光学成像系统的传递函数

第六章光学成像系统的传递函数
由衍射理论知道，即使一个没有象差的完善的透镜或光学系统，也得不到理想的几何象，而是一个由孔径决定的衍射光斑。

衍射斑的存在影响光学系统分辨物体细节的能力。

对于有象差存在的实际光学系统，还因为象差的存在而影响衍射斑中光能的分布，从而降低了光学系统的质量。

在常用的评价成象质量的方法中，如星点法是通过研究一个点物的衍射图形来判断象差的大小；分辨率法是用一个具有一定空间分布的鉴别率板作为物体来判断成象的好坏。

这些方法都存在一定的局限性。

实际的物体是有复杂的光强分布或振幅分布的，可以看作一个包含有各种空间频率的复杂光栅。

按照阿贝成象理论，一个只受衍射限制而无象差的理想光学系统，因为物体的频谱中的高频部分受到孔径的限制而不能参与成象，致使象面的复振幅分布不同于物面，即表示细节的高频部分丢失而使分辨率下降。

对于有象差存在的实际光学系统，不仅反映细节的高频部分由于孔径的限制而丢失，其它较低频率成分的光波也由于象差的存在而使得其振幅降低或位相改变，从而影响成象质量。

为了全面评价一个光学系统的成象质量的优劣，必须全面考察物面上的各种频率成分经过光学系统的传播情况，用来衡量这个传播状况的函数就是传递函数。

现在，光学传递函数的概念和理论已经较普遍地应用于光学设计结果的评价、控制光学元件的自动设计过程、光学镜头质量检验、光学系统总体设计的考虑及光学信息处理等方面。

特别是光学传递函数为光学仪器的设计、制造和使用提供了统一的评价标准，成为一个更全面更客观的质量评价方法。

本章主要讲授在频率域中描写衍射受限系统的成像特性。

所谓衍射受限系统即成像只受到有限大小孔经衍射的影响，无几何光学像差的理想系统。

对于有象差存在的实际光学系统对传递函数的影响也将作原理性的介绍。

§6-1 透镜、衍射受限系统的点扩展函数
一、透镜的点扩展函数
在§2-4中我们在学习脉冲响应和叠加积分时，引入了线性系统的点扩展函数（脉冲响应）的概念。

把δ函数作为分解输入函数g1的基元函数，系统对输入的响应即输出函数g2：
()()()⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞-=--=η
ξηξηξη
ξηξδηξd d y x h g d d y x g y x g ,;,,)],([),(,221111222S
其中)],([),;,(1122ηξδηξ--=y x y x h S 称为系统的脉冲响应（点扩展）函数，其表示系统在输出平面(x 2, y 2)的点上对输入平面坐标(ξ，η)上的δ函数的输入响应。

现在我们研究的系统是透镜。

这里1g 即物平面上光场分布()000,y x U ；2g 即像平面上光场分布()i i i y x U ,，所以
()()()⎰⎰∞
∞
-=0000000,;,,,dy dx y x y x h y x U y x U i i i i i
在§5-2里，我们知道，对于下图所示的光路，观察面上的复振幅分布为
()()dxdy dy dx e
y x t C y x U jk
i i ],[,112
11η
⎰⎰⎰⎰+∞∞
-+∞
∞
-=
其中
()()i
d d d d a C 10120
--=
λ，
y d y
d y x d x d x y x d y x f d d y x d d d i i i i i i i i )(2)(
2)
(1
))(111())(11(
1
111222212121101----+++--++--=η
如果我们用单位振幅的平面波照明透明片，即∞=-0d ，
10
10
=-d d a ，则
()i
d d C 12
1
-=
λ， y d y d y x d x d x y x d y x f d d y x d i i i i i i i i )(2)(2)(1
))(111())(1(1
1112222121211----+++--++-
=η 按照下图的符号标示，则
()i
d d C 021
-=
λ，
y d y d y x d x d x y x d y x f d d y x d i i i i i i i i )(2)(2)(1))(111())(1(0
000222202
0200----+++--++-
=η
用平面波照明透明片，透明片的透过率函数也就是物平面上光场分布，即
),(),(00011y x U y x t =
考虑到透镜的孔径函数P (x ，y )，并将以上各量代入下式
()()dxdy dy dx e
y x t C y x U jk
i i ],[,112
11η
⎰⎰⎰⎰+∞∞
-+∞
∞
-=
得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-∞
∞-∞∞
-∞
∞
-=
----+--⨯+-+-=----+++--++--=0
000000
000
00022
0020202202000000
000222202
0200
00002
),;,(),(}]})(2)(2))(111[(2exp{
)
,()2exp()2exp()(1
){,(]]})(2)(2)(1
))(111(
))(1[(2exp{
),(),([)(1
),(dy dx y x y x h y x U
dy dx dxdy y d y d y x d x d x y x f d d jk y x P d y x jk d y x jk d d y x U dxdy dy dx y d y d y x d x d x y x d y x f d d y x d jk y x P y x U d d y x U i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i λλ与系统的脉冲响应（点扩展）函数的定义相比知道
dxdy y d y d y x d x d x y x f d d jk y x P d y x jk d y x jk d d y x y x h i i i i i i i i i
i i ]})(2)(2))(111[(2exp{
)
,()2exp()2exp()(1
),;,(0
00022
002020220200----+--⨯+-+-=⎰⎰∞
∞-λ
便是透镜的点扩展函数。

