f（x）在定义域上单调递增．若，g（x）＝2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）＝2a﹣
由g′（x）＝0，得出x＝，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x＝时，g（x）取得极小值也是最小值．而当时，g（）＝1﹣ln＜0，f′（x）＝0必有根．f（x）必有极值，在定义域上不单调．
综上所述，．
21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记
圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C 的方程．
（II）设直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．
（III）由△QF2M的面积＝△OF2M的面积，能求出S＝S1+S2的最大值．
【解答】（本小题满分13分）
解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R
由于动圆P与圆相切，
且与圆相内切，所以动
圆P与圆只能内切
∴，∴|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6…
∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝6，
∴a＝4，c＝3，b2＝a2﹣c2＝7
故圆心P的轨迹C：．…
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3
由，得：，∴，
∴…
由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，
∴，
∴
＝＝
＝…
∴，
∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…
（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积＝△OF2M的面积，
∴S＝S1+S2＝S△OMN
∵O到直线MN：x＝my+3的距离，
∴…
令，则m2＝t2﹣1（t≥1），
∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．
【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．
解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是，
∴x＝ρcosθ＝＝1，y＝ρsinθ＝＝1，
即圆心坐标为（1，1），
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，x2﹣2x+y2﹣2y＝0
圆C的极坐标方程为：；
（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为，
∴ρsinθ+ρcosθ＝1+，
即，
圆心到直线距离为，圆半径为．
故弦长为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）﹣3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．
解：（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，
∵f（x）＞0，
∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，
∴x＜﹣4；
②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，
∴＜x≤3；
③当x＞3时，x+4＞0，
∴x＞3．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）…（2）由（1）知，f（x）＝，
∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；
当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；
当x≥3时，x+4≥7，
综上所述，f（x）≥﹣．
∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）﹣3恒成立，
令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．
∴g（x）min＝﹣．
∴a＜g（x）min＝﹣。