迈达斯—动力弹塑性分析滞回模型

迈达斯—动⼒弹塑性分析滞回模型
9-1 概要
⾮线性抗震分析⽅法可分为⾮线性静⼒分析⽅法和⾮线性动⼒分析⽅法。

其中⾮线性静⼒分析⽅法(静⼒弹塑性分析)因其理论概念易于理解、计算效率⾼、整理结果较为容易等原因为设计⼈员所⼴泛使⽤。

但是由于静⼒弹塑性分析存在反映结构动⼒特性⽅⾯的缺陷、使⽤的能⼒谱是从荷载-位移能⼒曲线推导出的单⾃由度体系的能⼒谱、不能考虑荷载往复作⽤效应等原因，在需要精确分析结构动⼒特性的重要结构上的应⽤受到了限制。

近年因为计算机硬件和软件技术的发展，动⼒弹塑性分析的计算效率有了较⼤的提⾼，使⽤计算更为精确的动⼒弹塑性分析做⼤震分析正逐渐成为结构⾮线性分析的主流。

9-1-1 动⼒弹塑性分析的运动⽅程
包含了⾮线性单元的结构的运动⽅程如下。

单元的⾮线性特性反映在切线刚度的计算上，且⾮线性连接单元的单元类型必须使⽤弹簧类型的⾮弹性铰特性值定义。

S I N Mu
Cu K u f f p ++++= (1)
其中， M ：质量矩阵
C ：阻尼矩阵
K S ：⾮线性单元和⾮线性连接单元以外的弹性单元的刚度矩阵
,,u u
u ：节点的位移、速度、加速度响应 p ：节点上的动⼒荷载
f I ：⾮线性单元沿整体坐标系的节点内⼒
f N ：⾮线性连接单元上的⾮线性弹簧上的沿整体坐标系的节点内⼒
弹塑性动⼒分析属于⾮线性分析不能象线弹性时程分析那样使⽤线性叠加的原理，所以
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因此，在时刻t t +?上的第(i)次迭代计算的位移、速度、加速度可按下⾯公式表⽰。

()(1)()i i i t t t t u u u
δ-+?+?=+ (11)
()(1)()(1)()i i i i i t t t t t t u u u u u t
γ
δδβ--+?+?+?=+=+
(12)
()
()(1)()(1)()2
1
i i i i i t t t t t t u u u u u t δδβ--+?+?+?=+=+
(13)
在时刻t t +?的第(i)次迭代计算的运动⽅程如下。

()()()
()i i i t t t t t t t t Mu Cu f u p +?+?+?+?++=
(14)
将式(14)代⼊式(12)、(13)可得关于增量位移()i u δ的平衡⽅程。

()()()i i i Eff Eff K u p δ?=?
(15)
其中， Eff K : 有效刚度矩阵，()
()
2
1
1i Eff t t K M C K t
t ββ+?=
+
+?? Eff p ? ：各迭代计算步骤的有效荷载向量
()(1)(1)(1) i i i Eff t t t t t t t t p p Mu Cu f ---+?+?+?+??=-++
()
i t t K +? ：⾮线性单元的切线刚度矩阵
()i u δ：各迭代计算步骤的位移增量向量β：Newmark-β法的参数
9-1-2 静⼒法
在时程荷载⼯况中选择“静⼒法”时表⽰在动⼒弹塑性分析中排除质量和阻尼的影响。

该⽅法可⽤于计算初始荷载作⽤下初始状态分析或Pushover 分析。

需要注意的是动⼒弹塑性分析中要考虑重⼒荷载作⽤下的初始状态的作⽤，⽽重⼒荷载作⽤下的初始状态也需要考虑⾮线性效果。

静⼒法中也将使⽤Newton-Raphson 法，增量控制⽅法有荷载控制法和位移控制法。

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3. 使⽤位移增量t t u δ+?利⽤数值积分⽅法计算,,t t t t t t u
u u +?+?+? 。