当象面是物面的共轭，即
f
d d i 1
110=-时，透镜的点扩展函数为 dxdy y d y
d y x d x d x jk y x P d y x jk d y x jk d d y x y x h i i i i i i i i
i i ]})()[(
exp{)
,()2exp()2exp()(1
),;,(0
00002020220200-+--⨯+-+-=⎰⎰∞
∞-λ
又因为象面是物面的共轭面，若透镜孔径比较大，衍射效应不明显，在近轴近似下，则
i i i x M x d d x 100==
i i i y M y d d y 1
00== 其中0
d d M i =是横向放大率 所以
)2exp()2exp(2
02
202
020M
d y x jk d y x jk i i +-=+- 此时
000
00002
0002
0222
2
000
00020222202000}]})()[(
exp{)
,()(1
){,()22exp(}]})()[(exp{),()2exp()2exp()(1
){,(),(dy dx dxdy y d y
d y x d x d x jk y x P d d y x U M d y x jk d y x jk
dy dx dxdy y d y
d y x d x d x jk y x P M d y x jk d y x jk d d y x U y x U i i i i i
i i
i i
i
i i i i i i i i i i i i -+--⨯-+-+=-+--⨯+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞
-∞
∞
-∞∞-λλ
若我们研究的是象面的光强度分布，显然)22exp(2
02
222M d y x jk d y x jk i i i i i +-+的存在并不影响象面的光强度分布，此时透镜的点扩展函数可以写为
dxdy y My y x Mx x d j
y x P d d dxdy y d y
d y x d x d x jk y x P d d y x y x h i i i
i
i i i i i
i i ]})()[(2exp{),()(1]})()[(exp{),()(1
),;,(00020
00002
00-+---=
-+---=⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞-λπ
λλ
显然),;,(00i i y x y x h 的变量),;,(00i i y x y x 是两个线性组合，即)();(00My y Mx x i i --，所以),;,(00i i y x y x h 可以记为),(00My y Mx x h i i --。

如果令00~
Mx x =，00~My y =，则透镜的点扩展函数为 dxdy y y y x x x d j
y x P d d y y x x h i i i
i
i i ]})~()~[(2exp{),()(1
)~,~(000200-+---=
--⎰⎰∞
∞
-λπ
λ 我们知道，透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔径线度相对于波长λ和像距i d 的比例决定的。

为了便于比较，我们对,x y 作变量替换如下
,~i d x x λ= i
d y y λ=~ 将其代入点扩展函数表达式，得
y d x d y y y x x x j y d x d P M
y
d x d y y y x x x j y d x d P d d y d d x d d y d y y x d x x d j y d x d P d d dxdy y y y x x x d j
y x P d d y y x x h i i i i i i
i
i
i i i i i i i i
i i i i i i
i
i i ~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~(~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~
()~()~(]}~)~(~)~[(2exp{)~,~
()(1]})~()~[(2exp{),()(1)~,~(00000
0002
000200-+--=-+---=-+---=-+---=--⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-πλλπλλλλλλλπ
λλλλπ
λ
这就是我们最终我们所求得透镜的点扩展函数。

从上式可以看出，在傍轴近似下，薄透镜为一种简单的空不变系统，其点扩展函数就是透镜的孔径函数的傅里叶变换。

它决定了在像面上形成的夫琅和费衍射斑的复振幅分布，而理想像点就位于衍射斑的中心。

当透镜孔径远大于i d λ时，即x , y 在很大的范围内(也就是变量,~i d x x λ=i
d y
y λ=~在
很大范围内)1)~,~
(=y d x d P i i λλ，则点扩展函数可以近似为 )
~,~(~~]}~)~(~)~[(2exp{~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~
()~,~(00000000y y x x M y d x d y y y x x x j M
y
d x d y y y x x x j y d x d P M
y y x x h i i i i i i
i
i
i i --=-+--=-+--=--⎰⎰
⎰⎰∞
∞
-∞
∞-δππλλ
上式为一种极限情况，即无限大口径的理想光学系统，这时点物成点像。

二、衍射受限系统(DLS Diffraction-Limited System)的点扩展函数
一个衍射受限的成象系统，无论它由多少个光学元件组成，总可以用下图所示的系统来表示它的一般模型。

其中，入瞳和出瞳反映了系统实际孔径对光束的限制，因此一个系统的衍射受限就相当于受到入瞳或出瞳的限制，可以证明对整个系统，入瞳和出瞳是共轭的。

有了光瞳的概念，我们可以不去涉及光线在系统中行进的具体路径，而把整个系统的衍射受限看作由入瞳和出瞳边缘的作用。

按照衍射受限系统的定义，系统是没有几何像差的。

对于一个没有像差的复杂光学系统，其成像过程可描述为：任一物点
()00,y x 发出的发散球面波自由传播到入瞳，由于入曈孔径为有限大，光波发生衍射，入
瞳面上每一点都成为次级子波源，次级子波再传播到出瞳面，叠加成会聚球面波，最终
在像面上给出以),(00My Mx 为中心的出瞳的夫琅和费衍射图样。

我们将透镜的点扩展函数
dxdy y My y x Mx x d j
y x P d d y x y x h i i i
i
i i ]})()[(2exp{),()(1
),;,(0002
00-+---=⎰⎰∞
∞
-λπ
λ 按出瞳进行推广，就得到衍射受限系统的点扩展函数（采用系统的出瞳对光波的衍射作用）
dxdy y My y x Mx x d j
y x P K y x y x h i i i
i i ]})()[(2exp{),(),;,(0000-+--=⎰⎰∞
∞
-λπ
其中K 是与i i y x y x ,,00；无关的系数，M 是系统的横向放大率，i d 是出射光曈面到像平面的距离（不是通常意义下的像距），()y x P ,是出曈函数，其表示为
()⎩⎨
⎧=光曈外
光曈内0
1
,y x P
如果作变量替换00~Mx x =，00~My y =；i d x x λ=~，i
d y
y λ=~，可以得到
y d x d y y y x x x
j y d x d P d
K y y x x h i i
i
i
i
i i ~~]}~)~(~)~[(2exp{)~
,~()~,~(002
2
00-+--=--⎰⎰∞∞
-πλλλ
当光曈>>i d λ时，则认为在无限大的区域内都有1)~,~
(=y d x d P i i λλ，所以
)
~,~(~~]}~)~(~)~[(2exp{~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()~,~(0022002
2
002
200y y x x d K y d x d y y y x x x j d
K y d x d y y y x x x j y d x d P d K y y x x h i i i i i i
i i i i i i i --=-+--=-+--=--⎰⎰
⎰⎰
∞
∞
-∞
∞-δλπλπλλλ
上式表明，当可以忽略光曈衍射作用时，),(00y x 点的脉冲通过衍射受限系统后在
物平面上得到的仍然是点脉冲，即点物成点像，位置为00~
Mx x x i ==，00~My y y i ==，这便是几何光学理想成象的情况。

