通信原理—随机过程5讲(新)
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x
erfc(0) 1, erfc() 0, erfc(x) 2 erfc(x)
9
2019/10/19 电 子 技 术 系
误差函数和互补误差函数
01:25
随机信号分析 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之
基本概念
统计特性和 数字特征
间的关系如下:
erf (x) 2( 2x) 1
5
2019/10/19 电 子 技 术 系
一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
f(x)具有如下特性
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
14
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则
t
v0 (t) vi ( )h(t )d
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输 出过程ξo(t)的统计特性。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
0 (t) 0 h( )i (t )d
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯白噪声
01:25
n0 P() 2
R
n0 2
0
f
0
白噪声的功率谱和自相关函数
12
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
E 0 (t) a H (0)
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学
期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。
17
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
15
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
01:25
思考：
平稳随机过程通过线形系统时，系统输出 数学期望和输入数学期望之间有什么关系？
16
2019/10/19 电 子 技 术 系
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
余因子
01:25
对一个 矩阵 A，在 (i,j) 的子行列 式（余子式） Mij 定义为删掉 A 的
第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列 式。令
Cij: = ( − 1)i + jMij， 称为 A 在 (i,j) 的余因子（代数余
子式）。
3
2019/10/19 电 子 技 术 系
高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念
统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。
1
fn ( x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn ) (2 )n / 21 2 n B 1/ 2
exp
1
2 B
n j 1
n k 1
B
jk
xj aj
j
xk ak
k
ak E[ (tk )]
2 k
E[ (tk
)
ak
]2
小结
1
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
小结
一维高斯随机过程
01:25
式中， (x)称为概率积分函数，其定义为
(x) 1 x exp[ z2 ]dz
2
2
上式积分不易计算，常引入误差函数和互补 误差函数表示正态分布
8
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
过程也是平稳的。
19
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
01:25
1. 由式可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数 学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此， 对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。
2. 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。
3. 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。
4. 若干个高斯过程之和仍是高斯过程。
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2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。
随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信 号通过线性系统的分析原理的基础之上的。
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过
程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声 的自相关函数可借助于下式求得，即
R( ) n0 ( )
2 这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两 个时刻上的随机变量都是互不相关的。
11
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
（3）a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)图
形将随着 的减小而变高和变窄。
当a=0， 1 时，称f(x)为标准正态分布的密度
函数。
正态分布函数
正态分布函数是概率密度函数的积分，即
x1
(z a)2
2. 输出过程ξo(t)的自相关函数
R0 (t1, t1 ) E 0 (t1)0 (t1 )
E
0 h( )i (t1 )d
0
h(
) i
(t1
)d
0 0 h( )h( )E i (t1 )i (t1 )d d
小结
01:25
思考：
平稳随机过程通过线形系统时，系统输出 自相关函数是否与时间起点有关？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
H ( ) h(t)e jt dt 0
E 0 (t)
E
0
h(
)
i
(t
)d
E i (t ) E i (t) a
H (0) 0 h(t)dt
0 h( )E i (t )d a 0 h( )d
我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t) 与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
v0 (t) vi (t) h(t) vi ( )h(t )d
若
v0 (t) V0 (), vi (t) Vi (), h(t) H (),
则有
V0 () H ()Vi ()
F(x)
exp[
]dz
2
2 2
1
2
x
exp[
(z a)2
2 2
]dz
(
x
a
)
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有
fn (x1, , xn ;t1, , tn ) f (x1, t1 ) f (xn,tn )
统计独立
2
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
1 f (x)
2
(2)
f (x)dx 1
a f (x)dx f (x)dx 1
a
2
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
O
a
x
正态分布的概率密度
6
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一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
误差函数和互补误差函数
01:25
误差函数
erf (x) 2 x et2 dt
0
erf (0) 0, erf () 1, erf (x) erf (x)
互补误差函数
erfc(x) 2 et2 dt 1 erf (x)
或
v0 (t) 0 h( )vi (t )d
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则 vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入 过程ξi(t)的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样本之间 都满足上式的关系。
这样，就整个过程而言，便有
0 (t) 0 h( )i (t )d
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯白噪声
01:25
如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯
白噪声。
功率谱 角度
概率分 布角度
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，
不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均 匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带， 我们就可以把它视为白噪声。
平稳随机过程
高斯随机过程 erfc(x) 2 2 ( 2x)
随机过程通过 引入误差函数和互补误差函数后，不难求得
线性系统
窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
F
(
x)
1 2
1 2
erf
(
x
1
1
erfc(
x
a),
2
a),
2
2
当x a时 当x a时
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
余因子范例
01:25
4
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
Ei (t1 )i (t1 ) Ri ( )
R0 (t1, t1 ) 0 0 h( )h( )Ri ( )dd R0 ( )
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间 起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函 数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯随机过程
01:25
1 b12 b1n
B
b21
1
:归一化协方差矩阵的行列式；
bn1 bn2 1
B jk ：行列式 B 中元素 b jk 的代数余因子；
b jk
E{[ (t j ) a j ][ (tk ) ak )]} ：归一化协方差。 j k
10
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯白噪声
01:25
信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的
功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
P
( )
n0 2
erfc(0) 1, erfc() 0, erfc(x) 2 erfc(x)
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误差函数和互补误差函数
01:25
随机信号分析 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之
基本概念
统计特性和 数字特征
间的关系如下:
erf (x) 2( 2x) 1