然后使⽤位移计算⾮线性铰的变形D 和恢复⼒P 。

4. 为了判断⾮线性构件的内⼒状态使⽤滞回曲线，此时将铰的变形和初始内⼒考
虑初始内⼒的结果进⾏修正：*ini D D D =+、*ini P P P =+。

5. 使⽤修正的变形*D 计算刚度和恢复⼒*。

6. 输出⾮线性铰的分析结果。

7. 为了⽣成新的动⼒平衡⽅程，将变形和恢复⼒重新修正：*ini D D D =-、
*ini P =-
8. ⽣成新的动⼒平衡⽅程后重新回到步骤2重复上述步骤直到完成整个时间增量。

(a) 初始内⼒在弹性范围内时
(b) 初始内⼒超过弹性范围时图2.9.1 对初始内⼒的处理⽅法
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其中， D ε：位移范数
F ε：荷载范数 E ε：能量范数
T eff p ：第n 次迭代计算阶段的有效荷载向量
n u δ：第n 次迭代计算阶段的位移增量向量 n u ? ：第n 次迭代计算阶段累计的位移增量向量
当结构的⾮线性特性⽐较显著时，按⽤户设定的最⼤迭代次数计算也有可能不能满⾜收敛条件，此时程序会重新回到初始状态细分时间步长重新分析。

t
t t
+?t t
+?t t
+?t t
+?; Incremental Effective Load r t t +?; Residual Force
R eff
t
R eff
t R eff
t t
+??
图2.9.2 ⽜顿-拉普森法
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分布型铰是假设构件内有多个铰，然后对各位置是否进⼊弹塑性进⾏判断，对进⼊弹性塑性的铰更新铰的刚度，然后通过数值积分获得单元的刚度。

分布型铰模型的滞回曲线使⽤截⾯的弯矩-曲率关系定义。

集中型铰相对于分布型铰具有计算量少的优点，但是如图2.9.4所⽰集中型铰需要事先假定铰的分布位置，当实际情况与假设情况不符时(如弯矩最⼤位置不是在假定位置)，计算结果有可能出错。

另外集中型铰位于构件的两端，不能考虑⾮线性区域的扩展(只能通过分割单元后给很多单元分配铰实现)。

分布型铰虽然计算量较⼤但是可以相对准确的反映铰的实际分布情况，因此可以得到更准确的分析结果。

程序中规定在同⼀个单元内各位置的铰使⽤相同的铰特性。

因此在程序中虽然对单元的i、j端可以指定不同的铰特性，程序内部也是取的平均值计算的。

所以对于变截⾯构件适当分割后取平均截⾯模拟时，分析结果也不会有太⼤差异。

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F : ⾮线性梁柱单元的柔度矩阵
K: ⾮线性梁柱单元的刚度矩阵
图2.9.5 集中型铰的柔度
弯矩铰的弯矩-旋转⾓的关系曲线不仅受端部弯矩的影响同时也受构件跨中的弯矩影响。

因此为了准确定义弯矩铰的弯矩-旋转
⾓关系需要事先假设弯矩在构件的分布状态。

图2.9.6是各种弯矩假设和对应的构件初始刚度。

图2.9.6 各种弯曲变形对应的初始刚度(单元长度=L、截⾯抗弯刚度=EI)
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图2.9.7 分布型铰模型
梁柱单元的弹塑性特性主要发⽣在构件端部，⽽⾼斯-勒让德(Gauss-Legendre )积分法⽆法将构件端部作为积分点，所以程序中使⽤了⾼斯-罗贝托(Gauss-Lobatto )积分法计算单元的柔度矩阵。

积分点的数量意味着单元内的弹塑性铰的数量，可指定的数量为1～20个。

如图2.9.8所⽰，积分点的位置与积分点的数量相关，离端部越近积分点的间距越⼩。

因为⾼斯-罗贝托积分法⽆法处理两个积分点的情况，所以当积分点为两个时，程序内部使⽤了古典⾼斯积分法(Classical Gauss Integration )构建了柔度矩阵。