§6-2 相干照明下衍射受限系统的成像规律
相干照明下透镜成象是复振幅的线性系统，因此我们在上节导出的象面振幅
⎰⎰∞
∞
-=
0000000
),;,(),(),(dy dx y x y x h y x U
y x U i i i i i
应是复振幅的叠加积分。

根据上节导出的衍射受限系统的点扩展函数
dxdy y My y x Mx x d j
y x P K y x y x h i i i
i i ]})()[(2exp{),(),;,(0000-+--=⎰⎰∞
∞
-λπ
其中K 是与i i y x y x ,,00；无关的系数，M 是系统的横向放大率，i d 是出射光瞳面到像平面的距离。

当光曈(x , y )>>i d λ时，则认为在无限大的区域内都有光瞳函数1),(=y x P ，所以在象面上得到理想象点，其点扩散函数为
)
,(}])(2}{exp[])(2{exp[)
)((1
)](2[])(2exp[)](2[])(2exp[))((1)(]})()[(2exp{]})()[(2exp{),(),;,(002
200002
20000002
000000Mx y Mx x d K y My y d j x Mx x d j
My y Mx x d K y My y d j d y My y d j
x Mx x d j d x Mx x d j My y Mx x j d K dxdy y My y x Mx x d j
K
dxdy y My y x Mx x d j y x P K
y x y x h i i i i i
i i i i i
i i
i i i i
i i i i i
i i i
i i i
i i --=----⨯--=----⨯-------=-+--=-+--=∞∞-∞∞-∞
∞
-∞
∞-∞
∞
-∞
∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰δλλπλπλλπ
λπλπ
λπλλπ
λπ
所以在理想成象的情况下，象面上的复振幅分布为
),(
),(),(),;,(),(),(02
20000000
2
2
000000
M
y M x U d K dy dx Mx y Mx x y x U
d K dy dx y x y x h y x U
y x U i
i i i i i
i i i i g λδλ=--==
⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞
-
可以看出，理想象分布),(i i g y x U 与物函数分布U 0是一样的，只是在x i ，y i 的方向上都放大了M 倍（若M <1,则为缩小）。

当然振幅的大小也发生了变化。

我们知道，出射光瞳的点扩散函数为
)
,(~
]})()[(2exp{),()(1]})()[(
exp{),()(1),;,(0000020
00002
00My y Mx x h dxdy y My y x Mx x d j y x P d d dxdy y d y
d y x d x d x jk y x P d d y x y x h i i i i i i i i i i i
i i --=-+---=-+---=⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞-λπ
λλ 所以
)
,(~
),(),(~
),(),(~
),(
),(~)1
,1(),(~
),(),;,(),(),(0
0000000000000000
0000000
000000
i i i i g i i i i g i i i i i i i i i i i i i y x h y x U dMy dMx My y Mx x h y x U dMy dMx My y Mx x h M
y M x U dMy dMx My y Mx x h My M Mx M U dy dx My y Mx x h y x U dy dx y x y x h y x U
y x U *=--=
--=--=--==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞-∞
∞-∞
∞-∞
∞- 上式表明，物()000,y x U 通过衍射受限系统后，像分布()i i i y x U ,是理想像)
,(i i g y x U 和点扩展函数),(~
i i y x h 的卷积。

另外，从叠加积分的角度也可以认为物的像分布是理想像分布的叠加。

像的强度分布则为
),(),(),(*i i i i i i i i i y x U y x U y x I =
因为dxdy y My y x Mx x d j
y x P My y Mx x h i i i
i i ]})()[(2exp{),(),(~
0000-+--=--⎰⎰∞
∞
-λπ
当0,
000==y x 时，
)]
,([)()()](2exp[),()](2exp[),(),(~
y d x d P d y d d x d y y x x d j d y d d x d P dxdy y y x x d j y x P y x h i i i
i i i i i i i i
i i i
i i λλλλλπλλλλλπ
F =+-=
+-=
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞- 这表明，对衍射受限系统，表征系统成像特点的点扩展函数),(~
i i y x h 是光曈函数的傅立叶变换，可见光曈函数对描述衍射受限系统成像的重要性。

§6-3 衍射受限系统的相干传递函数
在频率域中，我们可以用点扩展函数),(~
i i y x h 的频谱函数),(y x f f H 来描述系统的成像特性，),(y x f f H 即是衍射受限系统的相干传递函数。

一、相干传递函数与光曈函数的关系
我们知道空域中，在用相干照明的情况下，象面的复振幅为
),(~
),(),(i i i i g i i i y x h y x U y x U *=
其中),(i i g y x U 是理想像点的复振幅分布，),(~
i i y x h 是点扩展函数。

如果令
)],(~
[),(i i y x y x h f f H F =
)],([),(i i i y x i y x U f f G F = )],([),(i i g y x g y x U f f G F =
则在频域中，有
()()()y x g y x y x i f f G f f H f f G ,,,=
其中)],(~
[),(i i y x y x h f f H F =就是相干传递函数（CTF Coherance Transfer Function ）。

而由)],([),(~
y d x d P y x h i i i i λλF =，得
)
,(]}
,([{),(y i x i i i y x f d f d P y d x d P f f H λλλλ--==F F
上式表明，相干传递函数),(y x f f H 等于光曈函数，仅在空域坐标y x ,和空间频率
y x f f ,之间存在一定的缩放关系。

对衍射受限系统，光曈函数为
()⎩⎨
⎧=在光曈外
在光曈内y x y x y x P ,0
,1
,
所以，由(x , y )决定的(f x , f y )[x i f d x λ-=，y i f d y λ-=]若在光曈内，则
1),(),(=--=y i x i y x f d f d P f f H λλ；若在光曈外，则0),(),(=--=y i x i y x f d f d P f f H λλ。

