北师大版数学九年级上册：1.2.2 矩形的判定 同步练习(含答案)

1.2.2 矩形的判定
一、选择题
1.下列所给的条件中,不能判定一个四边形是矩形的是()
A.两条对角线相等
B.有三个角是直角
C.对角线互相平分且相等
D.一组对边平行且相等,有一个角是直角
2.如图K-5-1,要使▱ABCD成为矩形,需要添加的条件是()
图K-5-1
A.AB=BC
B.AO=CO
C.∠ABC=90°
D.∠1=∠2
3.如图K-5-2,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,若要使▱ABCD为矩形,则OB的长为()
图K-5-2
A.4
B.3
C.2
D.1
4.如图K-5-3,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,则四边形ABCD是()
图K-5-3
A.菱形
B.一般平行四边形
C.矩形
D.不能确定
5.如图K-5-4,在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,
分别交AB,AC于点E,F,下列说法正确的是()
图K-5-4
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形
二、填空题
6.▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①∠ABC=90°;②AC⊥BD;③AB=BC;④AC 平分∠BAD;⑤AO=DO.其中能使四边形ABCD是矩形的条件有.(填序号)
图K-5-5
7.如图K-5-5,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若两者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,其中的数学原理是.
三、解答题
8.如图K-5-6,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.求证:四边形ABCD是矩形.
图K-5-6
9.如图K-5-7,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.
求证:四边形AODE是矩形.
图K-5-7
10.如图K-5-8,在▱ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.
图K-5-8
11.已知:如图K-5-9,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
图K-5-9
13.如图K-5-10①,△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形.
(1)四边形ABCD是菱形吗?为什么?
(2)如图②,将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置,则四边形ABC1D1是平行四边形吗?为什么?
(3)在△BDC的移动过程中,四边形ABC1D1有可能是矩形吗?如果有可能,请求出点B移动的距离(写出过程);如果不可能,请说明理由(图③供操作时使用).
图K-5-10
参考答案
1.A
2.C
3.B[解析] 假如▱ABCD是矩形,则有OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OB=OA=3.故选B.
4.C[解析] ∵EF∥MN,
∴∠EAC+∠MCA=180°.
∵AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,∠EAF=180°,∠MCN=180°, ∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BAD=90°,∠BCD=90°,
∴∠B=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
故选C.
5.D[解析] 若AD⊥BC,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是矩形,选项A错误;
若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是菱形,不一定是矩形,选项B错误;
若BD=CD,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是菱形,选项C错误;
若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形,选项D正确.故选D.
6.①⑤
7.对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角
8.证明:∵AB∥CD,∠BAD=90°,
∴∠D=180°-∠BAD=90°.
∵在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,
∴AB2+BC2=AC2,
即△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
∴∠BAD=∠D=∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
9.证明:∵DE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AODE为平行四边形.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°,
∴四边形AODE 是矩形.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AG 平分∠DAB ,BG 平分∠ABC , ∴∠GAB=1
2
∠DAB ,∠GBA=1
2
∠ABC ,
∴∠GAB+∠GBA=1
2(∠DAB+∠ABC )=90°,即∠AGB=90°. 同理可得∠DEC=90°,∠AHD=90°=∠EHG , ∴四边形EFGH 是矩形.
(2)依题意得AB=CD=6,∠ECD=∠BCF=∠BAG=1
2∠DAB=30°. ∵在Rt △ABG 中,AB=6,∠BAG=30°, ∴BG=1
2AB=3.
∵在Rt △CDE 中,CD=6,∠ECD=30°, ∴DE=1
2CD=3,CE=√CD 2-DE 2=3√3.
∵在Rt △BCF 中,BC=4,∠BCF=30°, ∴BF=1
2BC=2,CF=√BC 2-BF 2=2√3,
∴EF=CE-CF=3√3-2√3=√3,GF=BG-BF=3-2=1, ∴四边形EFGH 的面积=EF×GF=√3. 11.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BF ∥CD ,AB=CD , ∴∠AFG=∠DCG.
∵G 是AD 的中点,∴AG=DG. 又∵∠AGF=∠DGC , ∴△AGF ≌△DGC , ∴AF=CD , ∴AB=AF .
(2)四边形ACDF 是矩形.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°,
∴∠F AG=60°.
∵AG=AB,AB=AF,
∴AG=AF,
∴△AGF是等边三角形,
∴AG=GF.
∵AF=CD,AF∥CD,
∴四边形ACDF是平行四边形,
∴AD=2AG,CF=2GF,则AD=CF,
∴四边形ACDF是矩形.
13.解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:
∵△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形,
∴AB=AD=BD=CD=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)四边形ABC1D1是平行四边形.
理由:∵∠ABD1=∠C1D1B=60°,
∴AB∥C1D1.
又∵AB=CD=C1D1,
∴四边形ABC1D1是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
(3)四边形ABC1D1有可能是矩形,此时,∠D1BC1=30°,∠D1C1B=90°.
∵C1D1=1,∴BD1=2.
又∵B1D1=1,∴BB1=1,
即点B移动的距离是1.。