分析结果的准确性与积分点的数量没有必然的联系，⽽积分点数量的增多会增加分析时间。

经⼤量的分析⽐较当积分点的数量等于5个及以上时，分析结果的差异不⼤，所以⼀般可取5个积分点。

.
(a) 积分点数=1 (b) 积分点数=2
(c) 积分点数=3 (d) 积分点数=4
(e) 积分点=5 (f) 积分点数=6
图2.9.8 ⾼斯-罗贝托积分法的积分点位置
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9-2-3 ⾮线性桁架单元
⾮线性桁架单元只有轴向的刚度，因此仅具有轴向的⾮线性特性。

单元的轴向刚度由单轴铰模型的滞回曲线的状态决定。

⾮线性桁架单元与⾮线性梁柱单元⼀样可以考虑初始轴⼒对其⼏何刚度的影响，此时在初始单元内⼒中输⼊初始内⼒后在“初始内⼒控制数据”命令中勾选在⼏何刚度中考虑初始轴⼒的选项即可。

动⼒弹塑性时程分析过程中将不更新初始的⼏何刚度。

i i j j
图2.9.10 ⾮线性桁架单元的轴向刚度
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9-3-2 梁单元的屈服强度
铰的滞回模型由屈服强度和屈服后刚度折减率定义。

单元的屈服强度可由⽤户直接输⼊也可以使⽤程序提供的⾃动计算的特性值。

屈服标准参见图2.9.11，钢材截⾯的第⼀屈服的标准为最外侧纤维的弯曲应⼒达到钢材的屈服强度时，第⼆屈服强度的标准为全
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(a) 钢结构截⾯屈服强度标准⽰意图
(b) 钢筋砼截⾯屈曲强度标准⽰意图图2.9.11 梁柱单元屈服强度标准⽰意图
9-4 单轴滞回模型(Hysteresis Model for Uni-axial Hinge)
单轴模型是指三个平动⽅向和三个旋转⽅向的内⼒成分相互独⽴。

除了随动硬化模型不⽀持正负区域⾮对称特性外，其它单轴滞回模型均⽀持正负区域的特性值为⾮对称。

本⽂说明中的响应点(response point)为滞回模型路径上的荷载-变形坐标点，加载是指荷载的绝对值的增加，卸载是指荷载的绝对值的降低，重新加载是指卸载过程中加载⽅向变化且荷载的绝对值增加，卸载点指从加载变为卸载的响应点。

钢筋混凝⼟构件混凝⼟发⽣裂缝、钢筋发⽣屈服时，其刚度会退化；另外在往复荷载作⽤时，截⾯屈服后卸载过程中刚度也会发⽣退化，且加载⽅向发⽣变化时，荷载-位移曲线具有指向过去发⽣的位移最⼤点的特性。

钢筋混凝⼟构件的恢复⼒模型有很多，但考虑刚度退化和指向最⼤值的两个特性是必须考虑的。

钢筋混凝⼟的滞回模型中最具代表性的是武⽥模型、克拉夫模型、刚度退化三折线模型。

钢材具有在某个⽅向发⽣屈服后卸载且反向加载时，反向的屈服应⼒有降低的特性，同时正向的屈服应⼒会加⼤，这样的特性被称为包⾟格效应(Bauschinger Effect)，当某个⽅向屈服强度提⾼的值和相反⽅向降低的值相等时，被称为理想包⾟格效应；另外钢材还具有应⼒随应变增加⽽增加的特性，即应变硬化(Strain Hardening)特性。

常⽤的钢材滞回模型有随动硬化型的标准双折线模型，也有可以使⽤标准三折线模型。

型钢混凝⼟的滞回模型使⽤武⽥模型的较多，也有使⽤在屈服点刚度会发⽣变化的随动硬化型标准双折线模型的，标准双折线模型不能考虑刚度退化。

下⾯对各种滞回模型做简要说明。