即
⎪⎩⎪⎨
⎧----=--=外
在光曈内在光曈 ),(0
),(1
),(),(y i x i y i x i y i x i y x f d f d f d f d f d f d P f f H λλλλλλ
所以衍射受限系统相当于一个低通滤波器，它允许一定空间频率(f x ，f y )范围内的物光波无衰减的通过，而高于一定空间频率(f x ，f y )的物光波则完全不允许通过。

这一特定空间频率(f x ，f y )称为截止频率，记为f 0。

通过的频带宽度由光曈尺寸决定。

成像系统的光曈的形状和大小直接影响着相干传递函数。

相干传递函数也就是滤波函数，在光曈面上放置特殊形状的光阑，便能起到滤波作用。

相干传递函数中变量的“-”号是因为一个函数连续进行两次傅里叶变换所产生的，它与光曈坐标的指向有关，若改变其坐标方向，式中负号消失，这对所研究的问题没有影响。

所以通常把),(y x f f H 写为
),(),(y i x i y x f d f d P f f H λλ=。

当出射光瞳为边长为l 的正方形时，相干传递函数
)(
rect )(
rect ),(),(l
f d l
f d f d f d P f f H y
i x
i y i x i y x λλλλ==
其在x 和y 方向的截止频率为
i
d l f λ20=
当出射光瞳为直径为D 的圆时，相干传递函数
)2(
circ )2
(
circ ),(),(222
2i
y x y x i y i x i y x d D f f D f f d f d f d P f f H λλλλ+=+==
其截止频率为
F
d D d D f i i 1
212120λλλ===
上式中D /d i 为光圈F 数（即相对孔径D /f ）的倒数。

可见大相对孔径的镜头截止频率高，也就是镜头分辨物体的细节能力强。

这也是为什么高级的专业相机的镜头相对孔径都比较大的原因。

所以我们在摄影的时候，如果追求被摄物体（如人物摄影）清晰，就应使用大光圈（为了保证曝光量，则相应提高快门速度）。

当然如果进行的是风光摄影，为了追求景深，则应该使用小光圈（相机的光圈与景深成反比）。

因为光学系统的光曈多
数情况为圆，所以上式很有用。

§6-4 非相干照明下的物像关系，光学传递函数
上一节我们看到了相干传递函数与光瞳函数之间有非常直接而简单的关系。

当用非相干光照明时，我们将会看到，这时的传递函数仍由光瞳函数决定，但二者之间的关系较为间接而且复杂一些。

非相干照明在成象系统中用的比较多。

这一节将在相干传递函数的基础上，首先找出非相干成象系统的光学传递函数与相干传递函数之间的关系，然后分析光学传递函数的特点。

一、非相干成象系统的线性性质
非相干成象系统与相干成象系统不同，可以证明，它是光强度的线性系统，而不是复振幅的线性系统。

因此在象面上的光分布是光强度的叠加。

物面上复振幅为),(000y x dU 的一点的光振动，通过衍射受限系统后，其在象面上象点的复振幅为
),;,(),(),(00000i i i i i y x y x h y x dU y x dU =
因此其在象点的光强度为
2
0000000*0000*
0000*|),;,(|),(),;,(),;,(),(),()
,(),(),(i i i i i i i i i i i i i i i y x y x h y x dI y x y x h y x y x h y x dU y x dU y x dU y x dU y x dI ===
所以在象面),(i i y x 点的光强度为
⎰⎰∞
∞
-=00200000|),;,(|),(),(dy dx y x y x h y x I y x I i i i i i
如果令
20000|),;,(|),;,(i i i i i y x y x h y x y x h =
则
⎰⎰∞
∞
-=0000000),;,(),(),(dy dx y x y x h y x I y x I i i i i i i
我们在前面研究相干光照明的情况曾定义),(~
),;,(0000My y Mx x h y x y x h i i i i --=，同样我们可以定义),(~
),;,(0000My y Mx x h y x y x h i i i i i i --=，所以
2
0000000
000000|),(~
|),(')
,(~
),('),(~
),('),;,(),(),(i i i i g i i i i i g i i i g i i i i i i y x h y x I k y x h y x I k dy dx My y Mx x h y x I k dy dx y x y x h y x I y x I *=*=--==⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
- 由此可见，象的光强分布是物的光强分布（理想象）与强度脉冲响应),(~
i i i y x h 的卷积，而且非相干光系统的脉冲响应是相干光脉冲响应的模的平方。

由于),(~
i i y x h 是光瞳函数的傅立叶变换，所以2|),(~
|),(~i i i i i y x h y x h =和光瞳函数也有确定的关系，后面我们将给出这种关系。

二、光学传递函数（OTF Optical Transfer Function ）
在非相干光照明条件下，衍射受限系统对于光强度是线性空不变系统，所以在频率域中来描写物象的强度关系将更加方便。

我们令
)],(~
[),(i i i y x i y x h f f H F =
)],([),(i i i y x i y x I f f G F = )],([),(i i g y x g y x I f f G F =
对),(~
),('),(i i i i i g i i i y x h y x I k y x I *=取傅立叶变换（略去常数因子），得
),(),(),(y x i y x g y x i f f H f f G f f G =
因为i g i h I I ~,,都是强度分布，即0~
,,≥i g i h I I ，其傅立叶变换中必含零频分量（或者说是直流分量），并且其幅值大于任何非零频幅值，即
),()0,0(y x i i f f G G ≥；),()0,0(y x g f f G G ≥；),()0,0(y x i i f f H H ≥
因为决定像的清晰与否，在于带有信息的那部分能量相对于零频能量分量的比值的
大小，也就是调制度或反差度的大小。

