高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的

2.2 函数的简单性质
自我小测
1．下列函数为单调增函数的序号是________．
①2()f x x = (x ＞0)；②()f x =1()f x x x
=-+；④()1f x =+2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是________，最小值是________．
3．下列命题正确的序号是________．
①定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上递增．
②定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上递增．
③若f (x )在区间I 1上是单调增函数，在区间I 2上也是单调增函数，则f (x )在I 1∪I 2上也一定是单调增函数．
④若f (x )在区间I 上单调递增，g (x )在区间I 上单调递减，则f (x )－g (x )在区间I 上单调递增．
4．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图：
则函数y ＝f (x )的单调增区间是________；函数y ＝g (x )的单调减区间是________．
5．小军遇到这样一道题目：写出满足在(－∞，0)上递减，在[0，＋∞)上递增，且有最小值为2的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：________________________________.
6．有下列四个命题：
①函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上不是单调增函数；②函数11
y x =+在(－∞，－1)
∪(－1，＋∞)上是单调减函数；③函数y =的单调增区间是(－∞，＋∞)；④已知f (x )在R 上为单调增函数，若a ＋b ＞0，则有f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．
其中正确命题的序号是________．
7．已知函数f (x )＝x 2＋2(1－2a )x ＋6在(－∞，－1)上是单调减函数．
(1)求f (2)的取值范围；
(2)比较f (2a －1)与f (0)的大小．
8．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值与最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．
已知函数21
y x =-，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．
参考答案
千里之行
1．④ 解析：2()f x x =
在(0，＋∞)上是单调减函数()f x =[0，＋∞)上是单
调减函数，1()f x x x
=-+
.在(0，＋∞)上也是单调减函数， ()1f x =+[0，＋∞)上为单调增函数． 2．3(,)2-∞ 14-
解析：函数的对称轴为32，且开口向上，所以单调减区间为3(,)2-∞．2231132()244y x x x =-+=--≥-，∴当32x =时，14
y =-.所以函数的最小值为min 14y =-. 3．④ 解析：由单调增函数的定义，知x 1，x 2必须是区间(a ，b )上的任意两个值且x 1＜x 2，所以“存在”，“有无穷多对”都不对，因此①②错；③反例1()f x x
=-在(－∞，0)上是单调增函数，在(0，＋∞)上也是单调增函数，但不能说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调增函数，故③错；
对④设x 1，x 2∈I, 且x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，g (x 1)＞g (x 2)，∴－g (x 2)＞－g (x 1)，∴f (x 2)－g (x 2)＞f (x 1)－g (x 1)，故f (x )－g (x )在I 上单调递增，∴④正确．
4．(－∞，－2]，[0，＋∞) (－∞，0]，(0，＋∞)
5．y ＝x 2＋2或y ＝|x |＋2 解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y ＝ax 2＋2，y ＝a |x |＋2(a ＞0)．
6．④ 解析：①因为函数在1(,)4-+∞上为单调增函数，所以在(0，＋∞)上也是单调增函数，故①错．②函数11
y x =+在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上各自是单调减函数，但不能说函数在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为单调减函数，因为当取x 1＝－2，x 2＝0时，x 1＜x 2，但11()121f x ==--+，21()101
f x ==+，f (x 1)＜f (x 2)，显然不满足单调减函数
定义，所以要把这两个区间分开写，不能取并集写成一个区间．③∵函数y =
义域是1[,)2
+∞, 故③错．④∵f (x )在R 上为单调增函数，又a ＋b ＞0，∴有a ＞－b ，或b ＞－a ，则有f (a )＞f (－b )，或f (b )＞f (－a )．两式相加得f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，故④正确．
7．解：(1)∵二次函数f (x )＝x 2＋2(1－2a )x ＋6的图象的对称轴为x ＝2a －1，且开口向上，∴此函数在区间(－∞，2a －1]上是单调减函数．若使f (x )在(－∞，－1)上为单调减函数，其对称轴x ＝2a －1必须在x ＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a －1，∴a ≥0.∴f (2)＝22＋2(1－2a )×2＋6＝－8a ＋14≤14，即f (2)∈(－∞，14]．
(2)∵当x ＝2a －1时，二次函数f (x )取得最小值，
∴f (2a －1)≤f (0)．
8．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2
＋1，x ∈[－5,5]．
∵f (x )的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时f (x )取得最小值为1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值，且f (x )m ax ＝f (－5)＝37.
(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a .∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5，∴a 的取值范围是{a |a ≤－5，或a ≥5}．
百尺竿头
解：假设存在，先判定函数的单调性．
设x 1，x 2∈[2,6]，且x 1＜x 2，则 ()()()()()()()()()
212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x ---⎡⎤-⎣
⎦-=-==------.由2≤x 1＜x 2≤6，得x 1－1＞0，x 2－1＞0，∴(x 1－1)(x 2－1)＞0，又∵x 1＜x 2，∵x 2－x 1＞0，∵f (x 1)＞f (x 2)，∴函数21
y x =-在区间[2,6]上是单调减函数． ∴函数在[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x ＝2时，取最大值，且最大值为2；在x ＝6时，取最小值，最小值为0.4.。