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2019/10/19 电 子 技 术 系
一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
f(x)具有如下特性
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
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随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则
t
v0 (t) vi ( )h(t )d
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输 出过程ξo(t)的统计特性。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
0 (t) 0 h( )i (t )d
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯白噪声
01:25
n0 P() 2
R
n0 2
0
f
0
白噪声的功率谱和自相关函数
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2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
E 0 (t) a H (0)
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学
期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。
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2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
15
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
01:25
思考：
平稳随机过程通过线形系统时，系统输出 数学期望和输入数学期望之间有什么关系？
16
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正弦波加窄带 高斯噪声
小结
余因子
01:25
对一个 矩阵 A，在 (i,j) 的子行列 式（余子式） Mij 定义为删掉 A 的
第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列 式。令
Cij: = ( − 1)i + jMij， 称为 A 在 (i,j) 的余因子（代数余
子式）。
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2019/10/19 电 子 技 术 系
高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念
统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正 态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。
1
fn ( x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn ) (2 )n / 21 2 n B 1/ 2
exp
1
2 B
n j 1
n k 1
B
jk
xj aj
j
xk ak
k
ak E[ (tk )]
2 k
E[ (tk
)
ak
]2
小结
1
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
小结
一维高斯随机过程
01:25
式中， (x)称为概率积分函数，其定义为
(x) 1 x exp[ z2 ]dz
2
2
上式积分不易计算，常引入误差函数和互补 误差函数表示正态分布
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
过程也是平稳的。
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2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
01:25
1. 由式可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数 学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此， 对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。
2. 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。
3. 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。
4. 若干个高斯过程之和仍是高斯过程。
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随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。
随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信 号通过线性系统的分析原理的基础之上的。
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过
程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声 的自相关函数可借助于下式求得，即
R( ) n0 ( )
2 这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两 个时刻上的随机变量都是互不相关的。
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随机信号分析
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
（3）a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)图
形将随着 的减小而变高和变窄。
当a=0， 1 时，称f(x)为标准正态分布的密度
函数。
正态分布函数
正态分布函数是概率密度函数的积分，即
x1
(z a)2
2. 输出过程ξo(t)的自相关函数
R0 (t1, t1 ) E 0 (t1)0 (t1 )
E
0 h( )i (t1 )d
0
h(
) i
(t1
)d
0 0 h( )h( )E i (t1 )i (t1 )d d
小结
01:25
思考：
平稳随机过程通过线形系统时，系统输出 自相关函数是否与时间起点有关？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
H ( ) h(t)e jt dt 0
E 0 (t)
E
0
h(
)
i
(t
)d
E i (t ) E i (t) a
H (0) 0 h(t)dt
0 h( )E i (t )d a 0 h( )d
我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t) 与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
v0 (t) vi (t) h(t) vi ( )h(t )d
若
v0 (t) V0 (), vi (t) Vi (), h(t) H (),
则有
V0 () H ()Vi ()
F(x)
exp[
]dz
2
2 2
1
2
x
exp[
(z a)2
2 2
]dz
(
x
a
)
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有
fn (x1, , xn ;t1, , tn ) f (x1, t1 ) f (xn,tn )
统计独立
2
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
1 f (x)
2
(2)
f (x)dx 1
a f (x)dx f (x)dx 1
a
2
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
O
a
x
正态分布的概率密度
6
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一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
误差函数和互补误差函数
01:25
误差函数
erf (x) 2 x et2 dt
0
erf (0) 0, erf () 1, erf (x) erf (x)
互补误差函数
erfc(x) 2 et2 dt 1 erf (x)
或
v0 (t) 0 h( )vi (t )d
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则 vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入 过程ξi(t)的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样本之间 都满足上式的关系。
这样，就整个过程而言，便有
0 (t) 0 h( )i (t )d
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯白噪声
01:25
如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯
白噪声。
功率谱 角度
概率分 布角度
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，
不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均 匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带， 我们就可以把它视为白噪声。
平稳随机过程
高斯随机过程 erfc(x) 2 2 ( 2x)
随机过程通过 引入误差函数和互补误差函数后，不难求得
线性系统
窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
F
(
x)
1 2
1 2
erf
(
x
1
1
erfc(
x
a),
2
a),
2
2
当x a时 当x a时
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
余因子范例
01:25
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2019/10/19 电 子 技 术 系
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
Ei (t1 )i (t1 ) Ri ( )
R0 (t1, t1 ) 0 0 h( )h( )Ri ( )dd R0 ( )
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间 起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函 数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯随机过程
01:25
1 b12 b1n
B
b21
1
:归一化协方差矩阵的行列式；
bn1 bn2 1
B jk ：行列式 B 中元素 b jk 的代数余因子；
b jk
E{[ (t j ) a j ][ (tk ) ak )]} ：归一化协方差。 j k
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随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
高斯白噪声
01:25
信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的
功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
P
( )
n0 2