从观察的效果上看，调制度或反差度越大，图象越清晰。

光学成象系统的成象质量由其是否如实地反映物体本身各空间频率的对比度来决定，所以考虑一个规范化，或者叫归一化的频谱函数可以更确切地表明所研究的图象的特征。

为此我们用零频值对频谱函数作归一化处理，得到归一化频谱函数分别如下：
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-+-=
=
i
i i i g
i
i i y i x i i g
g y x g y x g dy dx y x I
dy dx y f x f j y x I
G f f G f f ),()](2exp[),()
0,0(),(),(πG
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-+-=
=
i
i
i
i
i
i
i i y i x
i
i
i
i y x i y x i dy
dx y x I dy dx y f x f
j y x I G f f G f f ),()](2exp[),()
0,0(),(),(πG
⎰
⎰⎰
⎰∞
∞
-∞
∞
-+-=
=
i
i i i i i
i i y i x i i i i y x i y x dy dx y x h dy dx y f x f j y x h H f f H f f ),(~
)](2exp[),(~
)
0,0(),(),(πH
根据),(),(),(y x i y x g y x i f f H f f G f f G =，则)0,0()0,0()0,0(i g i H G G =，所以
),(),(),(y x y x g y x i f f f f f f H G G =
我们称),(y x f f H 为非相干光学系统的传递函数，简称光学传递函数（OTF Optical Transfer Function ）。

因为),(y x f f H 是一个复函数，可以表示为
)
,()
,(),(|),(|),(y x y x f f j y x f f j y x y x e
f f T e
f f f f ϕϕ--==H H
它的振幅),(y x f f T 和位相部分),(y x f f ϕ分别称调制传递函数（MTF Modulation Transfer Function ）和位相传递函数（PTF Phase Transfer Function ）。

其意义将在下节说明。

三、光学传递函数),(y x f f H 与相干传递函数),(y x f f H 的关系
我们已知
|)],(~
[)]
,(~
[)0,0()
,(),(====y x f f i i i i i i i y x i y x y x h y x h H f f H f f F F H 而
),(~
),(~|),(~|),(~*2i i i i i i i i i y x h y x h y x h y x h ==
所以
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰∞+∞
-∞
+∞
-∞
+∞
-*===⊗=
++=
=η
ξηξη
ξηξη
ξηξηξd d H f f H f f H d d H d d f f H H y x h y x h y x h y x h f f y x y x y x f f i i i i i i i i y x y x 2
2
0**),()
,(),(),(),(),(|)],(~
),(~[)]
,(~
),(~[),(F F H
式中⊗是相关运算符号，上式表明光学传递函数OTF 是相干传递函数（CTF ）的自相关，这个结论不仅适用于衍射受限系统，对非衍射受限系统也是成立的，所以此结论具有一般性。

将相干传递函数),(=),(y i x i y x f d f d P f f H λλ代入上式，我们得到光学传递函数
),(y x f f H 与光曈函数()y x P ,之间的关系为
⎰⎰
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-++=
η
ξηλξλη
ξηλξληλξλd d d d P d d f d f d P d d P f f i i y i x i i i y x 2
*
),()](),([),(),(H
如果令ξλi d x =，ηλi d y =，则
⎰⎰
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-++=
dxdy
y x P dxdy
f d y f d x P y x P
f f y i x i y x 2
*
),(),(),(),(λλH
显然1),(),(),()0,0(2
*==
⎰⎰
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-dxdy
y x P dxdy y x P y x P H ，即零频的OTF=1，这是归一化的结果，
说明物体的零频成分通过系统后保持不变。

另外，若令y i x i f d y Y f d x X λλ+=+=,，则
)
,(),(),(),(),(),(),(),(2
2
y x y i x i y i x i y x f f dxdy
y x P dXdY Y X P f d Y f d X P dxdy
y x P dxdy f d y f d x P
y x P f f --=--=
++=
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-*
∞
∞
-∞
∞
-*
*
H H
λλλλ
说明光学传递函数),(y x f f H 具有厄米性。

当然我们还可以用Schwarz 不等式证明1)0,0(),(0
22=<≠+H H y x f f y x f f ，即光学传
递函数具有递减性，有兴趣的同学可以自己证明。

对衍射受限系统，),(y x P 取简单值，即⎩⎨
⎧=光曈外
光曈内0
1
),(y x P ，),(),(*y x P y x P =，
1),(|),(|2==y x P y x P ，所以
光曈总面积光瞳
==
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-dxdy dxdy y x P 2
|
),(|
而对于
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-++=
++dxdy f d y f d
x P y x P dxdy f d y f d
x P y x P y i x i
y i x i
),(),(),(),(*
λλλλ，
因为),(),(y i x i f d y f d x P y x P λλ++只有在),(y x P 和),(y i x i f d y f d x P λλ++的交叠区域才不为0，所以
重叠面积重叠区
==
++⎰⎰⎰⎰∞
∞-dxdy dxdy f d y f d x P y x P y i x i ),(),(*
λλ
所以光学传递函数
光曈总面积
重叠面积
=
),(y x f f H
这样，要计算一个衍射受限系统的光学传递函数（OTF ），就变成了对于光瞳的几何图形的面积运算。

对于简单的光瞳几何形状，可求出重叠面积的完整表达式；对于形状很复杂的光曈，可用计算机算出在一系列分离频率上的值。

衍射受限系统光学传递函数OTF 的例子
例一、衍射受限系统的光曈函数是边长为l 的正方形，求其OTF 。

解：)(rect )(rect ),(l
y l x y x P =
光曈总面积2l
重叠面积：将),(y x P 在y x ,方向上分别移动y i x i f d f d λλ--, (1) 当l f d x i ≥||λ，l f d y i ≥||λ时，显然重叠面积0),(=y x f f S (2) 当|l f d x i <|λ，|l f d y i <|λ时，重叠面积
|)||)(|(),(y i x i y x f d l f d l f f S λλ--=
所以
2
|)
||)(|(),(l
f d l f d l f f y i x i y x λλ--=
H
我们知道光曈为边长为l 的正方形时，相干传递函数在f x 和f y 方向上的截止频率都是i
d l
f λ20=
，所以用三角函数表示相干传递函数则为 )2()2(
)2||1)(2||1(),(0
00
0f f f f f f f f f f y x
y x y x ΛΛ=--
=H
根据三角函数的定义式，⎩⎨⎧≤-=Λother 0
1
||||1)(x x x ，得到),(y x f f H 在f x 和f y 方向的截
止频率为02f 。

在其他方向上，),(y x f f H 的截止频率不同。

在截止频率以内，
),(y x f f H 随空间频率增大而减小（见下图），而相干传函数),(y x f f H 是常数1。

例二、衍射受限系统的出射光曈是直径为l 的圆，求光学传递函数（OTF ）。

解：光曈为圆形，则),(y x f f H 圆对称，故计算出)0,(x f H 即可得到H 随2
2y x f f +=ρ的变化。

(1)光曈总面积：2)2
(l
π
(2)交叠面积：)cos sin (2
)cos sin 22()2()0,(2
2θθθθθθ-=-=l l f S x
其中l
f d l f d x
i x i λλθ=
=
2
/2
/cos
当l f d x i ≥||λ时，交叠面积为0，0)0,(=x f H ，所以x 方向截止频率为i
d l f λ=0。

而在截止频率以内，在x 方向光学传递函数为
)cos sin (2
)2
()0,()0,(2θθθππ-==
l f S f x x H 在极坐标中：⎪⎩⎪
⎨⎧≤-=other 0)cos sin (2
)(i d l λρθθθπ
ρH 其中空间频率22y x f f +=
ρ，l
d i ρ
λθ=
cos
我们知道，相干传递函数的截止频率)2/(0i d l f λ=，而光学传递函数的截止频率为
)/(0i d l f λ=，可见光学传递函数的截止频率皆为相干传递函数的两倍。

但是光学传递函
数的截止频率是随空间频率的升高而逐渐下降的，而相干系统在截止频率之内却有相同的传递函数（下图表示两者的比较）。

实际上两种截止频率是对两种不同的情况而言的，相干截止频率是针对复振幅而言的，而非相干的截止频率是针对光强而言的。

因此不能说同样的系统非相干照明比相干照明成像效果好。

那种照明情况成象好，还与物的状况、使用目的等有关，需要具体问题具体分析。

§6-5 光学传递函数的物理意义
我们在上节曾定义了理想象点光强分布),(i i g y x I 、象点光强分布),(i i i y x I 和强度脉
冲响应),(~
i i i y x h 的归一化频谱函数),(y x g f f G 、),(y x i f f G 和),(y x f f H ，并且有
1)0,0(=H ，),(),(y x y x f f f f --=*H H ，1),(0
22<≠+y x f f y x f f H 。

如果将),(y x g f f G 、
),(y x i f f G 和),(y x f f H 都写成复指数形式，则有
)
,(|),(|),(y x g f f j y x g y x g e f f f f ϕG G =
)
,(|),(|),(y x i f f j y x y x e
f f f f ϕi i G G = )
,(|),(|),(y x f f j y x y x e
f f f f ϕH H =
而),(),(),(y x y x g y x f f f f f f H G G i =，则
)
,()
,()
,(|),(||),(||),(|y x y x g y x i f f j f f j y x y x g f f j y x e
e
f f f f e
f f ϕϕϕH G G i =
所以
|
),(|),(|),(y x g y x y x f f f f f f G |G |H |i =
),(),(),(y x g y x i y x f f f f f f ϕϕϕ-=
光学传递函数),(y x f f H 是描写非相干照明下系统成像特性的，与输入物函数的具体形式无关。

我们假设输入的物函数是空间频率为y x f f '',的余弦函数，用下列表达式表
示
)]~~(2cos[)~,~(0000y f x f b a y x I y x g '+'+=π
其相应的频谱函数则为
)]
,(),([2
),()]
~,~([),(00y y x x y y x x y x g y x g f f f f f f f f b
f f a y x I f f G '+'++'-'-+==δδδF 而
),(~
),(),(i i i i i g i i i y x h y x I y x I *=
所以
)],(~
[)],([)],([i i i i i g i i i y x h y x I y x I F F F =
根据),(y x f f H 的定义)
0,0(),(),(i y x i y x H f f H f f =
H ，所以
),()0,0(),()},(~
{y x i y x i i i i f f H f f H y x h H F ==
又因为=)0,0(i H 光瞳面积=C ，则
),()],(~
[y x i i i f f C y x h H F =
所以
)]
,(),()[,(2
)
,(),()
,()],([y y x x y y x x y x y x y x y x i i i i f f f f f f f f f f b
C f f f f Ca f f G y x I '+'++'-'-+==δδδH H F
因为C 为常数，对像强度分布无影响，在求),(i i i y x I 时，即对),(y x i f f G 求傅立叶逆变换时，可以将C 略去。

]
),(),([2
)0,0(),(),(2),(),(2),(),()]
,([),()(2)(2)(2)(2)
(21
i y
i x i y i x i y i x i y i x i y i x y f x f j y x y f x f j y x y x y f x f j y x y y x x y x y f x f j y x y y x x y
x y f x f j y x y x y x i i i i e f f e f f b a df df e f f f f f f b df df e f f f f f f b df df e
f f f f a f f G y x I '+'-'+'∞
+∞
-+∞
+∞-+∞
+∞-+-'-'-+''+='+'++'-'-+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππδδδH H H H H H F
我们根据1)0,0(=H ，),(),(y x y x f f f f --=*H H 和)
,(|),(|),(y x f f j y x y x e f f f f '
'''=''ϕH H
可以得到
)]
,()(2cos[|),(|)],()(2exp[),(2
)],()(2exp[|),(|2
),(y x i y i x y x y x i y i x y x y x i y i x y x i i i f f y f x f f f b a f f j y f x f j f f b
f f j y f x f j f f b
a y x I ''+'+'''+=-+-''+
++''+
=ϕπϕπϕπH H H
比较
)]~~(2cos[)~,~(0000y f x f b a y x I y x g '+'+=π
和
)],()(2cos[|),(|),(y x i y i x y x i i i f f y f x f f f b a y x I ''+'+'''+=ϕπH
两式可以看出，余弦物通过衍射受限系统后，仍为同频率的余弦函数，但振幅变小了（因为1)
,(0
22<≠+y x f f y x f f H ），位相也发生了改变。

幅度和位象的变化决定于),(y x f f ''H 在该
频率处的取值。

需要指出的是，对于衍射受限系统，相干传递函数和光学传递函数都为正实函数，即在传递函数)
,(|),(|),(y x f f j y x y x e
f f f f ϕ-=H H 表达式中，0),(=y x f f ϕ，这
意味着衍射受限系统在成象时只改变空间频率成分的幅度，而不产生位相改变。

但在后面将要讨论的有象差的成象系统中，一般同时表现为幅度和位相的同时改变。

为了说明|),(|y x f f H 的意义，我们分别求出上述物和象的调制度（即可见度）。

物的调制度（可见度）a
b
I I I I V g g g g g =
+-=
min
max min max
像的调制度（可见度）|),(|min
max min max y x g i g i i f f a
b
I I I I V ''=
+-=
H 所以
g
i
y x V V f f =
''|),(|H 这个式子就是说，
|),(y x f f H |表示空间频率为y x f f ,的余弦物通过系统后调制度的比值，所以|),(y x f f H |也叫调制传递函数（MTF ）。

调制传递函数是空间频率的函数，它描述系统对物的对比度的传递能力。

根据光学传递函数的厄米性可证明，MTF 为偶函数，即|),(||),(|y x y x f f f f --=H H 。

对于),(),(),(y x g y x i y x f f f f f f ''-''=''ϕϕϕ，其意义很清楚，),(y x f f H 的辐角),(y x f f ϕ表示频率为y x f f ,的余弦像分布相对于物（理想像）的横向位移量。

所以也把叫),(y x f f ϕ做位相传递函数(PTF)。

位相传递函数同样也是空间频率的函数，表示物和像之间的位相差，它体现了像强度分布),(i i y x I 的位置相对与其对应的物强度分布),(00y x I [即理想
像)~,~
(00y x I g ]移动了多少。

同样根据光学传递函数的厄米性可证明，PTF 为奇函数，即),(),(y x y x f f f f ---=ϕϕ。

§6-6 象差及其对传递函数的影响
以上讨论的都是衍射受限系统的传递函数，因为这样的系统属线性空间不变系统，所以存在传递函数。

在相干照明的情况下，得到相干传递函数),(y x f f H ；在非相干照明的情况下，得到光学传递函数),(y x f f H 。

但是实际光学系统都存在象差。

所谓象差即是出瞳上的波前对理想球面的偏差。

球差、慧差和象散使得成象不清晰，场曲、畸变改变象的位置和形状。

所以有象差的光学系统一般不属于空不变系统，所以不能定义传递函数。

但是作为一种近似，我们仍可以在原来衍射受限系统的传递函数的理论框架下对传递函数进行讨论，对原来的传递函数进行修正。

1、象差的影响、广义光瞳函数
当成象系统是衍射受限系统时，点扩展函数是出瞳函数的夫琅和费衍射，其中心在理想象点上。

而当系统存在象差时，出瞳上的波面不再是球面。

因为传递函数与光瞳函数有直接关系，所以如果能把由于象差的存在所产生的影响换算成相应的光瞳函数的改变，则有象差存在时的传递函数也就自然可以得出。

这个问题的具体考虑方法是这样的：假定S 0面是以理想象点A 为中心，通过光瞳中心的球面（称为参考球面）；而S 面是由于象差的存在而偏离了球面的实际波面。

这个实际波面的形成可以看成是由于在光瞳处放置了一块透明移相板P （其移相函数，或者说光学厚度分布函数为W (x ，y )）对理想球面波的改变。

这时出瞳面上的透过率函数（即光瞳函数）则为
)],(exp[),(),(y x jkW y x P y x =P
式中P (x , y )为原来意义的光瞳函数，),(y x P 称为广义光瞳函数，它是一个复函数。

W (x ，y )称为波象差。

这样一个有象差的的相干光学系统的脉冲响应),(~
i i i y x h ，就是一个具有广义光瞳函数孔径产生的夫琅和费衍射图样。

2、有像差时的相干传递函数和光学传递函数
在相干系统中，象差对传递函数的影响是很简单的。

因为无像差时相干传递函数正比于光瞳函数),(y x P ，当存在象差时，相干传递函数则正比于广义光瞳函数),(y x P 。

所以
)]
,(exp[),()
,(),(y i x i y i x i y i x i y x f d f d jkW f d f d P f d f d f f H λλλλλλ==P
显然，象差的出现并不改变相干系统的截止频率，截止频率仍由孔径大小所限制。

象差的效应表现在通频带内引入了位相畸变。

由于各空间频率之间位相关系的改变，会对象质产生严重影响，系统甚至会出现“颠倒黑白”的情况。

在求出象差对相干传递函数的影响后，根据无像差时，光学传递函数
dxdy y x P dxdy
f d y f d x P y x P f f y i x i y x ⎰⎰
⎰⎰∞
+∞
-+∞
∞
-*++=
2
|),(|),(),(),(λλH
有像差时，光瞳函数),(y x P 用广义光瞳函数),(y x P 代替，则有
dxdy
y x dxdy
f d y f d x y x f f y i x i y x ⎰⎰⎰⎰∞
+∞
-+∞
∞
-*
++=
2
|
),(|),(),(),(P P P
H λλ
显然分母dxdy y x P dxdy y x ⎰⎰
⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-=
2
2
|),(||),(|P =光曈总面积 而分子
⎰⎰⎰⎰∞
+∞
-*+∞
∞
-*
-++++=
++++-dxdy
y x jkW f d y f d x jkW f d y f d x P y x P dxdy f d y f d x jkW f d y f d x P y x jkW y x P y i x i y i x i y i x i y i x i )],(),(exp[),(),()],(exp[),(),(exp(),(λλλλλλλλ
因为()⎩⎨
⎧=光曈外
光曈内
1,y x P ，在()y x P ,与),(y i x i f d y f d x P λλ++的交叠区域),(y x f f A 外
被积函数为0，所以
光曈总面积
⎰⎰-++=
)
,()],(exp[)],(exp[),(y x f f A y i x i
y x dxdy y x jkW f d y f d
x jkW f f λλH
将上式写成对称形式
光曈总面积
⎰⎰
-
-
-+
+
=
)
,()]2
,2
()2
,2
(exp[),(y x f f A x i
x i
y i
x i
y x dxdy
f d y f d x jkW f d y f d x jkW f f λλλλH
上式把光学传递函数),(y x f f H 与含有波象差W (x ，y )的积分联系起来。

由于W (x ，y )是可以用几何光学方法精确地算出的，因此我们得到了一个计算学传递函数(OTF)的实用公式。

一般来说),(y x f f H 是复函数，所以可以将光学传递函数写为
)
,(|),(|),(y x f f j y x y x e
f f f f ϕ-=H H 。

下面以离焦系统为例看看象差对OTF 的影响。

3、离焦成像系统的传递函数
离焦实际上不是像差，而是由调焦不准确引起的。

我们现在来计算圆形出瞳（出瞳半径为a ）光学系统离焦时的OTF 。

令ηξa y a x ==,（即对出瞳坐标进行归一化），并利用相干系统的截止频率
λλλ)'sin (0u n A d a f i ===
，当象方孔径角u ’不大时，i
d na
A ≈，则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
---++=---++=
---++=
-
-
-+
+
=
),(0
000)
,(00002
),(2)
,()]2,2()2,2(exp[1
)]2,2()2,2(exp[)()]2,2()2,2(exp[)]2
,2
()2
,2
(exp[),(y x y x y x y x f f A y x y x f f A y x y x f f A x i x i y i x i f f A x i
x i
y i
x i
y x d d f f f f jkW f f f f jkW d d f f f f jkW f f f f jkW a q a d d f d
a f d a jkW f d a f d a jkW a dxdy
f d y f d x jkW f d y f d x jkW f f ηξηξηξπη
ξηξηξη
ξληλξληλξλλλλ光曈总面积
光曈总面积
光曈总面积
H
其中q (a )是与a 有关的常数，i
d a
f λ=
0是截止频率。

根据上图的几何关系，假设离焦量为ε，则
)](21[)21(1),(222
2
22222
2
22222
2
2
2
ηξεηξεηξεηξε
ηξ++=++
≈++
=++=
A
d a a d a a d a a d W i
i i
i
所以
)
(])2()2()2()2[(2)
2,2()2,2(),(0
2
20
2
0202020
000y x y x y x y x
y x f f f A f f f f f f f f A f f f f W f f f f W W ηξεηξηξεηξηξηξ+=
-+--+++=---++=∆ 从而
⎰⎰
+=
)
,(0
2
)(exp[1
),(y x f f A y x y x d d f f f A jk
f f ηξηξεπ
H
这就是离焦时的光学传递函数计算公式。

对圆形光瞳，其传递函数为
ηξηξλεπηξηξπη
ξηξεπ
d d f f f A j f f f f f f f f d d f f f A jk
f f y x y x y x f f A y x y x y x )(2exp[))2()2(circ())2()2(circ(1
)(exp[1
),(0
2
20202020)
,(0
2
++++-+-=+=⎰⎰⎰⎰
∞
∞-H
令22ηξ+=r ，22y x f f +=
ρ，得到在极坐标下的传递函数
ρλερλεπρρρπρ0
2
2
120001)
2(])2(1)2()2([cos 2)(f A
f A J f f f --=-H 其不同的ε值的传递函数曲线见下图。

其中红实线是无离焦时的传递函数。

当离焦量很大时，传递函数在频率增大时分段出现反相的情况。

在实验中如果用“辐条”物，则在离焦面就会看到在某些频率处出现“黑白反转”。

1
0.11
H0ρ()H1ρ()H2ρ()H3ρ()H4ρ()
10
0.0001
ρ
0.2
0.4
0.6
0.8
当系统存在其它像差时，利用解析法来求传递函数困难更大，通常用计算机来进行数值计算，而实际镜头的光学传递函数是用专门仪器来测量的。

§6-7 光学成像系统的像质评价
评价光学系统成像质量的方法有两类：在几何光学中借助像差曲线，考察空域中点扩散函数（PSF, Point Spread Function ）的弥散；在信息光学中则通过光学传递函数(OTF)，在空间频率域中考察系统的频率响应。

OTF 是系统像质的综合指标，目前正逐步取代像差指标而成为评价系统质量的主要手段。

但是OTF 与零件几何参数（如透镜的曲率半径、厚度、玻璃的折射率）没有直接关系，像差曲线则与零件参数有比较直接的关系。

因此光学工程师常常把像差指标作为光学系统设计过程中的参考指标，而把OTF 作为最后评价系统质量的综合指标。

实际上由于PSF 和OTF 间的关系是傅立叶变换，因此两者的信息含量是相同的。

光学仪器的作用是传递信息，成像光学仪器的作用则是传递图像信息，在传递的过程中信息的损失越小，像和物的信息含量成分越接近，我们就说像的质量越高。

一张有光学系统所传递的画面，应具备分辨率高、层次丰富（灰度级次多）、反差适中、杂光水平低、畸变小、彩色还原正确、画面上中心和边缘的亮度均匀一致等条件。

评价成像质量牵涉到光学信道的各个环节的特性：光源的光谱特性、相干性、亮度；成像镜头的空频传递性能、杂光水平、透过率特性、空间带宽积；接受器的频响特性（包括对时间频率和空间频率的响应）、动态范围、分辨率等。

此外还和输入信号（图像）的特性有关。

因此像质评价是一种综合评价。

我们不打算全面讨论像质评价问题，我们仅就成像镜头的质量指标做一些讨论。

一、光学传递函数与特征频率
光学传递函数),(y x f f H 表示从疏到密变化的各种空间频率的余弦光栅经过成像系统后调制度或反差度（即交变分量振幅与平均直流分量幅度的比值）的变化。

一个高质量的镜头。

它的OTF 从低频到高频都比较高。

一般来说，零频与低频成分与图像的轮廓、布局以及层次感关系密切，可以说是图像的“骨架”，高频成分则决定了图像中急剧变化的“细节”。

一幅清晰的图像，不仅要求有足够的分辨率，还要求丰富的层次感。

一般来说，OTF 值越高，镜头的成像质量越好，但这并不是绝对的。

例如，人物的特写镜头要求很好的层次感，但局部的分辨率不宜过高，过高则面部的瑕疵和皱纹就被显现出来。

摄影师通常把调制度或反差度称为“调子”，称高反差的照片调子为“硬”，。